LA QUADRATURE DU CERCLE

petit que ladite abscisse : s'il était plus grand, les rayons vecteurs croissant avec 0, il existerait sur la courbe un point

dont le rayon vecteur serait égal à — et l'on devrait donc

P avoir (si, au lieu des proportions de Dinostrate nous employons,

pour plus de clarté, nos équations et nos jsignes trigonomé-

triques)

— sin y = y :- 6 - r= — T ' P 9 P ^

b^ c'est-à-dire que le sinus, dans le cercle de rayon — ? devrait

être égal à l'arc correspondant du même cercle; si, au con-

b^ traire, le quotient — était plus petit que l'abscisse en ques-

tion, il existerait sur la courbe un point d'abscisse — > pour lequel on aurait

-tang9=:K = yj.

c'est-à-dire que la tangente, dans le cercle de rayon — > devrait

être égale à l'arc correspondant du même cercle. Dans les deux cas, les conséquences sont impossibles.

En ce qui concerne la teneur de celte démonstration, on voit que Dinostrate ne se contente pas d'une remarque

. . 1- sin^

comme celle que nous exprimerions par lim — j- = i, ou par

Jim ^^^^ —I, mais qu'il préfère tourner la question de l'ap-

proximation infinie en employant simplement les inégalités

sin^î < z <:tangc,

qui, du reste, sont toutes deux nécessaires pour déterminer chacune des deux valeurs limites. La façon dont U é\\te les déterminations directes de limites concorde bien avec ce qui a lieu dans la démonstration par ^-ch^^^^^^^' ^^^^^1^^ n'est-il pas, au reste, le disciple d'EudoX^ ^^^ ^^ dècouxnl. Nous verrons plus tard que la (Jén d^^X^^^ enU^^^^^'^^^

lions des arcs de cercle et des longueurs de droites, représentées par la quadratrice, a servi de fondement à certaines déterminations numériques.

Archimède, lui aussi, dont nous mentionnerons ultérieurementla mesure des cercles, fît des recherches sur des courbes susceptibles à peu près des mêmes applications que la quadratrice, à savoir les spirales dites à* Archimède {r=za 9), qui peuvent servir à la division de Tangle — on le voit au premier coup d'œil — et, à la quadrature du cercle, qu'Archimède joint aussi bien à la détermination des tangentes qu'à celle des aires de ses spirales. A notre point de vue moderne, il semblerait plutôt employer la quadrature du cercle, ou le nombre tt, pour les déterminations que nous venons d'indiquer; mais, en comparant son procédé à l'emploi de la quadratrice, on reconnaît qu'on attachait alors autant d'importance à obtenir par la voie qu'il suit, notamment par la détermination des tangentes, sinon une construction, du moins une bonne détermination géométrique d'un segment de droite qui fût égal à la circonférence du cercle.

La courbe, elle-même, montre à l'intuition d'une façon immédiate et claire la variation périodique de ce que nous nommons aujourd'hui les fonctions circulaires,