La qnadratnré dn cercle
Passons désormais de ces questions de principe à certaines investigations particulières, commencées également au v« siècle, dont se sont occupés les mathématiciens durant toute la période antéeuclidienne, et même depuis : nous venons de faire allusion à la quadrature du cercle et il faut entendre, par là, aussi bien le problème qui consiste à calculer avec une approximation convenable la surface et la circonférence du cercle, que celui qui consiste à construire un carré égal à la surface du cercle et, de même, un segment égal à sa circonférence.
D'après ce qui fut dit précédemment on peut comprendre que la solution du dernier problème, de par son caractère et son utilité possible pour les calculs, devait apparaître digne de tous les efforts; et, en vue de cette solution, les mathématiciens jusqu'à Archimède négligèrent les calculs importants qui ne donnaient, avec toute leur difficulté, que des résultats inexacts : c'est le dégoût de pareils calculs qui conduisit Antiphon, nous l'avons déjà vu, à partir des polygones inscrits — excellent moyen de calcul — pour soutenir l'insoutenable à propos de la solution du problème par construction.
On connaissait bien aussi le moyen de calculer une limite supérieure pour la surface, à savoir les polygones circonscrits, mais on abusa également de ce moyen en des sophismes comme celui d'un certain Bryson qui, à ce qu'on raconte, prétendait que, pour carrer un cercle, il suffit de tracer le périmètre d'un nouveau polygone entre les périmètres d'un polygone inscrit et du polygone circonscrit correspondant : le nouveau polygone serait, en effet, et comme le cercle, plus grand que le polygone inscrit et plus petit que le polygone circonscrit, -— donc (I) égal au cercle.
Avec la conclusion d'Antiphon, ce sophisme prouve du moins que l'on concevait déjà, à celte époque, le moyen d'effectuer et de contrôler les déterminations approximatives du cercle. On ne saurait reconnaître un tel mérite aux solutions qui consistaient à trouver un nombre à la fois nombre carré et nombre dit cycliquej c'est-à-dire dont le carré finit par le même chiffre que le nombre même. Mais on voit néanmoins, à ce grossier sophisme, que la lutte ouverte par Zenon, en mathématiques, contre les expressions inexactes ou incomplètes de pensées justes, n'eut pas pour résultat unique de contraindre les mathématiciens à donner plus de soin à l'exactitude de leur forme : inversement, elle apprit aux sophistes qui n'étaien^t pas en même temps mathématiciens à employer les formes mathématiques pour établir des conclusions saugrenues.
Cependant, quand Aristote et ses commentateurs, qui nous font connaître de tels exemples, accusent un mathématicien comme Hippocrate de Chios d'avoir utilisé de la sorte une fausse déduction pour effectuer la quadrature du cercle, il faut qu'ils aient confondu le but visé par Hippocrate avec le résultat qu'il présentait comme réellement obtenu. Cette accusation nous a valu toutefois de connaître les investigations d'Hippocrate qui, outre qu'elles ont conduit leur auteur à un résultat intéressant, savoir aux premières quadratures de surfaces limitées par des courbes, nous sont un excellent exemple des moyens dont disposait un bon géomètre du v« siècle, et du parti qu'il en savait tirer : c'est pour cette raison que nous donnerons ici un extrait des travaux d'Hippocrate tels que nous les rapporte Eudème.
D'après lui, Hippocrate démontre tout d'abord que des segments semblables de cercle sont proportionnels aux carrés des diamètres, démonstration qu'il dut faire à l'aide du théorème correspondant sur deux cercles; le théorème démontré sert ensuite à carrer la lunule que limitent un demi-cercle et un arc de 90° sur le diamètre de ce demi-cercle, et pour démontrer que cette lunule est égale au triangle rectangle isoscèle ayant pour hypoténuse le diamètre du demi-cercle. Après quoi, il obtient de la manière suivante une lunule dont l'arc extérieur est plus grand qu'un demi-cercle : on
