APERÇU HISTORIQUE

connus par une traduction arabe. C'est de la même source que nous tenons un Traité de \eiseclion de raison, tandis que nous ne connaissons que par des relations postérieures ses écrits sur la section déterminée, la section de l'espace, les contacts et les intercalations. Il semble aussi qu'Apollonius contribua beaucoup à l'application des Mathématiques à l'Astronomie.

Citons parmi les contemporains, les prédécesseurs et les successeurs immédiats de ces trois grands géomèlres : Aristée, un peu plus vieux qu'Euclide, qui avait écrit des Ouvrages perdus sur les Lieux solides et les Polyèdres réguliers; Ératosthène, que nous avons déjà nommé; Nicomède, qui vécut entre Archimède et Apollonius; Dioclès, Persée, Zénodore et Hypsiclès. Ce dernier écrivit, sur les polyèdres réguliers, un livre qu'on a coutume d'admettre dans les édilions vulgaires des Eléments d'Euclide comme Livre quatorzième. Quant aux autres, nous ne les connaissons guère que par les litres de quelques écrits perdus, ou certains résultats isolés que mentionnent de plus récents écrivains.

Même après l'époque que nous venons d'esquisser, nous rencontrerons d'importants progrès en des branches particulières de la Mathématique grecque, surtout en celles qui s'appliquent à l'Astronomie et, encore que nous n'écrivions pas une histoire de celle dernière Science, nous jetterons cependant ici un coup d'oeil sur les écrivains astronomes des diverses époques de l'antiquité grecque qui, par leurs travaux intéressant les Mathématiques, méritent une mention particulière.

Nous eûmes déjà l'occasion de dire qu'Eudoxe, auquel les Mathématiques sont redevables de leurs plus profondes méthodes, avait également fondé l'Astronomie grecque scientifique qui, pourtant, subit assez vite une influence extérieure, car l'expédition d'Alexandre le Grand fît connaître aux Grecs la vieille Astronomie chaldéenne. Les grands mathématiciens alexandrins furent, avons-nous dit, en même temps astronomes; parmi eux, et notamment entre Euclide et Ératosthène, nous devons placer Arislarque de Samos (environ 270 ans avant J.-C) qui avait édifié déjà sur le système du monde l'hypothèse que reprit Copernic dix-huit siècles plus tard : les travaux de Géographie mathématique

(l'Eratosthène durent servir, entre autres choses, à la réduction des observations faites ailleurs par les astronomes chaldéens.

C'est à Apollonius que, certainement, reviennent bon nombre des théories qui furent la base des progrès réalisés à l'époque suivante par les astronomes grecs au point de vue du calcul et de l'observation; ses successeurs immédiats furent sans doute des Alexandrins, mais Thomme qui prit le premier rang parmi les astronomes grecs, Hipparque de Nicée (i5o ans environ avant J.-C), fit ses observations à Rhodes, il utilisa, en en tirant tout le parti possible, les antiques observations des Chaldéens, et c'est à peu près de son temps que date l'apparition de l'influence orientale par la division de la circonférence en 36o° et l'emploi général du syslème sexagésimal dans les calculs astronomiques et trigonométriques.

Parmi les astronomes plus récents il faut, dans l'histoire des Mathématiques, nommer Ménélas d'Alexandrie (dernière moitié du i^^ siècle après J.-C ) dont nous connaissons trois livres sur la Géométrie sph^rique, par des traductions hébraïque et arabe et, surtout, Ptolémée, d'un demi-siècle plus jeune : c'est par sa Syntaxe MeyàXYi «jùvra^tç, mieux connue sous le nom arabe défiguré d'Almageste, que nous savons le plus complètement l'Astronomie grecque (dans le système dit de Ptolémée) et la Trigonométrie qui s'y rattache; au reste, la majeure partie de ce que nous trouvons chez lui émane d'astronomes antérieurs, particulièrement d'Hipparque, dont il ne nous est resté que fort peu de chose.

