ARITHMÉTIQUE GRECQUE PLUS RÉCENTE : DIOPHANTE

numériques, sans établir jamais de théorèmes généraux; alors, non seulement les nombres donnés étant rationnel?, mais encore ceux mômes que l'on cherche devant l'être, la représentation géométrique n'est plus aussi nécessaire, chez lui, que dans les recherches dont les résultats doivent être applicables à des grandeurs quelconques, qu'elles puissent ou non se représenter par des nombres (c'est-à-dire des nombres rationnels). Diophanle emprunte bien, il est vrai, ses dénominations à la représentation géométrique, comme rectangle pour produit, etc., mais les ([uantités traitées ne sont pourtant que des nombres; on le voit, par exemple, à ce que l'homogénéité géométrique n'est point observée : c'est ainsi que, sans plus de façons, il additionne un coté avec une surface.

Diophantc attache même fort peu d'importance à la forme générale : aussi, chaque fois que, dans un problême posé d'une façon générale, un certain nombre doit avoir une valeur donnée, il assigne aussitôt à ce nombre une valeur déterminée, pour ne plus calculer qu'avec cette valeur. En opérant ainsi l'on n'obtient, immédiatement, aucune solution pour le problème général proposé, à moins, bien entendu, qu'il ne soit possible, avec l'exemple choisi par l'auteur, de déduire le procédé dont il faudra se servir en général, ce qui a lieu le plus souvent.

Aussi, Diophante a bien pour but une solution générale, et il n'introduit la valeur déterminée que faute d'un symbole pour représenter un nombre connu, mais arbitraire : c'est pourquoi, dans les cas où tout nombre ne pourrait être utilisé, il énonce formellement sous forme de diorisme la restriction nécessaire. Il emploie souvent encore cette introduction d'une valeur déterminée comme procédé d'essai pour l'inconnue cherchée : si elle ne convient pas, il peut, en suivant la marche des calculs, reconnaître quelle modilicalion doit subir sa valeur d'essai pour aboutir enfin à la forme donnée, ou à la valeur donnée d'une autre quantité. La règle de la fausse position {régula falsi), que nous avons déjà rencontrée chez les Egyptiens, n'est qu'une application fort simple de cette méthode; mais Diophante s'en sert, lui, dans des cas bien plus compliqués.

2o8 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

Pour les calculs rétrogrades que nécessitent de tels essais, il est indispensable d'avoir une grande habileté dans le maniement des nombres, et une grande promptitude de coup d'œil sur les opérations qu'il faut entreprendre avec eux. Diopbante, avant tout, lait preuve de ces qualités, conlrastanl ainsi avec les anciens mathématiciens grecs dont les Ouvrages nous sont parvenus, mais cette dextérité elle-même ne suffit pas partout : ainsi, a^ant renoncé à la représentation géométrique, il avait besoin dun moyen nouveau pour désigner à l'esprit une quantité inconnue, de même que ses fonctions simples. Diopbante trouve ce procédé dans un système de symboles algébriques, et encore que les symboles ne soient que des abréviations des mots du langage écrit, et ne constituent nullement, en réalité, un mode parfait d'expression pour les opérations algébriques, ce langage remplit du moins la ])lus élémentaire des conditions d'utilité requises : il assure un aperçu des calculs plus prompt et plus facile que ne saurait le faire une exposition verbale.

L'inconnue est représentée par un symbole, probablement une abréviation (^) qui ressemblait à un ç renversé, autant qu'on en peut du moins juger par les manuscrits; ses puissances, jusqu'à la sixième, sont désignées par les abréviations des mots grecs qui expriment le carré, etc., et de pareilles désignations sont affectées aux fractions ayant pour numérateur I et pour dénominateurs ces quantités elles-mêmes : on obtient ainsi, outre une figuration particulière pour l'unité {jc^), les symboles correspondant à

Alors, les polynômes composés avec ces quantités multipliées par des coefficients numériques, peuvent donc s'écrire très clairement, et être posés en équations : c'est ce que l'on faisait en plaçant les termes à additionner immédiatement à ( ùlé les uns des autres, et en se servant d'un 'l renversé

( ' ) Ce symbole sert couramment, dans le texte des manuscrits de Diophaute, comme abréviation du mot grec àp;6[XQ; (nombre) aussi bien que pour de'signer l'inconnue. Les copistes byzantins lui donnent d'ailleurs deux formes très différentes, dérivant, Tune du sigma, l'autre du cappa grec. (T.)

AIUTHMÉTIQLE GKECQLK l'I.LS KÉCKNTI- : OIOrilA.NTE. 209

pour remplacer noire signe moins {^). Des règles déterminées sont indiquées ])our la mniliplicalion des puissances et, rie l;i sorte encore, on peut elVectuer la multiplication d(!S polynômes; entni, Diophanle sait également transformer les équations en faisant passer d'un membre à l'autre les diirércnls termes, facteurs et diviseurs.

Ce langage de symboles offre cependant un très grave inconvénient : il \V\ a de signes que pour une seule inconnue, et ses diverses puissances. Une extension à deux inconnues exigerait la création de douze symboles nouveaux, l)récisément parce que les symboles des puissances sont particuliers; on n'avait point songé à cela et, néanmoins, comme la chose arrive si souvent, l'insuffisance même de l'instrument devait fournir à ([ui s'en servait l'occasion de déployer toute son adresse.

