APERÇU HISTORIQUE

Ces conditions ne pouvaient qu'être utiles aux Malliémaliques, qui ont besoin do paix, aussi bien pour réunir en solides faisceaux de systèmes les nombreux résultats acquis, mais é|)ars, que pour employer les fécondes mélbodes conquises à s'élever plus Iiaut encore qu'auparavant. Il fallait du calme pour que se poursuivît l'enseignement oral sans lequel les grandes œuvres écrites n'eussent été que peu accessibles. En outre, les Matbématitpies étant devenues une science spéciale, il y fallait des spécialistes qui n'eussent pas perpétuellement à se quereller avec les pbilosophes sur leur propre Science, ou bien à faire eux-mêmes de la Philosophie.

Cette spécialisation de l'érudition alexandrine n'empêchait pourtant point qu'un seul et même homme exerçât son activité dans plusieurs branches, et ce fut le cas pour Ératosthène de Cyrône, par exemple, qui vécut dans la dernière moitié du m" siècle et fui pendant un certain temps directeur de la Bibliothè(|ue alexandrine : outre la Philosophie et la Grammaire, il s'occujia de Géographie, — de haute Géodésie même : il entreprit la première mesure d'un degré du méridien, — de Chronologie et de Mathématiques.

La paix qui favorisa les malhémaliciens d'Alexandrie pouvait bien entraîner aussi quelques inconvénients : l'orgueil, par exemple, et les coteries; on ne doit donc pas regretter que le plus grand maihémalicien de ce temps, Archimède, n'ait pas vécu à Alexandrie, mais à Syracuse.

C'est de là que, successivement, il envoyait travaux achevés et résultats provisoires à Alexandrie. Certains mathématiciens de cette ville voulurent, il est vrai, s'approprier quelques-uns de ses résultats, dont ils établissaient la démonstration après lui, mais il les mystifia un beau jour en leur communiquant des résultats faux dont ils firent aussi des démonstr.itions. Du reste, le séjour d'Arcliimède hors d'Alexandrie eut ceci d'utile, pour notre connaissance de ses œuvres, qu'il dut beaucoup rédiger par écrit, tandis qu'étant à Alexandrie il se serait contenté de communications orales à son entourage et à ses élèves ou, du moins, le cas échéant, il eût écrit simplement sous une forme appropriée à ceux-ci.

Les mathématiciens de cette période qui nous ont laissé des Ouvrages importants de Mathématique pure (Géométrie)

et qui ont certainement de beaucoup dépassé les autres mathématiciens notables de leur temps sont : Euclide (environ 3oo ans avant J.-C), Archimède, mort en 212, et Apollonius (environ 200 ans avant J.-C.)-

On sait peu de particularités sur la \ie d'Euclide, mais nous possédons, outre ses Éléments déjà cités, une autre œuvre élémentaire qui s'intitule ordinairement d'un nom latin : Data. On connaît encore, sous une forme plus ou moins authentique, un écrit sur la Division des figures; une œuvre astronomique : les Phénomènes et une Optique qui contient les propositions les plus simples sur la perspective. Ses quatre livres de 5ec^/o//,9 co/i/'^/ze^ et ses deux livres des Lieux en surface; ses Porismes et un écrit sur les Fausses conclusions ont été perdus. On en peut cependant deviner le contenu d'après des collections postérieures de lemmes et d'après des commentaires : les Porismes, par exemple, comprenaient plusieurs des propositions sur les transversales et les divisions homographiques, dont s'occupe aujourd'hui la Géométrie projeclive.

Archimède vivait à Syracuse, où il était fort considéré, et ami du roi Hiéron. II trouva la mort lors de la prise de Syracuse par les Romains après avoir, de diverses manières, appliqué sa science de la Mécanique à défendre la ville. 11 a sûrement visité Alexandrie pour y lier des relations avec ceux à qui, plus tard, il envoyait ses écrits; voici ce qui nous en reste : sur la Sphère et le cylindre, Mesure du cercle, sur les Conoïdes et les sphéroïdes, sur les Spirales, •èXivV Équilibre des figures planes, Calcul du sable, Quadrature de la parabole, et sur les Corps flottants, le dernier Ouvrage en traduction latine seulement. Nous avons de plus, par les écrivains grecs postérieurs et la tradition arabe, quehjues fragments, parmi lesquels un Ouvrage sur les Solides demi-réguliers et une série de propositions géométriques que nous appellerons Lemmes d Archimède : ces lemmes, toutefois, sont peut-être partiellement d'origine plus récente.