Tandis que, même après l'époque des grands mathématiciens, l'application des Mathématiques à l'Astronomie imprimait en retour à leur développement une impulsion en avant, il n'en fut point de même pour leur application à l'Arpentage et à la Mécanique pratique : le fondement théorique de l'Arpentage se trouvait déjà dans la Géométrie grecque et ce qui, en Mécanique théorique, vient de l'antiquité, c'est Archimède qui le développa le plus clairement et le plus complètement. Qu'Archimède et ses contemporains aient fait un important usage de la Mécanique pratique, nous le savons par des témoignages postérieurs et

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\\Te%%otv^^ ^'^ a ' ^Sypiienne et du nom même de la Géomélne eTecc\v^^ ^Ue s'appliqua dès ses débuts à TArpen- Uee ; sow uo^' ^ ^tîet, signifie exactement mesurage du sol quoique, ^^^^^ ^emps d'Aristote, l'Arpentage portât le nom spècvAl de ^^^désie. En même temps que l'Arpentage, et au même Û^^'^» ^^ Logistique, ou calcul, fut abandonnée comme uot\ scientifique par les géomètres proprement dits : aussi \es Éléments d'Euclide font-ils aussi peu de cas de l'Arpentage que des autres usages numériques des Mathématiques.

Une conséquence regrettable fut que nous ne savons point par voie directe comment, aux meilleurs jours des Mathématiques grecques, on s'y prenait pour utiliser pratiquement les résultats de cette science et, outre les écrivains astronomiques, ce sont des écrivains encore plus récents qui nous doivent renseigner à cet égard; parmi eux une mention spéciale est due à Héron d'Alexandrie, dont jusqu'à présent on avait placé l'existence peu après la meilleure époque de Talexandrinisme, mais qui, d'après les plus récentes res cherches, semble avoir vécu au plus tôt au ii^ siècle après J,-C. ou vers la fin du i"' : ses travaux, où l'on rencontre de bonnes méthodes grecques à côté de formules approximatives égyptiennes de valeurs diverses (*), ont joué un rôle important, car ils enseignèrent l'Arpentage et autres usages pratiques de la Géométrie pendant la longue période où l'on perdit rintelligence de la Géométrie grecque exacte, ou même pendant laquelle on ne la connaissait pas du tout, et ils sont rendus précisément aptes à ce rôle parce qu'ils traitent de nombreux problèmes numériques.

L'importance d'Héron pour l'histoire des Mathématiques consiste encore en ce fait qu'il nous fait passablement concevoir jusqu'à quel point et de quelle sorte étaient exécutées les opérations numériques correspondant aux résultats scientifiques de la Géométrie grecque.

( ^ ) L'Ouvrage original de Héron, les Métriques, a été récemment retrouvé, mais est encore inédit; jusqu'à sa publication, on ne peut porter un jugement précis sur l'origine et Thistoiro de ces formules approximatives, conservées en fait par la tradition byzantine qui a singulièrement altéré l'œuvre héronienne. (T.)

Cependant, dès le début de notre ère, le développement des Mathématiques grecques, au moins en ce qui fait leur grandeur, s'était arrêté. Pour en comprendre la raison, qu'explique la constitution propre à ces Mathématiques, il les faut d'abord connaître elles-mêmes; nous pouvons seulement remarquer ici que les circonstances extérieures favorables au milieu desquelles on avait travaillé dans la première partie de la période alexandrine n'existaient plus : déjà, sous quelquesuns des Ptolémées postérieurs, les savants furent en moins bonne situation que sous les premiers rois de ce nom, mais les conditions favorables cessèrent tout à fait lorsque, au milieu du dernier siècle avant J.-C, les Romains devinrent maîtres d'Alexandrie comme ils l'étaient déjà de la plupart des contrées où habitaient des Grecs. En Mathématique, en effet, ils ne se montrèrent nullement disciples studieux des vaincus.

Au cours des années, la bibliothèque d'Alexandrie, destinée à être le dépôt des acquisitions scienliques, subit plusieurs incendies, et si Alexandrie n'en continua pas moins d'être le lieu du monde où se conserva le mieux l'intelligence des vieilles Mathématiques, où même elle eut parfois des retours d'éclat, cela tient sûrement à ce qu'elle fut toujours le point où se trouvaient conservés la plupart des Ouvrages.

Pappus y vécut à la fin du m® siècle après J.-C; ce ne fut pas, sans doute, un grand mathématicien en comparaison de ceux qui, aux temps des Ptolémées, travaillaient dans cette ville, mais sa Collection mathématique ^ pris une importance inappréciable grâce aux éclaircissements qu'elle nous a directement apportés, ou indirectement par des séries de lemmes, sur des Ouvrages, maintenant perdus, des grands mathématiciens grecs.

