La Trigonométrie des Arabes

Les Arabes étaient tellement familiarisés avec la Géométrie grecque, et le calcul indien, que nous rencontrons très. naturellement leurs progrès les plus importants dans ce qui concerne la Géométrie calculante, ou Trigonométrie : nous pouvons l'appeler ainsi, désormais, avec d'autant plus de raison que les Arabes, tout comme les Indiens, employaient des Tables de sinus au lieu des Tables de cordes d'arc de Ptolémée. Le mot sinus est lui-même d'origine indienne : c'est la traduction latine exacte d'un mot arabe, (jui provenait lui-même de la déformation du terme indien signiliant sinus.

l*ûur construire une Table trigonomélrique, il s'agit avant

tout de calculer si/i \" ou sin — ? qu'on ne saurait déter-

miner à l'aide déqualions quadratiques; nous venons bien

de voir une solulioii de l'équation cubique qui sert à cette détermination.

Le plus souvent, anssi bien ici que plus tard dans le calcul du sinus de lo', on utilisait pour cela une interpolation entre des sinus susceptibles d'être exprimés par des racines carrées. Pour commencer on se contente d'une interpolation toute semblable à celle de Ptolémée (p. tgi); mais, plus tard, dans la seconde moitié du x« siècle, le grand astronome et mathématicien Aboul Wafà, à Bagdad, obtient une interpolation plus délicate encore : il profite de ce fait que les différences de sinus qui correspondent à des arcs équidistants décroissent en même temps que croissent les arcs, et, par ce moyen, il savait également juger du degré de précision de ses calculs. On lui doit des Tables de sinus de dix en dix

minutes, avec une erreur limite de ^^; enfin, poiu' faciliter

davantage les calculs trigonométriques, en les débarrassant de ces combinaisons pénibles avec le théorème de Pythagore, ce qui exige sans cesse de nouvelles extractions de racines, il construisit aussi une Table des tangentes.

Pour l'application de ces Tables, on s'attacha, en partie aux méthodes contenues dans Y Analemme de Ptolémée (p. igo), en partie aux usages du théorème de Ménélas indiqués par la Syntaxe de Ptolémée (p. igS). Peu à peu, on savait également recourir plus directement à l'Ouvrage de Ménélas, et l'on prenait ses recherches comme point de départ pour des améliorations essentielles des calculs astronomiques : la règle des quatre grandeurs, déjà citée à l'occasion du théorème de Ménélas, peut nous en servir d'exemple. Avant tous, Aboul Wafà améliora les règles pour ces calculs, en vue desquels il avait créé des Tables d'une extension inconnue jusqu'alors, et une partie de ses innovations tend à utiliser au mieux possible la nouvelle Table des tangentes.

Les recherches trigonométriques d'Astronomie pénétrèrent jusqu'aux confins de l'Occident où, au xi'' siècle, Djàbir ibn Aflali de Séville, connu sous le nom de Geher, écrivit un grand Ouvrage astronomique; ce Traité se distingue des Ouvrages antérieurs que nous avons parce que la plupart des propositions trigonométriques employées sont affectées

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<le démonstrations diiréreiites de celles de Ptolémée. En outre, grâce à une relation nouvelle entre deux angles et un côté, Geber complète les formules de Ptolémée qui concernent le triangle sphérique rectangle : cette relation se trouve au moyen de la ligure employée [lar Ptolémée, dans laquelle DEF est un grand cercle ayant pour pôle le sommel de l'angle A du triangle ABC, rectangle en B, Le triangle

également rectangle DEC a l'angle C commun avec ABC, et DE=:90° — A, CD=3 9o° — a, d'où il suit que cosA = cosa sinC. Cette proposition porte le nom de Geber.

Revenons maintenant à Bagdad, oii la Trigonométrie allait occuper une position plus autonome, indépendante des applications astronomiques. On commença de s'occuper directement des triangles plans et sphériques; alors, les diverses solutions des problèmes ayant pour but de déterminer les éléments d'un triangle (côtés et angles), étant donnés trois d'entre eux, prirent une importance capitale : un des premiers pas, dans cette voie, est l'invention du théorème sur la proportionnalité des sinus des côtés aux sinus des angles opposés dans un triangle sphérique, pro[)riété qui peut être attribuée à Aboul Wafà, ou à un de ses contemporains.

Le résultat final de ces efforts ties Arabes nous est donné, d'ailleurs, dans un Ouvrage de Nassîr Eddîn sur la Trigonométrie plane et sphérique.. qui fut connu ces derniers temps seulement, en Europe, par une traduction française; son titre : Tiaitc du quadrilatère, provient de ce que le quadrilatère complet de Ménélas y sert de point de départ aux investigations.

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Il est fort inutile de nous arrêter à la Trigonométrie plane, inutile également de montrer comment on parvient à la solution d'un grand nombre des principaux problèmes de la Trigonométrie sphérique : ainsi, le théorème des sinus, que nous venons de citer, se déduit facilement du cas où l'un des angles est droit — par la division du triangle en deux triangles rectangles.

Aussi allons-nous nous contenter de montrer, du moins, comment Nassîr Eddîn résout certains problèmes plus difficiles :

Dans un triangle sphérique ABC {Jig. 3o, où nous ne regardons plus l'angle B comme droit) et dont on connaît les côtés a, b et c, il détermine un angle A de la manière suivante : il prolonge AB et AC jusqu'en AF:=9o° et AE=9o°, puis il trace le quadrilatère complet ABCDEF; le théorème de Ménélas ou bien la règle des quatre grandeurs donne alors

sinBD sinBF cosc

sinCD sinŒ cos^

Comme on connaît, de plus, la différence a des arcs BD et CD, on peut calculer ces arcs au moyen d'une règle déjà connue de Ptolémée (p. 191); cela fait, on connaît les hypoténuses et un côté dans chacun des deux triangles rectangles DBF et DCE, avec quoi l'on peut déterminer DF et DE — ainsi que leur différence, qui n'est autre que l'angle A.

Mais la manière dont Nassîr Eddin détermine les côtés, étant donnés les trois angles, est plus remarquable encore : comme nous le faisons nous-mêmes actuellement, il ramène ce problème au précédent par la construction du Iriangle polaire ou triangle supplémentaire du Iriangle donné, c'està-dire d'un triangle dont les côtés ont pour pôles les sommets du triangle donné; on sait en effet que, dans ce cas, tout sommet de l'un des deux triangles est le pôle d'un côté de l'autre, en même temps que les angles sont les suppléments des côtés de l'autre triangle. L'ouvrage de Massîr Eddîn prouve que l'invention première de cette proposition, retrouvée depuis par les Européens, revient bien aux Arabes.

Avant de prendre congé de cet auteur, remarquons aussi qu'il connaissait le théorème planimétrique suivant : tout