Apollonius de Perga travailla sûrement à Alexandrie : on a conservé sept de ses huit livres sur les Sections coniques; les quatre premiers existent en grec, et les trois suivants sont

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connus par une Iradiiclion araljc. C'est de la même source que nous tenons un Traité de la section de raison, tandis que nous ne connaissons que par des relations postérieures ses écrits sur la seclion déterminée, la section de Vespace, les contacts et les intercalations. Il semble aussi qu'Apollonius contribua beaucoup à l'application des Mathématiques à l'Astronomie.

Citons parmi les contemporains, les prédécesseurs et les successeurs immédiats de ces trois grands géomètres : Aristée, un peu plus vieux ([u'Euclide, rpii avait écrit des Ouvrages perdus sur les Lieux solides et les Polyèdres réguliers: Eratosibène, que nous avons déjà nommé; Xicomède, qui vécut entre Archimède et Apollonius; Diodes, Persée, Zénodore et Hypsiclès. Ce dernier écrivit, sur les polyèdres réguliers, un livre qu'on a coutume d'admettre dans les éditions vulgaires des Éléments d'Euclide comme Livre quatorzième. Quant aux autres, nous ne les connaissons guère que par les litres de quelques écrits perdus, ou certains résultats isolés que mentionnent de plus récents écrivains.

Même après l'époque (pie nous venons d'esquisser, nous rencontrerons d'importants progrès en des branches particulières de la Mathématique grecque, surtout en celles qui s'appliquent à l'Astronomie et, encore que nous n'écrivions pas une histoire de cette dernière Science, nous jetterons cependant ici un coup d'œil sur les écrivains astronomes des diverses époques de Fantifiuité grecque qui, par leurs travaux intéressant les Mathématiques, méiitent une mention particulière.

Nous eûmes déjà l'occasion de dire ([u'Eudoxe, auquel les Mathématiques sont redevables de leurs plus profondes méthodes, avait également fondé l'Astronomie grecque scientifique qui, pourtant, subit assez vite une inlluence extérieure, car l'expédition d'Alexandre le Grand fit connaître aux Grecs la vieille Astronomie chaldéenne. Les grands mathématiciens alexandrins furent, avons-nous dit, en même temps astronomes; parmi eux, et notamment entre Euclide et Eratosthène, nous devons placer Aristarque de Samos (environ 270 ans avant J.-C) qui avait édifié déjà sur le système du monde Ihypothèse que reprit Copernic dix-huit siècles |)lus tard : les travaux de Géographie mathématique

22 LES M4THÉMATIQUES GRECQUES.

d'Eraloslhène durent servir, entre autres choses, à la réduction des observations faites ailleurs par les astronomes chaldéens.

C'est à Apollonius que, certainement, reviennent bon nombre des théories qui furent la base des progrès réalisés à l'époque suivante par les astronomes grecs au point de vue du calcul et de l'observation; ses successeurs immédiats furent sans doute des Alexandrins, mais l'homme qui prit le premier rang parmi les astronomes grecs, Hipparque de Nicée (i5oans environ avant J.-C), fit ses observations à Rhodes, il utilisa, en en tirant tout le parti possible, les antiques observations des Chaldéens, et c'est à peu près de son temps que date l'apparition de l'influence orientale par la division de la circonférence en 36o" et l'emploi général du système sexagésimal dans les calculs astronomiques et trigonomé- Iriques.

Parmi les astronomes plus récents il faut, dans l'histoire des Mathématiques, nommer Ménélas d'Alexandrie (dernière moitié du i" siècle après J.-C ) dont nous connaissons trois livres sur la Géométrie sphérique, par des traductions hébraïque et arabe et, surtout, Plolémée, d'un demi-siècle plus jeune : c'est par sa Syntaxe Meyà^Yi çùvra^-ç, mieux connue sous le nom arabe défiguré cVAlmagesle, que nous savons le plus complètement l'Astronomie grecque (dans le système dit de Ptolémée) et la Trigonométrie qui s'y rattache; au reste, la majeure partie de ce que nous trouvons chez lui émane d'astronomes antérieurs, particulièrement d'Hipparque, dont 11 ne nous est resté que fort peu de chose.

Tandis que, même après l'époque des grands mathématiciens, l'application des Mathématiques à l'Astronomie imprimait en retour à leur développement une impulsion en avant, il n'en fut point de même pour leur application à l'Arpentage et à la Mécanique pratique : le fondement théorique de l'Arpentage se trouvait déjà dans la Géométrie grecque et ce qui, en Mécanique théorique, vient de l'antiquité, c'est Archimède qui le développa le plus clairement et le plus complètement. Qu'Archimède et ses contemporains aient fait un important usage de la Mécanique pratique, nous le savons par des témoignages postérieurs et

APERÇU BISTORIQLi:. 2,3

il ressort de l'origine égypUennc et du nom même de la Géométrie grecque qu'elle s'ap[)liqua dès ses débuis à l'Arpentage : son nom, en elîet, signifie exaclemenl mesurage du sol quoique, dès le temps d'Arislote, l'Arpentage portât le nom spécial de Géodésie. En même temps que l'Arpentage, et au même litre, la Logistique, ou calcul, fut abandonnée comme non scientifique par les géomètres proprement dits : aussi les Éléments d'Euclide fonl-ils aussi peu de cas de l'Arpentage que des autres usages numériques des Matbéniatiques.

