II

Il ressort du Livre que nous mentionnons ici combien la méthode indienne de calcul avait pénétré dans les intelligences : il est donc fort surprenant de voir, au même temps et au même lieu, le remarquable mathématicien Alkarchî produire une Arithmétique dans laquelle ne se trouve absolument rien du calcul numérique indien. Les nombresy sont, au contraire, exprimés par des mots, et parfois des calculs

i.'arithmétiqlr et l'algèbre des arabes. 257

assez étendus sont exécutés sans l'usage fies chifTres : ceci semble dénoter une résistance de parti pris à la niétliode indienne, et l'on put émettre l'hypclhèse, au reste fort acceptable, que cette résistance provient peut-être fl'oppositions tranchées entre sectes religieuses.

Mais, à côté de ces explications, on ne doit pas laisser d'examiner si la différence entre Alnasavî et Alkarcbî ne serait pas simplement attribuable à la diversité même des buts qu'ils se proposent : le premier cherche à donner les règles pour la plus simple exécution pratique des calculs; le second, au contraire, désirait écrire un Ouvrage scientifique sur les nombres, et leur usage; — il a donc avec raison recherché son |)oint de départ chez les Grecs, et non chez les Indiens. S'il emprunte à ceux-ci leur règle de trois, c'est du moins en lui donnant une base solide dans la théorie des proportions d'Euclide; et s'il omet de faire connaître tels moyens mécaniques qui, en réalité, peuvent servir à traiter aisément les calculs numériques, cette omission n'égale pas cependant celle d'Euclide lui-même, qui non seulement passe sous silence les ressources mécaniques qii'on devait avoir de son temps, mais ne donne même aucun exemple numérique.

Cependant, si Alkarchi trouve l'occasion d'expliquer une quantité de méthodes grecques de calcul, méthodes qui sont bien inférieures à celles des Indiens : cela s'explique, sans doute, par son admiration pour les Grecs, et cette admiration lui inspira naturellement pour l'ensemble de ces procédés, au point de vue théorique, un intérêt que n'éveillaient pas encore les méthodes indiennes.

De quelque façon que se puisse expliquer la différence entre les deux écrivains, toujours est-il qu'elle montre le temps qu'il fallut pour amalgamer les apports grecs et indiens, en ce qui concerne les Mathématiques et le calcul; et, d'autre part, ces deux Livres prouvent, du même coup, que l'on disposait dès lors largement de l'une et l'autre source. •

En tous cas, Alkarcbî sut également opérer sur les nombres, et même utiliser dans leur traitement d'autres moyens mécaniques que ceux de son Arithmétique : nous en avons pour témoins, d'une part, les calculs étendus qui se rencontrent dans ce Livre même, et, d'autre part, son important Ouvrage

d'Algèbre, Alfachri (ainsi nommé, vraiseml^lablemont, du nom d'an personnage). Dans ce dernier éciit, il se révèle comme un éminent élève de Diopliante : élève qui ne se contente pas de reprendre un 1res grand nombre des recberches et des exemples du maître, mais qui réalise en même temps, lui-même, des progrès considérables. Sous ce rapport il faut mentionner qu'il élargit le langage symbolique de Diopbante et que, à certains endroits, il se sert même de symboles pour deux inconnues; il donne des règles plus complètes pour des calculs algébriques dans lesquels intervient une inconnue, et traite nombre d'exemples distincts de ceux que l'on trouve chez Diopbante — allant jusqu'à des problèmes indéterminés de genres nouveaux.

On peut en citer, comme exemple, les équations

si l'on pose

y = inx^ z = ?ij-, on a, par suite,

oi^i ni"' et. Il- sont des nombres carrés, pris arbitrairement, dont la différence soit égale à a — h.