Dans une seule branche des Mathématiques, au temps de Pappus, on trouva pourtant quelque chose de neuf encore : c'est en Arithmétique. De la période qui s'étend entre les grands mathématiciens et Pappus, nous avons les Travaux, de plusieurs arithméticiens, parmi lesquels Nicomaque (environ 100 après J.-C.) jouit surtout d'une grande considération : il écrivit une Introduction arithmétique qui fut conservée. Mais la raison pour laquelle lui et quelques autres arithméticiens semblent nous offrir du nouveau est que, à peu d'excep-

lions près, les recherches d'Arithmétique de la meilleure époque ne nous SQnt pas parvenues.

En revanche, les Ouvrages que nous possédons de Diophante, contemporain de Pappus, affectent une telle originalité qu'il nous faut bien y voir un élargissement réel des Mathématiques grecques; on nous a conservé, de sa main, la majeure partie d'un grand Ouvrage intitulé Arithmétique, encore que nous ignorions si un petit écrit touchant les nombres figurés faisait corps avec celte œuvre.

Si, maintenant, nous considérons le contenu mathématique de la Géométrie grecque en la prenant dès l'époque la plus reculée, nous ne savons qu'extrêmement peu de choses touchant le vi® siècle. Sans doute Eudème attribue à ïhalès différentes propositions parmi lesquelles il peut fort bien avoir connu celle-ci :

« L'angle inscrit dans une demi-circonférence est un angle droit, »

qu'il l'ait, au reste, trouvée lui-même ou l'giit tenue des Egyptiens : cette proposition, en effet, se déduit sans aucune difficulté du fait facilement constatable qu'un rectangle peut être inscrit dans une circonférence.

En revanche, il est difficile de trouver quelque sens à l'affirmation d'Eudème qui attribue à Thaïes d'avoir démontré que le diamètre partage un cercle en deux parties égales : à cette époque, on n'aurait vu aucune nécessité de démontrer un fait d'une telle évidence. Toutefois, Eudème veut peut-être dire que la connaissance de cette proposition considérée, de son temps, comme indispensable pour la démonstration du théorème sur l'angle inscrit dans un demi^cercle, dut également être nécessaire à Thaïes, et il ne faut pas non plus attacher d'autre importance à la mention qu'il fait encore des théorèmes suivants :

« Quand deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux; de même les angles à la hase d'un triangle isoscèle » ; ,

« On détermine un triangle à l'aide d'un côté et des deux angles adjacents ».

Cette dernière proposition, en particulier, n'acquiert toute sa valeur théorique que si on la présente avec d'autres propositions semblables, qui lui sont connexes, et comme on ne dit pas si Thaïes connut ces propositions, il faut y voir comme explication que la tradition aurait mis sur le compte de Thaïes ceriaines opérations pratiques, à l'établissement théorique desquelles la proposition en question est nécessaire : elle lui attribue, par exemple, la détermination de la distance de points inaccessibles, la mesure des hauteurs au moyen de l'ombre, et la relation qui nous est parvenue indiquerait que ces mesures furent exécutées à l'aide de triangles égaux. Or la détermination de l'inclinaison d'une arête pyramidale, entreprise par les Égyptiens, montre qu'ils savaienty employer des triangles semblables, et qu'ils étaient donc plus avancés que Thaïes.

C'est pourtant à Thaïes qu'appartient l'honneur d'avoir, pour la première fois chez les Grecs, entrepris des recherches mathématiques. A quel degré de culture mathématique le vi« siècle élail-il., d'ailleurs, parvenu? Sur quelles données. le siècle suivant put-il construire? La réponse à cette seconde question est la meilleure réponse pour la première. Si, par exemple, les pythagoriciens découvrirent les cinq polyèdres réguliers, celte découverte présume chez leurs devanciers des connaissances géométriques assez importantes.

Les renseignements qui s'offrent à nous sur la Mathématique des pythagoriciens sont beaucoup plus satisfaisants. Sans doute, non seulement on ne peut pas trop s'y fier en ce qui concerne la part à faire revenir au maître et aux disciples dans l'œuvre, car ils ont peut-être encore trop de tendance à attribuer aux pythagoriciens beaucoup de choses dont la découverte fut seulement de leur temps et, cependant, pour qui est initié aux Mathématiques grecques plus récentes, ils rendent une image d'ensemble si nette et si saisissable de ces Mathématiques à leur premier stade d'évolution, des efforts tentés dès l'origine et qui laissèrent ensuite leur trace dans les Mathématiques grecques, bien plus, dans toutes les Mathématiques postérieures, que ces renseigne-

menls méritent d'être rassemblés en un exposé : de la sorte nous connaîtrons le fondement des travaux exécutés à la fin du siècle en question, et nous en comprendrons mieux le but, tout en éclairant la physionomie qu'affectèrent notamment les Mathématiques au siècle suivant.