Une conséquence regrettable fut que nous ne savons point |)ar voie directe comment, aux meilleurs jours des Matbéniatiques grecques, on s'y prenait pour utiliser pratiquement les résultais de cette science et, outre les écrivains astronomifiues, ce sont des écrivains encore plus récents qui nous doivent renseigner à cet égard; parmi eux une mention spéciale est due à Héron d'Alexandrie, dont jusqu'à présent on avait placé l'existence peu après la meilleure époque de l'alexandrinisme, mais qui, d'après les plus récentes res chercbes, semble avoir vécu au plus tôt au u'^ siècle après J.-C. ou vers la fin du r"" : ses travaux, où l'on rencontre de bonnes méthodes grecques à côté de formules approximatives égyptiennes de valeurs diverses (•), ont joué un rôle important, car ils enseignèrent l'Arpentage et autres usages pratiques de la Géométrie pendant la longue période où l'on perdit l'intelligence de la Géométrie grecque exacte, ou même pendant laquelle on ne la connaissait pas du tout, et ils sont rendus précisément aptes à ce rôle parce qu'ils traitent de nombreux problèmes numériques,

L'im[)ortance d'Héron pour Ibistoire des Mathématiques consiste encore en ce fait qu'il nous fait passablement concevoir jusqu'à quel point et de quelle sorte étaient exécutées les opérations numériques correspondant aux résultats scientifiques de la Géométrie grecque.

( ' ) L'Ouvrage original de Héron, les Métriques, a été récemment retrouvé, mais est encore inédit; jusqu'à sa publication, on ne peut porter un jugement précis sur l'origine et l'histoire de ces formules approximatives, conservées en t'ait par la tradition byzantine qui a singulièrement altéré l'œuvre héronienne. (T.)

2/4 LES MATHÉMATIQLES GRECQUES.

Cependant, dès le début de notre ère, le développement des M;illiémaliques grecques, au moins en ce qui (ait leur grandeur, s'était arrêté. Pour en comprendre la raison, qu'explique la constitution propre à ces Mathématiques, il les faut d'abord connaître elles-mêmes; nous pouvons seulement remarquer ici que les circonstances extérieures favorables au milieu desquelles on avait travaillé dans la première partie de la période alexandrine n'existaient plus : déjà, sous (|uelqucsuns des Ptolémées postérieurs, les savants furent en moins bonne situation que sous les premiers rois de ce nom, mais les conditions favorables cessèrent tout à fait lorsque, au milieu du dernier siècle avant J.-C, les Romains devinrent maîtres d'Alexandrie comme ils l'étaient déjà de la plupart des contrées où habitaient des Grecs. En Mathématique, en effet, ils ne se montrèrent nullement disciples studieux des vaincus.

Au cotirs des années, la bibliothèque d'Alexandrie, destinée à être le dépôt des acquisitions scientiques, subit plusieurs incendies, et si Alexandrie n'en continua pas moins d'être le lieu du monde où se conserva le mieux l'intelligence des vieilles Mathématiques, où même elle eut parfois des retours d'éclat, cela tient sûrement à ce qu'elle fut toujours le point où se trouvaient conservés la |)lupart des Ouvrages.

Pappus y vécut à la fin du iii^ siècle après J.-C; ce ne fut pas, sans doute, un grand mathématicien en comparaison de ceux (lui, aux temps des Ptolémées, travaillaient dans cette ville, mais sa Collection mathématique ?iT^v\'s, une importance ina|)préciable grâce aux éclaircissements qu'elle nous a directement apportés, ou indirectement par des séries de Icmmes, sur des Ouvrages, maintenant perdus, des grands mathématiciens grecs.

Dans une seule branche des Mathématiques, au temps de Pappus, on trouva pourtant quelque chose de neuf encore : c'est en Arithmétique. De la péiiode qui s'étend entre les grands mathématiciens et Pappus, nous avons les Travaux de plusieurs arithméticiens, parmi lesquels INicomaciue (environ loo après J.-C.) jouit surtout d'une grande consitlération : il écrivit une Introduction arithmétique qui fut conservée. Mais la raison pour laquelle lui et quelques autres arithméticiens semblent nous otfrir du nouveau est que, à peu d'excep-