I. — Aperçu historique

Comme, en traitant des Malhémaliques grecques, nous devrons souvent poursuivre, au cours de longues périodes, des sujets particuliers, il sera utile de jeter dès l'abord un coup d'œil historique où nous exposerons dans quel ordre chronologi(|ue les développements de notre Science s'effectuent peu à peu, et quels mathématiciens y travaillèrent, où nous éluciderons, d'autre part, dans quelles conditions ces mathématiciens exercèrent leur activité.

Un point central dans les mathématiques grecques, est Euclide, qui vivait vers 3oo avant J.-C.

Nous possédons, dans ses Éléments, un Traité de Géométrie qui sert toujours, dans plusieurs contrées, d'œuvre didactique et qui renferme le corps des doctrines géométriques élémentaires dont, encore aujourd'hui, les principes essentiels sont partout, sous diverses formes, à la base de l'enseignement. D'une part, c'est dans cet Ouvrage que nous devons chercher des éclaircissements aux données éparses que nous avons sur les Mathématiques grecques antérieures, car ces données convergent à la naissance de la Géométrie euclidienne ; d'autre part, cet Ouvrage doit nous fournir les éléments nécessaires pour comprendre les écrivains postérieurs, car il fut le fondement sur lequel ceux-ci continuèrent de bâtir. Même en ce qui regarde l'histoire extérieure de notre Science, Euclide est donc bien central : il fut le premier grand mathématicien de l'École dite cV Alexandrie, et son travail eut lieu dans d'autres conditions que celles de ses prédécesseurs.

Le développement des Mathématiques anté-euclidiennes embrasse les trois siècles précédents qui ont, chacun, un caractère distinct.

Le premier mathématicien grec fut Thaïes de Milel qui prédit Téclipse solaire du 28 mai 585; pour cela, il doit avoir

employé des règles directement venues d'Egypte et confirmées par de longues années d'observations, de même que la plupart de ses connaissances mathématiques émanent snroment des Égyptiens. L'important, toutefois, c'est que, avec lui et l'Ecole philosophique qu'il fonda — dite ionienne — non seulement les (irecs commencèrent à réunir en corps la Science mathématique qu'ils pouvaienttenir des Égyptiens, mais aussi qu'ils se mirent à étendre cette science en divers sens; ce travail du vi^ siècle eut son mouvement initial sur la côte d'Asie Mineure et, par les actives relations commerciales, ne tarda pas à se transplanter en d'autres contrées où les Grecs s'étaient établis.

Aussi, au v^ siècle, voyons-nous le foyer central du développement des Mathématiques en un tout autre milieu, à savoir l'Italie méridionale. En ce siècle on avait reconnu que les vérités mathématiques, peu à peu ramassées et découvertes, avaient besoin de fondements sûrs et, cependant qu'on établissait ces fondements, l'on utilisait les résultats démontrés comme points de départ d'extensions nouvelles et importantes.

L'homme à qui, du moins, la tradition attribue le plus d'influence sur cette élaboration, est Pylhagore de Samos; aussi parlons-nous de lui au v« siècle, bien que son action personnelle soit partiellement antérieure à l'an 5oo : dans la Grande-Grèce, comme on nommait alors les florissantes colonies grecques de l'Italie méridionale, il fonde une école philoso|)hique qui s'isola hermétiquement et chercha, semble-t-il, par des cérémonies mystiques et le secret de ses doctrines, à se maintenir dans son isolement; cette école aristocratique devait aussi tenter de l'action politique, mais elle excita la malveillance des profanes et fut dispersée quand les démocrates tirèrent à eux le pouvoir dans la Grande-Grèce.

Beaucoup plus tard, les néopythagoriciens prétendirent que leurs doctrines, pour la plupart religieuses et éthiques, remontaient à Pythagore, et ils entourèrent leur soi-disant père spirituel de tant de légendes qu'il est difficile d'y découvrir la part de vérité qu'elles peuvent contenir; ce qui, dans ces récits, peut avoir quelque intérêt pour nous se rapporte à ses voyages en Egypte, où il put fort bien aller

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— comme plus tard Plalon el Eudoxe — et à un voyage très douteux en Babylonie. L'isolement de son école fut important pour le développement des Mathématiques : il assura l'active communauté dans le travail à des hommes qui se comprenaient les uns les autres; mais il est cause également (jue nous savons bien mal ce qui revient au maître el ce qui revient aux disciples.

