Trisection de l'angle; intercalations
Nous venons de dire un mot de l'application de la quadratrice et des spirales d'Archimèdeà la trisection de l'angle et, outre ces deux procédés, nous allons citer encore deux autres solutions de ce problème^ solutions qui, de bonne heure, préoccupèrent les mathématiciens : l'une, dont on ne peut fixer la date, pourrait fort bien être du v® siècle, tandis que l'autre, comprise dans leslemmes soi-disant d' Archimède que nous ont conservés les Arabes, date peut-être d'Archimède. Ces deux solutions se ramènent à ce que nous appelons une intercalation,
1° Soit ABC l'angle qu'il faut diviser en trois parties égales : on tire d'abord AC perpendiculaire sur BC et AE, parallèle à BC; puis, entre AC et AE, on intercale DE = 2 AB, de telle sorte que son prolongement passe en B. F étant
TRISECTION DE l'aNGLE; INTERCALAT ION S.
le milieu de DE, on a
Z ABF rrzZ AFB = 2 Z AEF = 2 Z CBD,
par conséquent
Z CBD z== 1 Z CBA.
Fig. 8.
2« Soit ABC Tangle qu'il faut diviser en trois parties égales, et un cercle de centre B, coupant les deux côtés et le prolongement de AB au delà de B, en A, C et D : on inter-
Fig. 9-
cale, entre le prolongement de BD et la circonférence du cercle, EF^zBC, de telle sorte que son prolongement passe en C. On a alors
ZDEF=iJZBFC=iZFCB = iZABC.
Quant aux deux intercalations exigées pour ces solutions, elles sont, comme le problème posé Test lui-même, dépendantes d'équations du troisième degré et, par conséquent, ne sauraient se résoudre à l'aide du cercle et de la droite.
Remarquons ici que la Géométrie grecque ramène souvent une construction à une intercalaiion sans dire au Juste comment s'effectue cette opération : c'est le cas qui s'offre à nous dans le fragment cité d'Hippocrate, et Archimède en son Ou-
vrage sur les spirales ramène d'autres problèmes à Tinlercalation même par laquelle fut effectuée cette trisection de Tangle que nous lui attribuons. Serait-ce là le signe qu'il y eut un temps où Ton admettait Tintercalation comme moyea de construction immédiatement applicable aux constructions géométriques, en plus de la règle et du compas? On entend ici par intercalation, en général, la construction d'un segment de droite dont les extrémités soient situées sur des lignes données et qui passe, lui-même ou son prolongement, par un point donné, segment que l'on peut, sans grande difficuUé, obtenir mécaniquement au moyen d'une règle (ou d'un morceau de papier plié) sur laquelle on a fait préalablement deux marques à une distance égale à la longueur du segment donné, puis en faisant tourner cette règle autour du point fixe et la déplaçant en même temps de sorte que l'une des marques suive exactement l'une des lignes données : l'on continue ce mouvement jusqu'à ce que l'autre marque se trouve sur la deuxième ligne donnée.
Mais, à cause du but théorique que les Grecs avaient en vue dans ces constructions, ils ne se contentèrent pas longtemps de ce procédé mécanique facile et comme, en outre, afin de commettre le moins d'hypothèses possible, il ne fallait admettre que le minimum de moyens de construction possibles, on abandonna bientôt l'exécution directe des intercalations dans tous les cas où elles ne se pouvaient faire par la règle et le compas, seuls moyens de construction reconnus parEuclide dans ses Éléments. C'est alors, peut-être, un usage plus ancien de l'intercalation mécanique qui a provoqué les deux Livres écrits sur la matière par Apollonius et dans lesquels, comme nous le savons d'après Pappus, il traitait de l'exécution des intercalations à l'aide de la règle et du compas : sans doute voulut-il ainsi suppléer à la lacune des œuvres antérieures qui ramenaient des problèmes aux intercalations sans en donner le mode d'exécution.
Pour les intercalations qui se font, non au moyen de la règle et du compas mais en employant les sections coniques, il devint obligatoire, à partir d'une certaine date, de recourir à ces courbes, obligatoire, par conséquent, de ne plus se contenter du procédé mécanique; et, que ce ne fut qu'après
