L'Arithmétique géométrique

On trouve couramment dans nos livres d'enseignement une démonstration géométrique pour cette proposition :1e produit de nombres entiers ne dépend pas de l'ordre des facteurs, et cette démonstration consiste à ranger lès unités, ou les points qui les représentent, en forme de rectangle; chaque rangée horizontale contient les unités du multiplicande, le nombre des rangées est égal au multiplicateur, et la permutation des rangées horizontales avec les verticales démontre la permutabilité des facteurs. Si, au lieu d'unités, on se sert de petits carrés ayant i de côté, on aura du môme coup démontré le théorème géométrique que « la surface d'un rectangle a pour expression le produit de ses côtés » : si l'on néglige, au contraire, de prendre une unité déterminée l'on obtient, pourvu que les côtés soient commensurables, cette proposition que « deux rectangles sont entre eux comme les produits de leurs côtés ».

C'est de cette représentation que provient la dénomination, universellement usuelle chez les Grecs, de nombres plans ^o\iv ceux qui se composent de deux facteurs, c'est-à-dire qui forment une surface rectangulaire, et la dénomination encore maintenant employée de nombre carré. Les nombres plans sont dits semblables quand leurs facteurs sont proportionnels : ces nombres sont alors proportionnels à deux nombres carrés.

Au moyen du carré, qui figure un certain nombre carré (/^''), on obtient le nombre carré suivant (ai + i)% en construisant le long des deux côtés in nouveaux petits carrés, puis un encore dans l'angle rentrant ainsi formé. Cette figure complémentaire s'appelle gnomon, comme en général toute figure qui

représente la différence entre deux figures perspecti veine ni semblables, avec un point angulaire comme centre de similitude : dans le cas présent, elle est égale à in-\-i. On trouve ainsi que les nombres carrés se formetjl comme, les sommes des premiers nombres impairs, et si l'on fait de -2/1 -f-i luimême un nombre carré l'on obtient précisément la détermination des côtés rationnels d'un triangle rectangle, ou la solution même de l'équation indéterminée x^-^y^z=iz^ en nombres entiers : cette solution a été attribuée (p. 27) à Pythagore, et celle que Ton rapporte à Platon s'obtient en donnant 2 de largeur au gnomon.

Si l'on veut donner au gnomon une largeur quelconque, on a la solution la plus générale de cette même équation en nombres entiers : pour cela, Euclide, dans le premier lemme à la proposition 28 du dixième Livre, emploie une transformation qui, dans notre langue algébrique actuelle, correspondrait à peu près à l'introduction des nouvelles inconnues z-\- x^i Uy z — x^=iv{ c'est-à-dire que la largeur du gnomon est r); MP doit alors être égal à un carré J-. Euclide, dans ce cas, peut s'appuyer sur l'Algèbre géométrique qu'il a développée dans son deuxième Livre, et pour le serrer de plus près nous énoncerons dès maintenant la sixième proposition de ce Livre, proposition que nous rencontrerons bientôt de nouveau sous la forme suivante {voir p. 89) : C étant le milieu

Fig. I

de AB, et D un point du prolongement de AB,

A!) . BD = CD- - CBS c'est-à-dire, avec les signes employés plus haut :

iw = z'^ — x^.

large des progressions arithmétiques d*où il résulte bien que la sommation fut exécutée par la méthode que nous venons d'indiquer.

Fig. 2.

Mais revenons à la représentation des unités par des points pour citer encore un moyen, connu de Nicomaque, de représenter géométriquement des progressions arithmétiques ayant I pour premier terme et, pour raison, un nombre entier quel-, conque {n — 2), moyen qui consiste dans l'emploi des nombres dits polygonaux (nombres /î-gonaux). On figure le second terme (n — i) par- des points qui forment, avec un point fixe, un polygone d'ordre n; le point fixe étant le centre de similitude, on passe de ce polygone à une série de polygones semblables d'ordre n au moyen d'une série de gnomons, dont chacun représente un terme de la progression : pour /i = 4, en particulier, on obtient les nombres quadrangulaires ou, étant donné que la forme du quadrilatère importe peu, les nombres carrés, ainsi qu'on Ta déjà vu.

On a même étendu à l'espace celte Arithmétique géométrique : les nombres solides sont des nombres qu'on figure par un parallélépipède, c'est-à-dire des produits de trois facteurs — si ces facteurs sont égaux, on obtient des nombres cubiques; les facteurs de deux nombres solides semblables sont proportionnels et, par suite, leur rapport est égal au rapport entre deux nombres cubiques. Un nombre pyramidal esildi somme d'une série de nombres polygonaux d'ordre n, avec I pour premier terme, en imaginant les polygones superposés de manière à former une pyramide.