Plus lard, la dispersion de l'école fit répandre ses doctrines mathématiques sur les dillerentes contrées où le peuple grec s'était établi; mais, en d'autres lieux, ces doctrines fusionnèrent certainement avec les résultais du travail exécuté par d'autres dans le domaine philosophique ou mathématique, aussi n'est-il pas aisé de discerner dans les Mathématiques de l'Abdéritain Démocrite (né vers 46o avant J.-C.) la part plus ou moins grande qu'un penseur aussi original doit aux pythagoriciens.

Hippocrate de Chios, un peu plus âgé, résidait à Athènes et y enseignait les Mathématiques après avoir été marchand el avoir perdu son bien; il a peut-être appris diverses choses des pythagoriciens, mais il n'appartient nullement à leur école et acquiert à nos yeux une importance particulière parce que nous avons de lui un morceau complet de Géométrie, le seul échantillon de cette espèce qui nous ait été conservé du v* siècle; en outre, il vécut à Athènes, en cette ville même qui se disposait à devenir déjà le foyer de la vie intellectuelle, de l'Art et de la Science hellènes, le champ des luttes entre les philosophes et les sophistes, parmi lesquels Hippias d'Élis, par exemple, fut un mathématicien de valeur, la ville enfin qui allait devenir, au siècle suivant, le centre du développement des Mathématiques.

Dans l'Italie méridionale, cependant, se poursuivait le développement des théories pythagoriciennes, et un mathématicien remartiuable, Archytas de Tarente, que nous y trouvons précisément à la fin du v^ siècle, est expressément désigné comme le dernier pythagoricien d'importance : il vivait dans sa ville natale oïi il était considéré, tant comme homme d'État et capitaine que comme mathématicien.

C'est grâce à Archytas que le développement ac(|uis par la vieille école pythagoricienne, et ses successeurs immédiats.

li^ LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

aboutit à ceux-là mêmes qui seront les chefs du mouvemenl mathématique au iv siècle, à savoir Platon d'Athènes et Eudoxe de Cnide : car tous deux, dans leurs voyages d'étude en Grande-Grèce, connurent Archytas et subirent son influence.

Avant d'entrer dans des détails sur ces deux hommes et leurs écoles, je veux, à mes remarques sur les deux siècles précédents, ajouter ici celle qui peut caractériser le iv en o-énéral : dès cette époque, il était clair qu'une pleine exactitude ne peut s'obtenir en mathématiques que par l'édification d'un système bien coordonné et c'est, en partie grâce aux tentatives répétées pour construire de tels systèmes, en partie grâce au progrès des méthodes nécessaires à l'extension et à l'amélioration de la matière, qu'on porta la Géométrie élémentaire au point où nous la trouvons chez Euclide. En même temps, on avait commencé de développer une Géométrie supérieure dans laquelle la théorie des sections coniques atteignit à la plus haute importance.

Platon (429-848) est le grand philosophe, disciple de Socrate et fondateur de l'école qui fut appelée Académie, de l'endroit d'Athènes où elle se groupait autour du maître. Platon n'emprunta pas son goût des mathématiques à Socrate, car celui-ci eût voulu les restreindre aux seuls usages pratif|ues, mais aussi Socrate ne fut-il pas son seul maître et, après la mort de celui-ci, il eul l'occasion, d'abord à Cyrène, puis dans la Grande-Grèce, de s'initier aux Mathématiques et à la philosophie des pythagoriciens : à Cyrène, il étudia les Mathématiques auprès du même maître qu'un autre Athénien, de grande valeur comme mathématicien, Théétète, nom qu'il a attribué à l'un de ses Dialogues — peut-être même furent-ils ensemble à Cyrène ('); — en Sicile, il se lia d'amitié avec Archytas. Platon visita également l'Egypte.

Si nous voulons comprendre exactement en quoi consista l'influence de Platon sur la marche des Mathématiques, nous rencontrons les mêmes dilTicultés que pour Pythagore : de même que les néopythagoriciens le faisaient envers Pytha-

(') Le Tliéctete de Platon présente Théodore de Cjrène comme professant à Athènes au temps de Socrate; ce qui constitue un témoignage beaucoup plus assuré que ceux qui se rapportent au prétendu voyage de Platon à Cyrène. (T.)

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gore, les académiciens nouveauv atlribiieraicnl voioiilicrs à Platon tout l'honneur possible; non qu'ils lui assignent des rechci'chcsmalhémaliquos personnelles (J'ini[>orlance notable, mais ils se montrent plutôt enclins à lui attribuer les mélliodes (|ui furent emploA'ées de son temps, comme ils le sont aussi à le l'aire passer pour le conseiller de ceu\ qui firent faire aux Malbémati(iues des progrès proprement dits.