Selon Eudème, les pythagoriciens ont tout d'abord « élevé la Géométrie à la dignité réelle d'une Science, par ce que Pythagore en considéra le principe de plus haut et en scruta les théorèmes plus intellectuellement et immatériellement — pour ainsi dire — ; en outre, il découvrit les grandeurs irrationnelles et la construction des figures cosmiques (polyèdres réguliers) ». En fait de renseignements plus spéciaux dus à d'autres écrivains, outre quelques définitions plus philosophiques que mathématiques du point, de la ligne, de la surface et des corps solides, nous apprenons que les pythagoriciens connaissaient la somme dos angles du triangle, la division du plan en polygones (vraisemblablement réguliers), savoir en triangles, carrés ou hexagones, dont respectivement 6, 4 ou 3 ont un sommet comnmn; ils auraient inventé ce qu'on appelle Vapplicntion des surfaces — on entendait par là, nous le verrons, la résolution d'équations quadratiques sous une forme géoiiiélrique — ; ils auraient connu la construction d'un polygone de même aire qu'un polygone donné et simultanément semblable à un deuxième polygone; il est raconté qu'un pythagoricien commit, contre son école, le délit de divulguer le (' théorème de douze pentagones dans une sphère »; on peut enfin mentionner le pentagramme qui est donné pour un symbole pythagorique : c'est un pentagone étoile dont les côtés forment, dans le cercle circonscrit, les cordes d'arcs

ayant pour grandeur -^«

Tandis que des cas particuliers du théorème, appelé encore aujourd'hui de Pythagore, ont été sûrement connus avant lui, ce théorème même, dans sa généralité, reste attribué aux pythagoriciens; de même que Tune des règles d'après lesquelles on peut former des nombres rationnels pour les côtés d'un triangle rectangle, à savoir les nombres

a y et j ou a représente un nombre impair, tandis

que les nombres a, ( - j — i et f - J -h i , où a est un nombre

pair, sont attribués à Platon.

On nous apprend que les pythagoriciens connaissaient les trois sortes de proportions, arithmétique, géométrique et harmonique, de plus, les nombres triangulaires, c'est-à-dire les sommes des premiers nombres de la série numérale naturelle, et qu'ils s'occupaient aussi de progressions arithmétiques plus générales; enfin que Pythagpre fait, du nombre, le principe de toutes choses, et que les pythagoriciens se sont livrés à des recherches sur certains nombres entiers, comme les nombres amiables — dont l'un est égal à la somme des parties aliquotes (*) des autres — ou les nombres parfaits, qui sont égaux à la somme de leurs propres parties aliquotes (6 = I -h 2 -h 3). Enfin Pylhagorc aurait établi des rapports entre la Géométrie et TArithmétique ou la Musique.

Nous parlerons plus en détail de plusieurs de ces sujets et de leur importance quant aux Mathématiques grecques mais, d'abord, il nous en faut montrer brièvement la connexité pour établir la concordance des données issues de sources de valeurs très diverses.

Commençons par noter l'effort pour préciser clairement les idées de point, ligne, etc. ; puis, aussi, l'on était déjà en possession de l'idée iVangle pour l'appliquer, tant à la division du plan qu'à rechercher d'une manière générale quels sont les polyèdres réguliers et possibles. Sans doute il fallait bien du travail avant d'arriver à la parfaite détermination et à la construction que l'on trouve chez Euclide du dodécaèdre et de l'icosaèdre, mais le premier pas vers ce but, la construction du pentagone régulier, était fait, et l'on s'enorgueillit visiblement d'être allé si loin.

Dans la construction des côtés du pentagone, ou du décagone, nous avons déjà un exemple de solution géométrique d'une équation du second degré, solution deux fois répétée par Euclide, mais ce qui prouve que les pythagoriciens ne s'en tinrent pas à ce cas unique c'est, non seulement la