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Nous allons maintenant nous occuper des Mathématiques indiennes, qui devaient exercer une influence extraordinaire sur le développement de notre science, en de tout autres directions, il est vrai, que les Mathématiques grecques : et cette influence se manifesta, d'ailleurs, beaucoup plus par la communication même de l'Arithmétique indienne que par les écrivains que nous aurons à mentionner. Toutefois ces auteurs nous transmirent la connaissance immédiate de ce que savaient, de ce que pouvaient, en général, les mathématiciens de l'Inde : ils ont écrit en sanscrit, langue déjà morte alors, mais utilisée d'autre part par les Brahmanes dans leurs Ouvrages religieux et scientiliques de la même manière que, jdus tard, les Européens employèrent le latin.

Les plus anciens, parmi ces écrivains, donnent des règles géométri(pies pour dresser le plan des temples, règles de même nature que celles des Ilarjjedonaptes de la vieille Egypte (p. lo), et dans lesquelles nous rencontrons maintes traces de l'influence de la Géométrie grecque : nous y trouvons en particulier quelques-unes des transformations que nous connaissons de l'Algèbre géométrique.

C'est, du reste, chez les astronomes indiens qu'il nous faut puiser la connaissance de la portion vivace de leurs Mathématifpies : soit que les livres astronomiques contiennent des parties mathématiques destinées à venir en aide à l'Astronomie; soit que des remarques mathématiques apparaissent accidentellement dans l'exposition de cette science. Tel est le genre des renseignements que nous trouvons dans un écrit, Sourya Siddhânta, du iv^' ou du V siècle apr. J.-C, dont l'auteur reste inconnu; Aryabhatta, né en 476 apr. J.-C, fit entrer un Chapitre mathématique dans un Ouvrage d'As-

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ironomie; puis le douzième et le dix-huitième Chapitre d'uu i;i'and Traité astronomique par Brahmagoupta, né en 698, ont déjà une plus grande importance au point de vue mathématique.

Les deux Ouvrages beaucoup plus récents de Bhàskara

Acàrja (c'est-à-dire le savant), né en iii4, qui portent le titre de Ulâvati (c'est-à-dire la belle) et de Vîjaganita (calcul des racines), nous procurent enfin une notion plus com- |)lète sur les particularités de la Mathématique indienne : le premier traite à peu près ce que nous appelons Calcul et AriihméLlque, tandis que la matière du second répond assez exactement à notre Algèbre. Quant au nom du premier de ces essais, il faut l'entendre en ce sens que c'est l'Arithmétique même qui est la belle : car il en est parlé dans les problèmes en termes lyriques qui s'accordent assez bien avec la tournure poétique qu'ont souvent les énoncés. Il existe du reste une légende suivant laquelle cette belle serait sa propre fille, que Bhàskara essaie de consoler d'une amère déception par l'attrait de ses calculs.

Bien que les Indiens aient eu, sans doute, une Astronomie primitive, très ancienne, et apparentée avec l'Astronomie chaldéenne, le Sourya Siddhànta paraît néanmoins avoir été fortement influencé, soit par Ptolémée, soit par des astronomes grecs plus anciens — à tel point que les éléments qui peuvent être d'origine intlienne n'y sont plus guère discernables; d'ailleurs, il faut observer que l'influence grecque sur la civilisation indienne, et inversement, remonte certainement à l'expédition d'Alexandre; elle put donc se prolonger ensuite, en [partie grâce à quelques colonies, en partie par les relations commerciales dont le centre était à Alexandrie. De sorte que, si nous rencontrons chez les Indiens des théorèmes et des opérations mathématiques connus des Grecs, tout nous porte à penser qu'ils ont été précisément empruntés aux Grecs; mais il faut alors reconnaître que les Indiens développent des vues qui exigent un traitement numérique poussé bien au delà du point que les Grecs atteignirent jamais avec leur mise en œuvre strictement théorique.

En fait, les Indiens ne manifestent aucune aptitude pour la

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rigiieiii' Uiéorique : en revanche, ilsélaienl tolaloniont dénués (les scrupules f|ui avaient poussé les nialliénialiciens j5M'ecs jus(|u';i (Icdaiiiiicr le calcul réel en nombres, sous prétexte (ju'il ii'aboulil souvent rprà une approximation. Ainsi, au contraire, pour les Indiens, le calcul numérique et son empirisme pratique (tncut le véritable moyen de s'approprier les théorèmes et les méthodes, peul-ètre même sans en bien comprendre les démonstrations |)io|)remenl dites; en tous cas, ils n'expriment point ces démonstrations par des mots : ils se contentent d'en faire des tracés, puis, avec l'expression « vois! », de vous montrer la figure sur laquelle se fondait ellectivement la démonstration des Grecs.