Toutefois nous attacherons une importance prépondérante aux progrès que nous allons aborder maintenant, et qui se rapportent plutôt à la simplification des notions théoriques; et, afin de les apprécier complètement, il faut nous rappeler qu'Alkarcbî ne s'était pas uniquement assimilé les méthodes pratiques de Diopbante, mais qu'il concevait parfaitement ce que comporte une démonstration dans la pensée des Grecs : il nous l'avait déjà montré dans son Arithmétique.

Néanmoins il ne donne de démonstrations géométriques que pour les solutions d'équations du second degré; or nous savons que c'est la seule forme de démonstrations générales — suivant les Grecs : et cependant, là même, il se meut avec une plus grande aisance que les Grecs; car, dans un certain cas, il représente .r- q\. ax par des segments, chose qu'un écrivain grec, dans une démonstration, n'eût pu faire qu'indirectement en changeant x- et ax en rectangles de même côté. Au reste il se contente d'éclaircir la phqiart des règles par un exemple unique ayant pour but de montrer qu'elles

r/uuTiiMf:rinrr r.r i/aL(;i;biii; dks auabf.s. aSy

ressortent des calculs etix-mèmes; 11 remarque expressémont, d'aulro part, qu'on doit se pré[iarer à rhilelligencc des règles algébriques par les règles générales d'Arithmétique qu'il a données dans son Ouvrage antérieur - puis il promet de donner plus amplement de telles règles aritlmiélico-algé- I)ri(|ues dans un Ouvrage, que nous ne possédons malheureusement point.

En elles-mêmes, ces considérations n'ont peul-étre rien de 1res original, car le calcul réel avec des nombres rationnels doit avoir également servi de type aux Grecs pour leur méthode de calcul géométri([ue, méthode au moyen de laquelle ils en vinrent à traiter les quantités irrationnelles à l'aide des mêmes opéi'ations; mais ce qui importait, cependant, c'est que ces considérations fussent expressément mises en relief: on voit la même chose pour Alkarchî, dans la liberté avec laquelle il manie des radicaux irrationnels. Sans doute ces quantités ne sont pas représentées par des symboles, mais par des mots qui correspondent aux dénominations de puissances avec le même exitosant; toutefois, et comme chez les Indiens, l'auteur montre nettement comment on peut calculer avec ces quantités, comment, d'une part, elles peuvent être multipliées ou divisées, quelle que soit la nature de la puissance, et comment, d'autre part, les racines carrées et cubiques peuvent s'additionner et se soustraire quand les puissances sont des nombres semblables, plans ou solides. — La démonstration de ces dernières propositions est faite, non par l'introduction de facteurs rationnels en dehors du signe radical, mais bien par l'application directe des formules {a -f- by- et (a-f- by.

Ainsi nous voyons qu'Alkarchî calcule avec des radicaux irrationnels ou, en d'autres termes, qu'il les considère également comme des nombres : c'est ce qu'il fait encore indirectement lorsque plusieurs de ses équations déterminées ont des racines irrationnelles; alors, dans ces équations, les symboles qui correspondent à notre ^'" représentent des puissances de nombres irrationnels, — tandis que Diophante admet toujours que o: doit être un nombre rationnel.

Maintenant nous avons vu, il est vrai, que les Indiens calculaient sans aucun scrupule avec des nombres irrationnels —

mais ce n'est pas eux qu'Alkarchî a sciemment imités. Au contraire, il reste significatif de voir faire ici la même chose qu'eux par un homme entièrement familiarisé, grâce aux écrivains grecs, avec l'idée de l'irrationnel et qui, à la façon dont il distingue entre les démonstrations géométriques et les explications arithmétiques, donne à entendre qu'il s'est convaincu de l'impossibilité de trouver dans ces dernières aucun fondement universellement valable.

