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(') On sait que les parties aliquotes d'un nombre sont tous ses diviseurs, à l'exclusion du nombre luiniêrae, mais en y comprenant l'unité. (T.)

mention générale de Tapplicaiion des surfaces, mais encore la mention particulière du théorème de Pytliagore si important, nous le verrons, pour ces invesligations, ainsi que d'une construction ad hoc tout aussi importante. Ajoutons la dé couverte que les équations du second degré donnaient lieu à des grandeurs incommensurables ; les équations numériques, à des grandeurs irrationnelles (par ces dernières nous entendons toujours des grandeurs incommensurables avec l'unité employée).

11 se peut aussi que les recherches pythagoriciennes sur la théorie des nombres n'aient été, partiellement, qu'une continuation delà numération mystique des Babyloniens; mais elles n'en aboutirent pas moins, en tous cas, à former par ailleurs des équations quadratiques où l'irrationalité fût évitée.

On ne peut éviter les grandeurs irrationnelles dans les recherches générales mais, par cela même, les procédés mathématiques usités jusque-là manquaient de sûreté, et c'est le grand mérite des pythagoriciens de s'en être aperçus. On connaissait bien les proportions et, vraisemblablement de bonne heure déjà, l'on s'en servait sous l'une ou l'autre forme ; " mais avant Eudoxe il ne pouvait être question que d'égalité de rapports entre nombres entiers, ou d'égalité de ces rapports avec des rapports entre grandeurs géométriques, qui devaient être par suite commensurables; on employait les opérations simples comme la multiplication; on savait, à l'instar des Égyptiens, que, par exemple, un rectangle est égal au produit des côtés, l'unité de surface étant le carré construit sur l'unité de longueur; d'ailleurs, si les côtés sont incommensurables, non seulement la démonstration par la division en carrés n'est plus applicable, mais même la proposition perd tout sens, car il est contraire à l'idée que l'on se fait d'un produit,, dans le calcul ordinaire, que les facteurs de ce produit soient des nombres irrationnels.

C'est cette difficulté que supprimèrent les pythagoriciens et, à leur suite, les mathématiciens grecs en représentant géométriquement la grandeur en général : au premier abord, ravantage de cette représentation peut, sans doute, paraître assez mince, étant donné qu'un segment quelconque a tout aussi bien une grandeur déterminée qu'un nombre pris arbi-

3o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

trairement, mais la figure tracée ne sert qu'à fixer pour Timagination la figure conçue, et les grandeurs, dans celle-ci, peuvent prendre toutes les valeurs qui s'accordent avec la conception. Ainsi, au même tilre qu'une lettre en Algèbre, la représentation d'une grandeur par la longueur d'un segment peut s'appliquer à des grandeurs variant d'une façon continue.

Sans doute les Grecs ne savaient rien des quantités négatives, pas plus que des quantités imaginaires : mais, à défaut des premières, les variations de la figure peuvent en partie présenter les mêmes généralisations que nous obtenons aujourd'hui au moyen des quantités négatives.

A ces remarques l'on peut reconnaître que les opérations sur les quantités représentées géométriquement jouent un rôle semblable à celui de nos opérations algébriques, de sorte que nous appellerons Algèbre géométrique la théorie de ces opérations, et nous l'exposerons ici telle que nous la font connaître 4e deuxième livre des Eléments d'Euclide d'une part, et, d'autre part, T^pplication qui en est faite partout, dans I, les Mathématiques grecques, principalement là où, mainte- • nant, on emploie des équations du second degré. L'Algèbre géométrique, aussi bien chez Euclide que chez d'autres, est a la base de tant de recherches que cette fréquence même constitue une preuve de la haute antiquité que nous lui pouvons attribuer, d'accord avec ce qu'on nous rapporte de la notion pythagoricienne de l'application des surfaces, et sa facile application à telles grandeurs que l'on veut, tant irrationnelles ^ que rationnelles et, conséquemment, sa nature abstraite, conviennent bien à ce que ditEudème de la façon dont Pythagore traitait la Géométrie, immatériellement.

Il est toutefois bien possible que ce caractère abstrait n'ait pas été tout d'abord si notoire et si marqué qu'il l'était devenu au temps d'Eudème, et qu'il Test dans Euclide. Au contraire, il est naturel — et tout à fait d'accord avec ce qu'on nous apprend sur la liaison, opérée par les pythagoriciens, de la Géométrie et de l'Arithmétique — d'admettre que la traduction géométrique correspondant aux nombres entiers qui, chez Euclide, apparaît comme une application de l'Algèbre géométrique, fut antérieure à cette Algèbre même.

l'arithmétique géométrique. 3i

Dans les représentations géométriques des propriétés des nombres entiers, par lesquelles on a commencé, on trouva par la suite une forme de représentation qui, d'elle-même, tout aussi facilement, s'appliquait généralement à des grandeurs continues, mais il est aussi probable que l'on ne s'en aperçut qu'à la longue : ce pourquoi nous commencerons par traiter de l'Arilhmétique géométrique des Grecs, comme introduction à leur Algèbre géométrique.