DUPLICATION DU CUBE. 7I

intelligence des rapports d'espace qu'il rencontre; bien plus, il ne recule même pas devant l'introduction d'une courbe qu'un certain' cercle, dans son mouvement, décrit sur un cylindre. Outre la fermeté des déductions, sa construction témoigne qu'il était assez familiarisé avec l'application des lieux géométriques à la détermination de points pour tenter de l'étendre à l'espace, et l'on se trouve de la sorte en droit de conclure que, à l'époque d'Arcliytas, la Géométrie dans V espace et l'emploi des lieux géométriques, au moins dans le plan^ avaient atteint déjà un degré de développement fort notable.

On rapporte qu'Eudoxe, disciple d'Archytas, employa d'autres courbes pour résoudre le même problème, et il put être conjecturé que ces courbes étaient les projections des courbes d'intersection des trois surfaces réellement employées dans la construction d'Archytas.

Ménechme, disciple d'Eudoxe, trouva à son tour le procédé qui servit après lui dans l'antiquité grecque pour résoudre ce problème, ainsi que beaucoup d'autres : les sections coniques. D'après des écrivains postérieurs, ce serait lui, en effet, qui aurait déterminé les deux moyennes proportionnelles entre a et 6 comme étant les coordonnées^ et/ du point d'intersection des courbes exprimées par deux des équations a/=:^', bxz=.y^^ xy^=iab; déplus, il aurait montré commentées courbes, qui sont deux paraboles et une hyperbole, sont stéréométriquement représentables comme sections de cônes de révolution : nous reviendrons d'ailleurs sur ces déterminations lorsque, plus avancés dans notre étude générale, nous pourrons traiter uniquement le développement de la théorie des sections coniques.

Mais il nous faut encore ici parler, en passant, des autres moyens que l'on continua de découvrir ultérieurement pour la construction des deux moyennes proportionnelles : on imagina dififérents instruments mécaniques pour la construction d'une figure contenant, comme la fig. lo, des triangles semblables à l'aide desquels la relation demandée s'effectue directement; un de ces instruments est attribué à Platon, un second à Ératoslhène, et puisque aucun de ces appareils n'eut d'importance réelle quant au développement des Mathématiques, nous nous épargnerons de les décrire, eux et l'usage

qu'on en faisait, en nous contentant de faire remarquer que ces appareils devaient inciter Descartes à en imaginer également un, qu'il décrit dans sa Géométrie.

La construction des deux moyennes proportionnelles fut encore ramenée à une intercalation par Nicomède; mais la construction qui lui sert dans cette opération est loin d'être aussi simple que celles qui sont employées pour la trisection de Tangle.

10. — Théorèmes et problèmes; sens et portée de la construction géométrique.

Nous avons d'abord parié des principales conceptions et méthodes, nées au v^ siècle, développées par la suite dans les Mathématiques grecques; nous avons donné, en citant certaines investigations particulières, des exemples de ce que ces Mathématiques, contenaient alors de réel : à mesure qu'on progressait, on ressentait le besoin ùq formes plus constantes et plus sûres, qui s'accordassent avec les conceptions acquises en les affermissant encore davantage, et capables aussi de s'élargir pour embrasser les nouvelles acquisitions sans cesse accrues.

L'œuvre de l'école philosophique de Platon et de l'école mathématicienne d'Eudoxe consista précisément à élaborer ces formes, à les discuter en controverses.

Comme exemple d'un pareil travail, nous pouvons citer une discussion sur la question de savoir jusqu'à quel point les vérités mathématiques peuvent se présenter comme théorèmes, jusqu'à quel point comme problèmes : le parti des théorèmes était soutenu par les platoniciens qui s'appuyaient sur ce que la solution d'un problème n'établit qu'une chose existant déjà préalablement — ainsi les triangles équilatéraux existent indépendamment du fait qu'on les construit ou non, et l'on ne peut en construire un que parce que l'idée de triangle équilatéraldi une existence réelle antérieure à toute construction; pour les disciples d'Eudoxe, que Ménechme représente particulièrement à cette occasion, l'objet essentiel était dans la manifestation des vérités mathématiques par construction sur les figures ou, du moins, par investigation.

THfiORÈMBS ET PROBLÈMES. 78

En apparence, aucun des partis ne vainquit l'autre, puisque théorèmes et problèmes voisinent dans les Éléments d*Euclide, mais l'examen de ce qui caractérise foncièrement les théorèmes et les problèmes sera beaucoup plus important, et fut à peu près exprimé, plus tard, de la manière suivante : dans le théorème, on affirme ce qui est unique comme possible; dans le problème, on cherche ce qui est susceptible d'être autre. C'est à ces caractères que l'on doit distinguer si une vérité doit être exprimée sous une ou Tautre forme, de sorte qu'il serait faux, par exemple, de poser en problème : Inscrire un angle droit dans un demi-cercle.