Mais l'éciiture des nombres, (|ue nous leur devons, et les règles de calcul qu'ils y ont attachées, ont une bien plus grande imj)ortance que les développements qu'ils purent réaliser, grâce à ce calcul, dans quelques branches plus abstraites des Mathématiques.

Il s'agit bien, en effet, de l'écriture des nombres, usuelle aujourd'hui, avec une valeur j)our chaque chiffre selon sa place (système de position) et, en substance, de notre propre exécution mécanique des calculs, telle que la permet ce système. On ne sait malheureusement que fort peu de chose sur la manière dont fut constitué ce système; et le dixième chiffre o (zéro), cpii le comi)lète, se trouve déjà dans le Soiirya Siddliûiita ; toutefois, le système de position ne paraît pas être sensiblement antérieur à ce Livre, encore que les neuf autres chiffres se rencontrent dans des inscriptions beaucoup plus anciennes.

Ce qui nous révèle un peu mieux, par ailleurs, comment les Indiens traitaient primitivement les nombres c'est que, dans la littérature ([u'ils nous ont transmise, les vieilles méthodes d'écriture numérique sont souvent conservées, soit par respect pour la tradition, soit même que ces méthodes présentassent des avantages particuliers; néanmoins, de cette façon, ou ne peut se faire qu'une idée fort imparfaite sur la préhistoire du système de position indien. Et, pour essayer d'obvier un peu à cette lacune, nous ferons précéder l'exposition de ce système par un aperçu très bref de sa préhistoire en général : en mentionnant alors, avec toute la généralité

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possible, les moyens donl on se servait pour le calcul des nombres, avant l'invention du système de position, avant, du moins, que ce système ne fut connu dans les milieux dont il s'agil, et en indiquant au passage les moyens plutôt insuffisants dont, entre autres, les Grecs eux-mêmes durent se contenter, nous pourrons toujours donner ainsi une idée des difficultés considérables qu'il fallut surmonter pour i)arvenir à ce système même.

Quant à la grande importance de ce système, non jias uniquement en tant que mathématique, mais encore pour les choses les plus journalières de l'humanité, il nous paraît inutile d'y insister.

2. — Noms et signes des nombres; numération avant les Indiens, et chez eux.

Une mère qui veut prendre une pomme pour chacun de ses 7 enfants n'a pas besoin de connaître le nombre -, non plus c|ue de savoir que 2 fois 7 = 14 pour en donner deux à chacun : elle en prend une, tout simplement, ou deux, pour Jean, pour Louise, etc. Elle approche davantage, il est vrai, de l'idée de nombre, si elle a remarqué qu'il lui faut prendre ,^ dans le premier cas, une pomme pour chaque doigt d'une main et pour le premier et le deuxième doigt de l'autre,, mais les doigts n'ont rien à faire avec les objets dont le nombre doit leur être égal, ici les pommes : ils sont simplement, pour la mère, des signes de la quantité d'objets à prendre, — des désignalions.

C'est de cette manière que les peuples se sont élevés à l'idée de nombre; on le voit à ce que presque tous, pour désigner de plus grands nombres, emploient le système décimal, le s3'Stème quinaire (celui-ci simplement comme transition au décimal), ou le système vigésimal : et ces systèmes se sont formés naturellement, quelque temps qu'il ait fallu pour cela.

Quand on eut alors dénombré tous les doigts, ou même au delà, et que, à la façon d'un peuple de lOrénoque, on eut compté par u/i homme entier pour exi)rimer le nombre vingt (c'est-à-dire les doigts des mains et des i)ieds), il fallut nécessairement reprendre ce compte pour considérer combien de

NOMS ET SIGNES Di:S NOMBRES. 226

fois on avait compté de dizaines, de vingtaines, et combien encore d'unités au delà de la dizaine, de la vingtaine : ainsi naquirent les expressions numériques que nous pouvons désigner par a -\- bx, dans lesquelles x désigne l'unité supérieure, dizaine ou vingtaine. Puis, lorsque le développement et l'emploi des nombres en lut venu au point que le nombre (les dizaines, ou des vingtaines, dépassât môme dix, ou vingt, il fallut alors former des unités potentielles plus élevées lo^, lo' . .., ou bien, comme les anciens Aztèques au Mexique, 20-, 20* ..., afin de pouvoir représenter de la sorte les nombres de la forme a ~ bx -t- ex- - . . . .

