I -h \'aX rr D

D'après la première équation donnée, on doit avoir également I i x"- ^ : E-,

et ces équations simultanées sont de la forme générale ( 4)- Diophante en déduit l'équation

d'oi^i il conclut que D est la demi-différence des facteurs, c'esl-

à-dire égal à 7 : d'après quoi xr=: --^- Il y doit être arri\é

j en décomposant en facteurs le second membre de la dernière équation, et en posant E-i-D n::^, E — D = ^ — i4 : la valeur ainsi trouvée pour jr représente le rapport entre les côtés du triangle rectangle cherché.

Donnant ensuite à x la même signification qu'au début, Diophante insère .4 = 707 et B = 24-t" dans la deuxième équation donnée : il en résulte

'i m x^JC" — t— n oc — "" ^ d'où

x = \, A=^, B=:r6 et C— ?•

Pour donner une idée encore plus nette des nombreux problèmes considérés, nous allons choisir au hasard trois exemples auxquels nous adjoindrons de brèves indications sur leurs solutions d'après J)iophante.

]I, 20 : Trouver trois nombres carrés tels que la différence entre le plus grand et le moyen soit dans un rapport donné avec la différence entre le moyen et le plus petit; si l'on désigne le plus petit par j?-, et le moyen par {jc ~ a)-, le plus grand sera

(cT + a)'- -h 77i[{a' ^ a)- — x^].

La condition pour que ce dernier soit un carré est exprimée j)ar une équation de la forme (i), mentionnée plus haut.

Diophante se contente des valeurs suivantes pour les nombres donnés : /« = 3 et r/ rz= i.

III, 2 : Trouver trois nombres tels que le carré de leur somme fournisse de nouveaux carrés quand on y ajoute chacun des nombres.

Diophante représente la somme par .r; les conditions seront alors remplies si les nombres cherchés sont

(a- — i)^'-, {b- — i)x-, (c- — i).ret si

d'où résulte pour a: une expression rationnelle. Diophante n'indique pour a, belc, que les valeurs 2, 3 et 4-

IV, 27 : Trouver deux nombres tels que leur produit, augmenté de chacun des deux nombres, soit un cube.

Diophante égale le premier nombre à a^x, le second à jr^ — i , et donne à a la valeur 2; de la sorte une des conditions est immédiatement remplie, et il faut encore que

(Conformément à la méthode suivant laquelle on traite les équations carrées indéterminées (i) et (2), on résout celte équation cidaique en posant y ^^ ax — i; il en résulte une équation du premier degré qui détermine x.

C'est ici le lieu de remarquer que plusieurs des problèmes traités par Diophante lui sont une occasion de montrer sa connaissance de certains théorèmes relatifs à la théorie des nombres, celui-ci par exemple : un nombre de la forme (a-+ 6-) (c--i- 0?-) peut se décomposer de deux manières en

AUi riMif Tiori: ghecqle pi.ls Rf;r.K>TK : i)Ioi>ii.ami:. ?. i5

une somme de doiix carrés, savoir :

{ac — bdy--+- (ad zL bc)"-,

(le même que celle autre propriété : un nombre de la forme .\n — 3 ne peut jamais se décomposer en une somme de deux carrés.

Ces exemjiles auront suffisamment fait comprendre que Diophante cherche uniquemeni des solutions rationnelles (et positives, bien entendu), mais non point nécessairement des solutions en nombres entiers, de sorte que la dénomination (Véquations de Diophanle. donnée à des équations indéterminées du premier degré qu'il s'agit de résoudre en nombres entiers, repose sur une erreur : sans doute, on trouve dans son (ïHivre des équations indéterminées du premier degré, mais il n'a d'antre souci f|iie d'indiquer alors la possibilité d'exprimer l'une des inconnues au moyen de ranlr(>, la rationalité de celle-ci entraînant la rationalité de celle-là.

L'édileur de I)io|)lianie au xvu'" siècle, Jîachel de Méziriac, prit occasion de ces problèmes pour traiter lui-même la question des solutions entières : nous verrons, du reste, que les Indiens avaient complètement résolu ce problème avant lui.