En tant que disciples des Grecs, les Arabes ne pouvaient donc s'en tenir aux raisonnements arithmétiques, et nous le |)ouvons voir, en particulier, à l'Algèbre que nous a laissée le remarquable mathématicien et poète philosophique du xi" siècle, Omar Alkhaijàmi : il met ses explications de la signification des radicaux irrationnels en rapport direct avec les strictes conceptions des Grecs; il distingue entre les résolutions d'équations, par l'Arithmétique et par la Géométrie — pour les premières, il ne veut pas qu'elles soient seulement rationnelles, comme le voulait Diophante et ce qui suffirait logiquement, mais encore entières. Puisqu'on peut calculer avec ces quantités, une démonstration arithmétique de la justesse de telles résolutions est suffisante: au contraire les solutions du deuxième genre peuvent être irrationnelles, et c'est précisément pour cette raison qu'il est besoin de la Géométrie en vue de les énoncer et de les démontrer.

En conséquence, les racines carrées et cubiques sont représentées à l'aide des constructions, connues depuis les Grecs, d'une et de deux moyennes proportionnelles; pour les radicaux d'ordre plus élevé, l'espace n'ayant que trois dimensions, il ne saurait être de représentation géométrique possible — et Alkhaijàmi n'en connaît point d'autre généralement applicable — tandis que pour la formation des puissances d'ordre supérieur, au contraire, il indique, d'accord avec la théorie euclidienne des proportions, la formation des rapports composés. — Grâce à ces rapports composés on obtient indirectement une explication de ce que signifient les radicaux irrationnels d'ordre supérieur, rencontrés dans Alkarchî.

Ainsi la conception d'Alkhaijâmi est donc parfaitement grecque : Alkarchî, lui-même, en aurait probablement reconnu rimi)orlance théorique.

l/ARITnMtriQLK ET L M.CtAiRr. DES AIIABIS. sG I

Pour ce qui est du calcul des radicaux, Alkliai jàmi renvoie à l'cxlraction des racines carrées et cubiques chez les Indiens; il ajoute que, de son côté, mais alors dans un Ouvrage inconnu, il a donné des rèj^les d'extraction pour des racines à exposants arbitraires. Dans ces conditions, il dut évidennnient connaîliMî les coefficients l^inoiniaux i)Our le cas des exposants entiers et, par suite, posséder les règles de formation de ces coefficients. Il dit enfin n'avoir traité l'extraction de ces racines que par l'Arithmétique; alors, pour lui, l'exlrac;tion n'est valable que dans les cas où elle aboutit à une racine rationnelle, faute de tpioi il n'avait pas même expliqué, d'une manière précise, la signification de cette opération.

Il est clair, cependant, qu'aussi bien l'extraction de pareilles racines que celle des racines carrées et cubiques était utilisable pour un calcul approché de racines irrationnelles; au reste, comme exemple d'extraction approximative de racine, nous pouvons citer Alkarcbî : pour \/rt--i- /•, si a est le nombre entier immédiatement inférieur, il donne comme une

valeur plus approchée a- , valeur que l'on obtient

en appliquant la règle des deua; fausses positions (régula duoruni falsorum) {cf. p. ijb) — ou bien encore l'interpolation entre « et « — i.

Quelque différents que soient les points de vue d'Alkarchi et d'Alkhaijàmi, quant au traitement des radicaux, leur occupation de ces extractions dut néanmoins contribuer à soulever chez les Arabes un problème rejeté dans l'ombre par le procédé grec, à savoir la solution de l'équation cubique par les racines carrées et cubiques. Si les Grecs, ce qui est possible, se sont occupés de ce problème dans l'antiquité, il dut bientôt perdre de son intérêt à leurs yeux par cela même qu'on pouvait résoudre les équations cubiques à l'aide des procédés géométriques, — les mêmes, précisément, qui servaient à une représentation universellement valable de la racine cubique, — c'est-à-dire par l'intersection de sections coniques : on devait aussi, comme nous l'avons vu, cesser de s'intéresser à la réduction de problèmes en équations cubiques, telle que la pratiquait Arcliimède, en voyant qu'il était pos-