Quelque peu vraisemblables (]ue soient ces données, Platon n'en reste pas moins celui des disciples de Socrate qui, avant tous les autres, fut le promoteur du développement intellectuel, celui qui attira à Athènes les hommes avides de savoir de tous les pays et colonies grecques : qu'il se soit vivement intéressé aux Mathématiques et à leur progrès c'est là, en tout cas, un fait de la plus haute importance. Qu'il ait fait écrire à l'entrée de l'Académie : <j.y^ozU âvîoviTpYpo; elatTw — nul n'entre ici s'il n'est géomètre — n'est peutêtre en vérité qu'une légende, mais il ressort néannu)ins de ses propres œuvres qu'il considérait une certaine culture géométrique préalable comme nécessaire à Tintelligence de la Philosophie, et l'usage qu'il fait dans le Timée des cinq polyèdres réguliers leur a valu le nom, qu'ils conservent, de solides de Platon.

Après lui, le grand philosophe Aristote, qui s'est beaucoup occupé des Sciences naturelles, montra aussi quel([ue goût pour les Mathématiques, sans toutefois faire preuve nulle part d'une entente particulièrement [irononcée de ces sciences, mais l'attitude de ces deux hommes fut telle que les mathématiciens purent trouver place dans les sociétés savantes de l'époque, l'école académique de Platon et la péripatéticienne d'Aristote, qu'ils y purent travailler de concert avec d'autres penseurs, s'y faire comprendre, et que les Mathématiques et la Philosophie purent se donner une impulsion réciproque, tant par leurs relations pacifiques que par leurs discordes mêmes : de la sorte, les Mathématiques devinrent un élément de la haute culture grecque et la forme, le ton qu'elles assumèrent à cette époque, laisse au mieux reconnaître qu'elles se sont développées dans des cercles de fine éducation où les penseurs avaient des prétentions à s'exprimer avec correction.

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Une école eut, toutefois, pour le développement des Mathématiques, une importance plus directe encore que ces illustres écoles de Philosophie : l'école mathématicienne et naturaliste qui se groupa, au temps de Platon, dans la ville commerciale de Cyzique, sur la mer de Marmara, autour du très estimé médecin, astronome et mathématicien, Eudoxe de Guide.

Jeune homme, Eudoxe avait visité la Grande-Grèce et l'Egypte; à cette époque il n'y avait presque plus rien à apprendre en Géométrie dans cette dernière contrée pour un mathématicien grec, mais, en revanche, en Astronomie, les antiques observations des Égyptiens lui furent d'une très grande utilité et il sut en tirer fort bon parti, puisqu'on lui doit d'avoir fondé uniquement l'Astronomie sur l'observation et sur l'investigation géométrique, à l'exclusion de l'Astrologie et des vides spéculations; dans l'Italie méridionale Eudoxe étudia la Médecine et la Géométrie, celle-ci auprès d'Archytas.

La liaison de leurs deux fondateurs avec les pythagoriciens fut certainement un gage de bonne collaboration pour les deux écoles de Platon et d'Eudoxe, collaboration qui parfois tourna pourtant en luttes querelleuses. Les relations entre les deux écoles d'Athènes et de Cyzique ne se bornent pas, d'ailleurs, aux rapports fortuits auxquels pouvait prêter l'actif commerce d'une ville à l'autre; Eudoxe a visité Athènes avec ses disciples qui ont alors entendu les leçons de Platon : plusieurs d'entre eux doivent avoir même adhéré à sa philosophie. Les élèves les plus connus d'Eudo.ve furent les frères Ménechme et Dinostrate; et Ménechme écrivit sur la politique, dit-on, comme un platonicien.

Maintenant, quels résultats a-l-on obtenus dans ces trois siècles passés en revue, quelles formes de démonstrations et d'exposition se sont développées? c'est ce que l'on apprendra fort clairement par les ressources que nous offre à ses débuts l'école alexandrine qui va suivre, par les propositions dont se sert Platon dans ses Dialogues, et par l'étude des formes logiques instituées par Aristote. Les matières sur lesquelles ces dernières ont pu s'employer le plus simplement et le plus exactement sont les Mathématiques; elles se sont alors sûrement développées, précisément par l'usage qu'en faisaient les

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malliéniulieiens, et iious sont ainsi léii!oiu.s de l'avantage que la Philosopliie a remporté de sa collaboration (ci-dessiis mentionnée) avec les Mathématiques.