La question se pose maintenant de savoir ce qui, dans l'Ouvrage de Diophante, lui revient personnellement, etquelle flate il faut assigner pour le reste : mais on n'a guère de points d'appui pour définir un tel choix. Nous avons fait remarquer (jue, à l'époque de la formation des Mathématiques grecques, on traitai! déjà des problèmes de même genre que ceux dont s'occui^e l)io[)hante, et, si nous en rencontrons fort peu dans les écrits qui nous ont été légués, c'est (pic. par leur nature même, ces écrits n'en comportaient point — circonstance qui nous explique suffisamment leur silence; je ne crois pas, cependant, que nombre des problèmes de Diophante puissent remonter à cette date car, d'après l'impression que nous en avons pu recueillir, les mathématiciens grecs de l'époque la |»lus brillante n'avaient point l'habileté de calcul qui nous i'iappe chez cet auteur. D'autre part, une collection de problèmes, aussi grande et aussi variée que celle de Diophante, ne provient certainement pas d'un seul intlividu : aussi l'hypothèse la |)lns plausible consiste-t-elle à admettre que ces

2l6 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

problèmes se posèrent de très l)onne heure, vraiseinl^lablement aussitôt après la découverte des quaiilités irrationnelles ; ils continuèrent de s'accumuler ensuite par delà l'époque oi^i le reste des Mathématiques grecques cessa de se développer, peut-être même jusqu'au temps de Diophante, qui aurait alors grandement contribué de sa personne à enrichir cette collection.

Nous sommes donc en présence ici du développement persistant d'une branche isolée de la Mathématicpio : et cela tient, sans doute, à ce que l'habileté dans le calcul, importante pour celte branche, se développa petit à petit, en partie pour les besoins de l'Astronomie, en partie grâce au conta( t avec un autre peuple, les Indiens.

Par son commerce, en effet, Alexandrie noua des relations avec les Indiens : or nousverrons qu'ils possédaient une grande aptitude à dénommer les nombres, à les représenter et à calculer avec eux; et cette habileté existait même avant qu'ils eussent inventé le système de position, c'est-à-dire la manière actuellement usitée d'écrire les nombres. Grâce aux relations commerciales, cette aptitude put notamment réagir sur les Grecs d'alors qui étaient encore, au point de vue des Mathématiques, dans des conditions assez favorables pour pouvoir s'en servir; à ce contact, les Indiens reçurent en retour une partie des résultats mathématiques des Grecs, et, comme nous le verrons, ils en profitèrent, spécialement dans les cas où l'on pouvait les convertir en opérations numériques — mais, toutefois, sans avoir jamais su approfondir les exactes spéculations théoriques des (irecs.

Pour ce qui concerne, en particulier, le langage symboli(|ue de Diophante, langage qui s'écarte partiellement de celui que nous rencontrons chez les écrivains indiens beaucoup plus récents et dont les œuvres nous sont parvenues, il n'est besoin d'y voir aucun emprunt aux étrangers : en effet, les abréviations qu'il utilise s'offrent d'elles-mêmes dès que l'on veut exprimer les compositions formées avec des nombres, connus et inconnus, ou même tout simplement les fixer pour mémoire sans se servir de l'ancienne représentation géométrique; et si l'on avait une seule fois employé ces abréviations, leur grand avantage dut apparaître immédiatement, en

ARITHMÉTIQUE GRF.CQIE l'LlS HÉCE.NTI. : DIOPIIANTK. 21'

laiil que procédé pour avoir un a[n'ii;u iicl sur les calculs. Le langage convenliouuel de Diopliante ne se conslilua donc [)oinl nécessairemeut jiar évolutions successives : il peut fort bien avoir été l'œuvre de Diopliante lui-inènie, ou d'un do ses prédécesseurs.

Ici, enfin, nous pouvons jeter un coup dNeil sur l'iniportance qu'allaient présenter plus tard les œuvres de Diopliante : le caractère numérique, (\ne révèlent chez lui les écpiations déterminées du premier et du second degré, dut rendre ces équations beaucoup plus facilement accessibles à ceux qui, de prime abord, n'étaient pas initiés aux Mathématiques grecques; plus accessibles, certes, que ne le pouvaient faire les formes géométriques et abstraites (pii alVeclent, notamment, les équations du second degré chez Euclidc — formes sous lesquelles les équations des deux premiers degrés sont traitées dans les écrits conservés d'autres écrivains géomètres. Aussi est-ce principalement par Diopliante que l'Algèbre grecque passa chez les Arabes, intermédiaires qui devaient à leur tour lui permettre de rentrer en Europe lors du réveil des sciences.

Par ailleurs, on ignore dans quelle mesure la Mathématique indienne fut influencée par la méthode de Diophante pour le traitement des équations indéterminées; à coup sur, cependant, les écrivains arabes continuèrent son œuvre en suivant la même direction que lui, et, en Europe, lorsque l'on put enfin connaître Diophante, non plus par l'intermédiaire des Arabes mais dans l'original, les études sur la théorie des nombres prirent un nouvel essor : il nous suffira de rappeler, à ce propos, que Fermât fil une étude très approfondie de l'œuvre de Diophante.