Or Diophanle en fait preuve, non seulement dans l'enqtloi des valeurs d'essai, mentionnées plus haut, pour les inconnues qu'il ne i)eut exprimer, mais d'une autre manière encore : ainsi, lorsqu'un problème présente plusieurs quanlités inconnues qui doivent être déterminées avec diverses données, il choisit entre les inconnues celle à laquelle il veut appii(pier sa désignation, que nous appellerons ici x, de soito (pie, dès le début, il puisse alors les exprimer toutes à l'aide de celle-ci. Il se peut, d'ailleurs, que les notations ne soient pas constantes tout le long du problème; par exemple, à l'origine, une inconnue sera désignée par x; dans la suite des calculs, une deuxième puis une troisième inconnue seront représentées de môme et, enfin, après la détermination de celles-ci, quand on revient à la question principale, la première inconnue est de nouveau figurée l)ar X.

Il résulte de ces considérations que Diophante devait etl'ectuer de tète, et représenter verbalement, ce que nous appelons des éliminations: mais, en revanche, cela constituait préci-

(' ) Ce symbole sert pour tous les termes qui le suivent, la partie soustractive d"ua polynôme étant toujours écrite après la partie additive. Il paraît être un monogramme pour Xt, abréviation de X-.tîwv ().'.Tî6v7a, etc.), c'est-à-dire laissant, diminué de.... (T.)

sémeiU un exercice qui l'entraînait à choisir ses inconnues de façon que l'élimination lût la plus simple possii)le.

On pourrait encore penser que cette insuflisance dans les désignations pour les inconnues entraînait avec soi des dillicultés particulières dans le traitement des problèmes indéterminés : tel n'est pourtant pas le cas car, ordinairement, ces problèmes demandent en termes très généraux qu'une grandeur composée soit un carré, ou quelque chose de semblable, et point n'est alors besoin de notations spéciales pour la racine de ce carié, etc.

dei problèmes indéterminés, auxquels il s'agit de trouver des solutions rationnelles, méritent en fait la plus grande attention dans l'œuvre arithmétique de Diophante. En règle générale, il se préoccupe de trouver une solution uni(pie du proljlème, sans rechercher la solution générale qui implique toutes les solutions particulières possibles, mais il ne faudrait pas toutefois attacher trop d'importance à ce fait si l'on veut bien comprendre les résultats que Diophante peut nous fournir, car ses particularisations consistent uniquement à donner tout de suite des valeurs déterminées aux quantités auxiliaires qui doivent servir à la solution du problème. Ici, d'ailleurs, aussi bien que dans les cas précédemment mentionnés, il put fort bien s'apercevoir que ces quantités auxiliaires pouvaient également prendre d'autres valeurs que celles qu'il leur attribue. 11 y a lieu de le reconnaître, notamment, quand il admet qu'une grandeur formée d'une certaine manière doit être un carré, et reniplir simultanément une autre condition; car il ne suffit pas alors de donner une valeur déterminée à la quantité auxiliaire qui doit conduire à un carré : au contraire, cette grandeur devient elle-même une quantité inconnue x, au moyen de laquelle Diophante doit exprimer en général les quantités cherchées dès le début, pour en revenir ensuite à déterminer x à l'aide de la deuxième condition donnée.

Parmi les équations indéterminées que Diophante a l'occasion de résoudre, il s'en présente une grande quantité des formes

( I ) j- = a- cT- + 6x + c

ARITHMÉTIQUE GRKCQir: IM.I S I((-f:i;XTK : DIOPII.V.NTr. ?. I I

et

( 2 ) y' = «•^■' — hx -\- C-.

jNous appellerons à notre aide, par brièveté, le hinj^age algébrique moderne : la preniière équation se lésout en posant y -^^ ax -^ z, la seconde, en posant y = zx -f- c; après quoi l'on peut, sans difficulté, exprimer rationnellement apar z, et z, de son coté, pouria admettre toutes les valeurs rationnelles — pourvu toutefois qu'elles ne rendent négative aucune autre quantité. On voit que les substitutions employées là sont exactement les mêmes que celles dont on se sert à présent pour rendre rationnelles des différentielles irrationnelles.

(l'est à la dernière des formes d'équation ci-dessus que se réduisent les équations simultanées ou bien, selon l'expression de Diophante, Véqualion double,

et il n'est même pas nécessaire (jue le dernier terme soit le même dans les seconds membres, pourvu toutefois que ce soit un nombre carré, puisqu'on peut alors leur donner la mémo valeur dans les deux équations en multi[)lianl l'une d'elles par un carré.

Admettons, pour simplifier, que ce soit déjà fait : par soustraction des équations, et en exprimant x en fonction de z, on obtient

Si z -^ t — b, l'on a

équation qui est de la forme (2).

Grâce à d'autres artifices du même ordre au point de vue algébrique, et par conséquent d'une portée générale, ou même encore au moyen d'un emploi plus spécial des propriétés numériques des nombres proposés, Diopbante a su, du

212 LES MATHÉMATIQUES GKECQLES.

moins, IroLiver aussi des solutions particulières rationnelles à d'autres équations de la forme

i y-=z ax- -^ bec -+- c, { -■-^= dx- -^ ex ^/:

mais, toutefois, à celles-là seulement où c et /, ou bien a et d, sont en même temps des nombres carrés.

Or c'est seulement en voyant Diophante traiter une série de problèmes particuliers que l'on peut saisir sa méthode générale; aussi convient-il ici de donner un spécimen de ses problèmes et du traitement qu'il leur applique : le sixième problème du sixième Livre, par exemple, a pour but de trouveiun triangle rectangle tel que la somme de la surface et d'un côté, exprimés en nombres rationnels, soit égale à un nombre donné. Et, dans la reproduction de ce problème, afin de mieux faire saisir les points où l'auteur emploie ses symboles, ceux où il les omet, nous nous servirons des symboles x et aà la place des signes originaux de Diopbante, tout en gardant les autres lettres pour exprimer les nombres qu'il rend en langage ordinaire : alors le problème a donc pour objet de trouver des valeurs rationnelles de A, B et C qui satisfassent aux équations

et