Dans la pratique, on dut aller aussi loin que le besoin s'en lit sentir; mais la possibilité indéfinie de former des unités supérieures ne fut mise en valeur tout d'abord, ibéoriquemont, qu'à un point de vue plus scientifique, comme cbcz Arcbimède dans son Arénaire.

Ainsi furent formés les systèmes décimal et vigésimal : ce dernier fut imaginé par des peuples qui vont, soit toujours, soit comme les Groenlandais dans leurs habitations, nus ou les pieds nus; mais, pour ce qui est des vestiges visibles du système vigésimal dans plusieurs langues d'Europe (le danois à ce point de vue n'est pas la moins curieuse), ils sont d'origine plus récente et tiennent vraisemblablement à ce que l'unité supérieure, la vingtaine, était commode dans ceilains cas pour le commerce et pour la vie courante. Oulre les unités supérieures que nous venons de citer, on en a souvent employé d'autres dans la division des monnaies, mesures et poids, que la théorie avait indiquées comme plus pratiques, telles 12=: 2-. 3 : un type encore plus théorique de ces systèmes est le type sexagésimal, d'origine babylonienne, dont nous avons déjà parlé.

L'addition, la multiplication et les premières élévations aux puissances sont prises, plus ou moins inconsciemment, comme base de ces formations des nombres; d'ailleurs, pour la numération, on utilisa souvent aussi la soustraction, connue pour 19 par exemple qui, en latin, s'appelle un-deviginli, en sanscrit ekonavimçati (c'est-à-dire 20 — j), ou simplement ûnavimçati (c'est-à-dire vingt-défectif).

Si, aujourd'hui, tant pour compter avec les nombres ainsi

formés que pour les écrire, nous nous servons d'un seul et même procédé, il n'en fut pas toujours ainsi, et l'on a pu employer d'abord, pour retenir momentanément les nombres nécessaires au calcul, le môme moyen que pour la numération, à savoir les doigts. Chez tel i)euple d'Afrique, pour retenir les différentes unités, il fallait qu'un homme tînt un doigt levé par chaque unité simple, un second homme un doigt par dizaine, un troisième un doigt par centaine : un homme seul pourra, de difïérentes manières, utiliser dans le même but les phalanges de ses doigts (calcul dactylique des Grecs et des Romains).

Enfin, d'autres moyens mécaniques furent employés, jadis, et le sont encore maintenant, aux points du monde les plus divers, comme ils l'ont été jiar les anciens Grecs, par les Romains, et au moyen âge en Europe; ils sont utilisés aujourd'hui dans le monde civilisé pour des fins spéciales (calculs au jeu de cartes), ou comme méthodes d'enseignement dans les écoles primaires : ainsi les planches de calcul, les machines à compter et les jetons. Les planches à compter sont divisées en colonnes pour les unités de même espèce, et l'on désigne celles-ci par de petits jetons, ou d'autres marques; dans les machines à calculer, empruntées par l'Europe aux ])euples asiatiques qui les ont dès longtemps pratiquées, les colonnes sont remplacées par des cordes ou des barreaux le long desquels glissent des billes, ou tous autres objets : chaque colonne, ou chaque barreau, peut comporter deux subdivisions, dont l'une i^orle 4 ou 5 marques pour les unités de telle espèce, et l'autre i ou -i marques pour des unités cinq fois plus gi'andes. — Quant aux jetons à compter, il en est de difïérentes formes pour les unités des diverses espèces.

On reconnaît aisément ce que ces instruments ont de pratique pour exécuter des calculs simples sur les petits nombres, addition, soustraction et multiplication : nous ne nous arrêterons donc pas à en étudier les divers modes d'emploi selon les différents lieux.

Mais voici que l'on approche bien davantage de notre système numérique lorsque, tout en se servant de la division par colonnes, on y inscrit des signes pour les nombres de i à 9, au lieu de poser des marques sur ces colonnes. Au reste,