De telles distinctions verbales importent toutefois beaucoup moins que le rôle joué par les théorèmes et, en particulier, par les problèmes, dans les écrits qui nous sont parvenus, notamment dans les Éléments d'Euclide; peut-être, aussi, ce rôle nous fait-il saisir le point de vue défendu par Ménechme et, cela, mieux que tous les renseignements possibles. D'après ces renseignements, en effet, les platoniciens faisaient valoir que le triangle équilaléral existe antérieurement à sa construction; au contraire, Ménechme prétendait sans nul doute que l'on n'apprend son existence réelle qu'en le construisant, et en y joignant la démonstration que cette construction aboutit véritablement au but qu'elle vise. C'est d'ailleurs ainsi que procède Euclide : il ne se contente pas de définir les triangles équilatéraux, mais, avant d'en faire usage, il s'assure de leur existence en résolvant, dans la première proposition de son premier Livre, le problème par lequel on construit ces triangles; puis il démontre la justesse de celte construction.

La nécessité d'un tel procédé se fera d'autant mieux sentir, d'elle-même, qu'il s'agira d'employer ensuite les triangles équilatéraux à de nouvelles constructions, mais il faut remarquer qu'Euclide procède de cette manière, même avec des objets qui, parla suite, ne devront être employés que pour la démonstration d'un théorème : avant de se permettre (Liv. I, 16) d'employer le milieu d'une Vigne droite, il lui faut d'abord avoir démontré (Liv. I, lo), en le construisant, que ce point existe réellement; même procédé pour tous les cas semblables.

La valeur essentielle de la construction géométrique réside en ce qu'elle doit servir à démontrer que cela même, à lez détermination de quoi la construction aboutit, existe réellement.

Il se peut que Ménechme soit le premier qui ait fait pleinement sentir cette signification des problèmes géométriques, résolus par construction, mais on en avait déjà conscience avant lui : TAIgèbre géométrique en est la meilleure preuve. Après avoir trouvé qu'il n'existe ni nombre ni rapport numérique (fraction) qui, multipliés par eux-mêmes, donnent 2, et lorsque, au lieu de rechercher un tel nombre, on cherchait un segment qui fût le côté d'un carré double du carré élevé sur un segment donné, il fallait démontrer tout d'abord l'existence d'un pareil segment, et c'est précisément ce que l'on fait en le représentant par la diagonale du carré élevé sur le segment donné.

La solution des équations générales du deuxième degré, à l'aide d'une construction, prend une signification semblable; et ce n'est qu'en tenant compte de cette conception générale que l'on comprend parfaitement le besoin ressenti de posséder une solution, par construction, pour la quadrature du cercle, la trisection de l'angle, la duplication du cube ou la détermination de deux moyennes proportionnelles. Sans cela, en effet, on ne saurait absolument pas comprendre que des solutions impropres à l'usage technique, comme celle de la quadrature du cercle par la quadratrice (*), ou comme la détermination par Archytas de moyennes proportionnelles, aient pu, en quoi que ce soit, satisfaire l'esprit grec : cette même conception, d'ailleurs, nous livrera la clef de quelques autres circonstances encore dans la Mathématique grecque.

Dans certains cas, au reste, nous comprenons assez bien i

cet emploi des constructions, et c'est le cas, notamment, si un problème, posé d'une manière tout à fait générale, n'est pas

( * ) Cet exemple n'est peut-être pas tout à fait typique comme l'est le suivant; la preuve que la quadratrice coupe le diamètre axial en un point déterminé était en effet assez incomplète; d'autre part, la quadratrice, tracée par points, une fois pour toutes sur calibre, a pu réellement être employée pratiquement pour la division de l'angle dans un rapport donné (T).

