Duplication du cube

Parmi les problèmes qui dépendent, sous leur forme algébrique, d'équations du troisième degré et que, postérieure-

ment, rantiquité résolut par les sections coniques, la trisection de Tangle ne fut pas le seul auquel on s'attaqua au v« siècle, et celui qui représente la forme géométrique de l'équation cubique pure, en d'autres termes la duplication ou multiplication du cube, était plus important encore.

On appelle parfois ce dernier problème problème délien, à cause d'un oracle qui aurait prescrit de donner à un autel de forme cubique, dans l'île de Délos, une grandeur double, sans en changer la forme; — en cette occasion, la Pythie ne pourraitelle pas, avoir été inspirée par les mathématiciens plus que par son dieu? Comme on l'a déjà dit, on avait, en Algèbre géométrique, transformé les produits de deux facteurs en général, et les expressions du second degré composées avec elles, en rectangles et en opérations de surfaces et, connexement, remplacé l'extraction de racine carrée par la transformation d'un rectangle en carré, problème que les pythagoriciens avaient sans doute résolu.

Il était tout naturel de passer de ces problèmes plans aux problèmes solides correspondants : on avait dès lors à représenter un produit de trois grandeurs par un parallélépipède et à remplacer les opérations relatives à des expressions du troisième degré par des opérations sur des figures solides. A côté de choses aussi simples que l'introduction d'une arête ou d'une base nouvelle dans un parallélépipède, et de leur application à l'addition et à la soustraction, ou que la transformation d'un parallélépipède à base rectangulaire en un autre à base carrée, le problème ayant pour but de changer un parallélépipède en un cube devait s'imposer forcément comme la question des racines cubiques se présente à un algébriste moderne après celle des racines carrées : la pre-

mière racine cubique irrationnelle étant ^2, la duplication du cube fut le premier type des problèmes que nous voulons ici désigner, et ce problème, pour lui-même et pour les difficultés nouvelles qu'il comportait, devait éveiller un grand intérêt chez les mathématiciens.

La première contribution à la solution de cette question que nous trouvions mentionnée est attribuée à Hippocrate et, de même que la transformation d'un rectangle en carré repose sur la construction d'une moyenne proportionnelle, le

DDPLICATION DU CUBE. 69

problème de Ja duplication du cube (donc, probablement, aussi, le problème un peu plus général du changement du parallélépipède en cube) est ramené par Hippocrate à cet autre : déterminer deux moyennes proportionnelles. En effet, le parallélépipède étant déjà changé en un autre a* 6, à base carrée a* et de hauteur ô, et ce dernier devant à son tour être changé en un cube ^S on détermine x par les proportions

Que cette transformation soit, ou non, attribuable à Hippocrate, toujours est-il qu'après lui le problème délien se présente ordinairement sous la forme suivante : Déterminer deux moyennes proportionnelles x et y aux segments donnés a et b, La première des nombreuses solutions que donna l'antiquité pour ce problème est duc à Archylas : pour la bien comprendre, rappelons-nous qu'il s'agit de construire une figure composée de deux droites OYA et OBX, entre les-

Fig. 10.

quelles doit être tracée la ligne brisée AXYB, de telle sorte que XY soit perpendiculaire sur la première droite, AX et YB perpendiculaires sur la seconde, OA et OU ayant une longueur donnée ; en effet, OX et OY sont alors évidemment les deux moyennes proportionnelles entre OA et OB, et Von connaît ainsi le diamètre OA d'un cercle sur leque\ doit être situé X, mais non le diamètre OY d'un cercle suv \eque\ est situé B.

Archytas cherche à introduire ce dernier cevcVe cotntû^ cercle de section de la sphère dont le diamèt.X'e e^tO^^;^ étant donné, le point B sera situé sur une s^^^^^^ y^^^^

cette sphère, la ligne OB et, par suite, le point X seront situés sur le cône de révolution qui a pour directrice ce cercle de section connu. Si, maintenant, on essaie d'obtenir la position voulue par rotation de la figure autour de la perpendiculaire OC élevée dans son plan, en 0, sur OA, la projection Y du point X sur le plan parcouru par OA décrira un grand cercle et, par suite, la ligne XY une surface de cylindre sur laquelle sera également situé le point X; mais, pendant la rotation, X devant se maintenir sur le cercle de diamètre OA, il doit être situé sur la courbe que ce cercle, dans son mouvement, décrit sur la surface du cylindre, c'est-à-dire en réalité sur la ligne de section de la surface du cylindre avec le tore engendré par la rotation du cercle autour de sa tangente en G : on détermine alors le point X au moyen de l'intersection de cette courbe cylindrique et de la surface de cône indiquée ci-dessus, et cette détermination est la solution même du problème.

Cette solution, sans doute, ne fut guère appliquée à une détermination pratique, et ce qui l'indique c'est, entre autres choses, cette circonstance qu'il n'est point parlé de la génération réelle de la courbe gauche, le tore qui sert à cet objet n'étant, en effet, qu'une explication que nous avons interpolée; Archytas étant sûrement à même de reconnaître que, par essais successifs, on obtient de plus faciles et de plus exactes déterminations de AX et de AY, on voulait donc bien une détermination théorique qui pût servir à d'autres investigations où interviennent des racines cubiques. Cependant, pour que cette détermination, ainsi entendue, fût véritablement satisfaisante, il faudrait admettre qu'Archytas ait déjà connu la courbe gauche employée ou, du moins, ce qui est difficilement admissible, des méthodes permettant d'en trouver les propriétés.

Malgré tout, sa solution est pour nous d'une grande valeur comme preuve directe de ce dont il était capable. C'est guidé, en effet, par la pensée que le cercle est applicable à la solution du problème plan correspondant, qu'il a abordé cette autre question, alors bien connue : il recherche si la sphère, parallèlement, ne saurait servir à la solution du problème solide proposé, et il exécute cet essai avec la nette