LA QUADRATURE BU CERCLE

construit d'abord un trapèze, dont trois côtés sont égaux chacun à a, et le quatrième égal à av^3 (en puissance trois fois aussi grand que les autres, c'est-à-dire que son carré est trois fois aussi grand que le carré de chacun des autres côtés); on circonscrit un cercle à ce trapèze, et Ton prend la

lunule comprise entre Tare de la corde a y/S et un arc plus petit, sous-tendu par la même corde, et qui soit semblable à l'arc des cordes a. On voit alors que la lunule est égale au trapèze.

Hippocrate construisit encore une troisième lunule carrable : je vais rendre compte de cette construction et de l'usage qu'en fait l'auteur en reproduisant directement ici une partie du rapport d'Eudème (*).

« Soit un cercle qui ait pour diamètre la droite AB(=: 2 r), pour centre le point K. Menons la droite CD perpendiculaire

Fig. 7.

sur le milieu de la droite BK. Inscrivons entre cette perpendiculaire et la circonférence la droite £Z, dirigée vers B et

égale en puissance à une fois et demie le rayon ( = r i /-

Menons la droite EH parallèle à la droite AB. Joignons K à E et à Z. Soit en H la rencontre de la droite EH et du prolongement de celle menée de K à Z. Joignons enfin B à Z et à H.

( 1 ) Gomme a essayé de le restituer P. Tannery dans les Mémoires de la Société de Bordeaux^ t. V, 2" se'rie, 2* fascicule, en le débarrassant des propositions ajoutées par Simplicius ; les parenthèses ordinaires ne renferment que des additions explicatives, faites par P. Tannery à la traduction du texte grec.

6o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

Il est clair que Tune de ces deux dernières droites est le prolongement de la droite EZ qui tombe en B, que l'autre, la droite BH, sera égale à la droite EK. Ceci posé, le trapèze EKBH est inscriptible dans un cercle. Décrivons aussi le segment qui circonscrit le triangle EZH. <^Chacun des deux segments sur les droites EZ, ZH sera semblable à chacun des trois segments sur les droites EK, KB, BH.)>

Ceci posé, la lunule formée sera égale au rectiligne composé des trois triangles « c'est-à-dire au pentagone EKBHZ. . . » ce que Ton peut démontrer par ce fait que chacun des deux segments situés sur EZ et ZH est égal à une fois et demie chacun des trois segments situés sur EK,. KB et BH.

Hippocrate démontre encore que Tare extérieur EKBH de ette lunule est plus petit qu'un demi-cercle, l'angle inscrit dans le segment EKH étant obtus, démonstration qui, avec os signes, s'exprime de la manière suivante :

EZ'=-/'=iEK*H-iKB*,

EZ* > EK* H- KZ*.

Que KB* soit plus grand que 2KZ* doit résulter pour Hippo-

ate de ce que l'angle KZB est obtus, mais on ne dit pas, cependant, comment il le prouve, et il l'a conclu, probablement, de ce que son angle adjacent EZK, opposé à EK et plus petit que EZ, doit être aigu.

Dans le fragment qui nous est conservé l'on trouve encore la construction d'une lunule qui, ajoutée à un certain cercle, donne une surface carrable, et c'est précisément cette lunule dont la quadrature eût abouti à celle du cerclé, mais elle n'est identique à aucune de celles antérieurement carrées et Hippocrate, qui était capable de construire lui-même ces lunules de telle sorte qu'elles fussent carrables, dut certainement, quoi qu'en dise Aristote, s'en apercevoir aussi bien que nous.

Pour donner, d'après les investigations qu'on vient de citer, une idée positive des travaux mathématiques d'alors, il faut remarquer tout de suite, à propos d'une construction comme

LA QUADRATURE DU CERCLE. 6l

celle d'un trapèze au moyen de ses côtés, la brièveté de Tindication; retenons aussi que remploi des grandeurs des côtés d'un triangle pour rechercher si un angle du triangle est aigu, droit ou obtus, est considéré comme bien connu, tout comme le théorème suivant lequel les surfaces de cercles sont entre elles comme les carrés décrits sur les diamètres. Pourtant on ne pouvait connaître encore la démonstration euclidienne de celte dernière proposition, ni même aucune démonstration dont se fussent contentés les mathématiciens grecs qui vinrent ensuite, mais on aura pu néanmoins se convaincre de la justesse du théorème à l'aide de considérations comme celles dont abusait Antiphon.

On pouvait sans difficulté construire une ligne telle que

soit par la méthode mentionnée en algèbre géomé-

trique pour changer en un carré un rectangle de côtés r et - r, soit par application du théorème de Pythagore. Vinter-

calation de EZ= ^\/ - entre CD et la circonférence, de manière que son prolongement passe en B, dépend d'une équation du second degré qu'on savait résoudre à cette époque par construction géométrique, comme nous l'admettons avec assurance; cependant il est possible, et nous l'expliquerons bientôt, qu'on ait procédé différemment pour cette construction.

Les diverses tentatives faites pour carrer le cercle à l'aide de la règle et du compas furent infructueuses, et notre époque a démontré qu'elles devaient l'être. Aussi, le désir de trouver une solution exacte qui, selon les exigences d'alors, conduisît par construction à une représentation géométrique, ne pouvait-il être satisfait que par l'introduction d'autres courbes que la droite et le cercle; il ne s'agissait pas, d'ailleurs, d'obtenir mécaniquement de telles courbes, et encore moins d'en déterminer une série discontinue de points, car ces points n'eussent ainsi permis qu'une approximation. L'important, là comme en d'autres cas semblables, c'était, par une exacte définition, de constituer une base théorique

mathématiquement sûre, base sur laquelle on pût édifier au besoin de nouvelles investigations où figurât la quantité construite; on procéda en cela, comme nous procédons encore aujourd'hui, en introduisant des fonctions nouvelles pour la détermination de quantités qui ne se peuvent représenter qu'approximativement à Taide des fonctions antérieurement connues.

Le mieux était alors, bien entendu, qu'une seule et même courbe pût servir à différentes constructions, et qu'ainsi la théorie générale d'une telle courbe fût heureusement applicable pour toutes les constructions.

Ce fut précisément le cas pour une courbe employée à la quadrature du cercle, nommée de ce fait quadratrice, et qui dut être imaginée par Hippias d'Élis pour un aulre problème^ celui de la tripartition de l'angle : en désignant par y Fordonnée d'un de ses points dans un système de coordonnées rectangulaires, et par Q l'angle que fait le rayon vecteur du même point avec l'axe des abscisses, nous pouvons représenter la propriété d'après laquelle les anciens la définissaient au moyen de l'équation suivante

où nous désignons par p un angle droit et par b la valeur de j correspondante à = p; les angles sont mesurés par les arcs qu'ils interceptent comme angles au centre d'un cercle de

rayon 6, de sorte que p = 6 — > avec la désignation maintenant

usuelle de tt.

y et ô étant proportionnels, on reconnaît tout de suite que cette courbe peut servir à la division d'un angle en parties égales, ou bien en parties telles qu'elles soient dans un rapport donné, et c'est Dinostrate, le premier, qui la reconnut applicable à la quadrature du cercle ou, du moins, qui démontra qu'elle l'était, en établissant que l'abscisse de son

b^ point d'intersection avec Taxe des abscisses est égale à — ou

— ; car le quotient — ne peut être ni plus grand ni plus

TT p 1 v^ 1.