Si, dans ce qui va suivre, nous ne nous contenterons pas de dire, comme un fait, à quel point les Malliématiques en étaient arrivées mais si nous rendons compte, en même lenqis, et du mérite qui revient à chacun dans cette œuvre, et de l'enchaînement successif des idées les unes aux autres, c'est qu'en cela nous nous appuyons sur les assertions concernant notre sujet qui sont disséminées dans des écrivains postérieurs, et aussi sur un historien des Mathématiques de la fin de la période que nous envisageons, le péripalélicien Eudème de Rhodes; sans doute nous ne possédons pas non plus son œuvre, mais certains extraits importants en ont été conservés par des écrivains plus récents.

C'est par un de ces extraits, donc de troisième main, que nous connaissons les fragments dont nous avons parlé, d'Ilippocrate de Chio.

Ce cou|) d'œil sur les trois siècles écoulés a pu évoquer en nous une image un peu trouble : les Mathématiques naissent sur les côtes d'Asie .Mineure; ensuite leur développement dans l'Italie méridionale attire surtout notre attention; après quoi c'est Athènes qui, par sa supériorité intellectuelle universelle, capte les malhémaliciens.

Sans doute leur élude se poursuit aussi en d'autres lieux, comme en Grande-Grèce où, un siècle et demi après Archylas, le plus grand mathématicien devait naître aux (îrecs en la personne d'Archimède, mais la conséquence de l'hégémonie intellectuelle exercée par Athènes sur le monde entier fut que les travaux des mathématiciens qui y vécurent étaient les moins sujets à l'oubli : la grande extension de l'étude des jMathémali(|ues pendant cette épocpie a pour raison, en partie l'activité des rapports commerciaux entre les Grecs disséminés, en partie les guerres nombreuses et les trouhles politiques qui chassèrent les hommes éminents d'un endroit à l'autre. Ceux qui purent demeurer au même endroit, comme ce fut le cas à Athènes, y étaient soumis à des inquiétudes analogues.

En même temps, les mathématiciens eurent sans doute ù 7. 2

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soutenir aussi toutes sortes de luttes intellectuelles, soit entre eux, soit contre les sophistes et les philosophes.

Ce fut dans de telles conjonctures que, non seulement les Mathématiques acquirent tant d'extension en maintes contrées et parmi les savants de toutes sortes, mais qu'elles se munirent encore de tous ces moyens d'exactitude dans la démonstration et dans l'exposition, moyens que nous admirons si fort encore aujourd'hui : pour la démonstration, en principe, nous n'avons rien de mieux à faire que de les imiter; pour ce qui est de la forme d'exposition, nous devons cependant dire que l'exactitude y était obtenue aux dépens de l'intelligibilité, au point que ce fut plus lard la cause qu'on rétroarada quand se perdit la tradition orale, et que l'entière intelligence des profonds mathématiciens grecs n'a été retrouvée qu'en nos temps modernes oi^i les Mathématiques, quoique toujours un peu sous l'influence grecque, ont su de nouveau s'élever peu à peu à la même hauteur sur les mêmes domaines.

Cette décadence des Mathématiques à laquelle nous venons de faire allusion ne commença pas, toutefois, comme pour la poésie, l'éloquence, les autres arts et la Philosophie, au moment où les circonstances extérieures, après la mort d'Alexandre le Grand, furent si essentiellement modifiées : au contraire, c'est alors qu'eut lieu le plus riche épanouissement des Mathématiques.

Comme on le sait, dans le partage de l'empire, Ptolémée, fils de Lagus, obtint l'Egypte avec la ville nouvelle d'Alexandrie : lui et ses successeurs firent de cette ville, non seulement le plus important centre commercial, mais un foyer scientifique de premier ordre. C'est sous son règne et ceux de ses successeurs immédiats, qui s'appelèrent aussi Ptolémée, que fut fondé le Muséum oii des savants, sans souci de leur entretien, purent vivre pour la Science. Les Ptolémées fondèrent et agrandirent la bibliothèque alexandrine, où peu à peu furent rassemblées des copies de toutes les œuvres grecques importantes qu'on put se procurer : comme dans une université moderne, la jeunesse grecque studieuse se rassemblait à Alexandrie et y suivait l'enseignement des érudits de l'endroit, en grammaire et en Mathématiques.