I.'AIUTIIMririQLE ET l'ALGÈBRE DES ARABES

d'autres (jucstions, tant d'origine grecque que nouvelles. Dans les premières, la triseclion de l'angle gagne une foule de solutions : c'est ainsi que nous devons aux Arabes la solution môme que l'on est en droit, peut-être, vu sa connexité avec les lemmes d'Archimède, d'attribuer à cet écrivain {cf. p. 64); Alkouliî trouve également la solution du problème qui consiste à déterminer un segment de spbèrc d'après son volume et sa surface courbe — il y joignit une méthode pour élablir le diorisme correspondani, diorisme que donne Arcbimède à la fin do son deuxième Livre sur la sphère et le cylindre (c/. p. i53 et ]8i).

Ne parvenant pas, cependant, à imaginer une solution génélale des écpialions du troisième degré par radicaux, les Arabes devaient alors s'en tenir à ces équations elles-mêmes dans les problèmes de calcul pratique qui en dépendent; du reste, aujourd'hui encore, ce j)rocédé offre plus de facilité pour le calcul que l'application de la solution générale. Il nous a été conservé un exemple fort joli du calcul numérique d'une racine d'équation cubique; on s'est servi de ce calcul, au xv^ siècle, |)our élaborer les Tables trigonométriques d'Oloug Beg, mais il peut fort bien dater d'une époque plus ancienne : .cm 3'^ étant connu, on se propose de trouver 5m i", qui dépend alors d'iuie équation de la forme

X étant assez petit, on peut, avec une certaine aiiproximation, l'égaler à -j^; on calcule, pour cette quantité, une valeur approximative a telle que le reste de la division R soit petit, du même ordre que ci^.

On a alors, en posant x = a 4- y,

d'où

{a-^vY^R

Comme le reste R, qui est du même ordre que a"\ est grand par rapport à a- y, on peut, dans un calcul approché,

négliger les termes qui contiennent / au numérateur, et l'on obtient alors, avec une nouvelle approximation,

puis on insère dans l'équation rigoureuse y -= b -^ z, où .z, à son tour, se détermine de la même manière par approximation, etc., — les fractions étant d'ailleurs représentées comme sexagésimales.

L'objet du calcul que nous venons d'indiquer ici appartient à la Trigonométrie : nous nous occuperons bientôt de cette branche mais, avant d'abandonner l'Arithmétique, l'Algèbre et la théorie des nombres chez les Arabes, dont nous avons examiné jusqu'à présent les diverses conceptions générales, nous allons donner quelques types des résultats obtenus dans ces domaines, particulièrement dans la théorie des nombres.

Au W siècle, Thàbit ibn Koi'ra joignit à la détermination euclidienne des nombres parfaits (p. (So) certaines règles pour déterminer les nombres que les Pythagoriciens appelaient /lonibres amiables, c'est-à-dire des nombres tels que l'un d'eux égale la somme des diviseurs de l'autre {voir p. ^S^i ; la règle est la suivante : si/» = 3. 2"^ — i, q = 3.2"~^ — i, r^zg.9.-"-^ — I sont tous trois des nombres [tremiers absolus, i"^.p.q et 2"./' sont alors des nombres amiables.

A partir du ix" siècle (*), les Arabes se sont occupés des carrés dits magiques : les nombres qui les composent sont disposés en carrés de telle façon que les sommes des lignes, des colonnes, et des diagonales, y soient égales. Le plus ancien exemple d'un pareil carré magique se trouve dans une Table chinoise, vieille peut-être de 4 à 5ooo ans; c'est le suivant :

( ' ) Cette date, j)lus reculée que celle admise jusqu'à présent, est établie par le titre d'un Ouvrage de Thàbit sur ce sujet ( Suter, Die Mathematihen iind Astronomen Araben, Leipzig, Teubner, 1900, p. 36) (T.).

LA riucio.NOMi- nui: ijes arabes, 265

Les Arabes, pour leur part, formaient des carrés magiques avec les nombres jusqu'à i6, 2."> et 3G, et ils disaient même qu'on en pouvait former de semblables avec les nombres jusqu'à 49? 64 et 81; au reste, des matbématiciens indiens et byzantins s'occupèrent également du même objet.

Mais voici une proposition de la tbéorie des nombres, trouvée aux environs de l'an mille par Alkhodjandi, et qui présente incontestablement un intérêt mathématique beaucoup plus considérable : à savoir que l'équation a:^ — y^=:z" est insoluble rationnellement.

On rencontre, dans Alkarclij, les sommations d'origine grecque pour i -4- 2-4- 3- ~. .. et 1^ -^2^ -r- 3 '--... . Toutefois il ne parvient pas à établir la première : il ignorait donc la méthode d'Arcbimède; pour la seconde, il donne la démonstration que nous avons citée lorsque nous avons montré comment les Grecs connaissaient ce théorème (p. 206).

Au contraire, il y a un réel progrès dans la sommation que faitAlkàschî(au xv^" siècle) pour la série i» -h 2*4- 3* -4-. ..--/■* : il donne pour somme