^ «^'^l'rer» ^'^^^ ceitaines conditions

.„,!»» """".T» <:» '^ ^essi .^'^ * '*** écrivains grecs com-

»<•!;,. V»«*t «^-^'^fl "^ de ces comlilions en dé-

•'<'.*fco''«"'„7. £«!**'*' "*'*'«*«"« /'«'■ '« o»W,<,™ rf, ,.*""'' l«P'°P',r»»- ensuite que ces conditions néc- 0i '"'',, lsW""'°\e-t«:»r'> ""^Jffisante,. par J'intennédiaire I»;'"»'»» """incV »-«=»"*' *® conditions étant remplies, W''^' ^blèifl® '^'^ '„sv»"*^^**^ *** figure — et démontrant que *'°° „looP«""°ÈeVV*s»^''"'- établie. Le premier exemple '^"""'^ ees^ *^"^^ ^oa V* «^s^^'^^^^s se trouve chez Euclide I, la ''^"'gnte ^"'^ ^l e pr<^P*'*^**ion comporte le théorème qui * '1^ ■■ » P'"!;riV1 r» -«-IJ'-'ogle est plus petit que la somme ^ cha^**® ta se^ *=*-*" proposition renferme le pro-

i?'^''"*',^ auvreS' ^^i angle pour lequel les côtés donnés

«es ■>«"* „si™«' To<3»-«-« londilion.

t^fo^Ho---^'^^

,^Q^o analytique ; forme analyti<iue, \K. — * 8*ii.t*»-«**^"o d'exposition.

,„ntc Aes contributions, apportées à la forme plvisi*"^?^ esp»*" ^^^ écoles cJ'Eacloxe(')el de Platon, el isAatUér"*^"^, ^gg Mal^liémaiiques la physionomie qu'elles •^^^ ,^jnï>^''^"*'.jp et 1®* mathématiciens grecs postérieurs, est 1^*^ dans ^"*^^\j, création de la méthode dite apagogique ou **" lain®'""^"^ , des foTOies ^'Analyse et de Synthèse grâce *^®'^ l^tiq^^'' ^ 'assui'a, non seulement des résultats solides, "" rtuell^* •*" g ivréproehable exposition de ces résultats. ^** . eiïcove '^ analyt-iqu^ trouve une application immédiate """t a toé*-*^ .„(! des problèmes; aussi, en parlerons-nous

•**" d.'at»*^*'^' g cependant, que la signification logique des *•** -fjQxy^ c'i'^y^ oour trouver et exposer la solution, se corng êta^^'^*' -gux, si, momentanément, nous abandonnons "■^^jjdr» t>'^"Jri Mathématiques grecques pour parler d'une P*" rti»^**® Arale de la solution analytique des problèmes,

façon ^' ^

, i| iJq v^cole d'Eodoxe sont, d'ailleurs, plus importants pour ■oulribution à \ear jikysionomie.

76 LES HATHÉHÀTIQUES GRECQUES.

en élucidant leurs applications par des exemples empruntés à des problèmes et à des ressources tout autres que ce dont disposaient les Grecs. Je veux indiquer, par là, et conformément à ses origines, Tusage conséquent qu'on peut faire en Mathématiques des mots Analyse et Synthèsey analytique et synthétique, usage que Ton devrait bien adopter pour faire cesser la confusion moderne, causée par l'exclusive application du mot analyse à l'analyse algébrique.

Un problème mathématique a pour but de trouver des quantités ou des figures qui satisfassent à certaines exigences. Dans la solution, on peut souvent deviner, en quelque sorte, en se basant sur des analogies avec d'autres problèmes, et Ton ne saurait nier que c'est par cette voie qu'on est peutêtre parvenu tout d'abord à d'importants résultats; mais, malgré son excellence, une telle divination n'est pas une méthode proprement dite : dans tout traitement méthodique, il importe à' analyser \q^ conditions posées, et il faut en premier lieu les avoir bien clairement à l'esprit, ce à quoi l'on parvient en se les imaginant remplies, donc en s' imaginant le pro— blême résolu; il s'agit ensuite, par un moyen quelconque, selon des règles que nous tenons de problèmes analogues au problème traité, ou que nous inventerons nous-mêmes, de transformer les conditions à remplir en d'autres qui seront remplies nécessairement si les premières le sont, et de pousser cette transformation jusqu'à ce que l'on arrive, enfin, à des conditions auxquelles on sache satisfaire.

On trouve, par cette analyse, comment le problème doit se résoudre, s'il est soluble.

La synthèse consiste ensuite : d'abord, à réaliser cette solution, c'est-à-dire à déterminer les quantités et les figures cherchées de manière à satisfaire aux conditions requises et transformées; après quoi, il faut encore démontrer que les conditions primitivement posées sont, elles aussi, satisfaites. A défaut de procédé plus simple, cette démonstration s'opère, en règle générale, par une transformation des conditions selon un ordre inverse de celui qu'on observait dans l'analyse, de manière à conclure que, les conditions nouvelles par lesquelles on a remplacé les premières étant remplies, celles-ci le sont aussi nécessairement par là même. On peut omettre

celle démonslralion, —ou bien on Ta déjà toute faite dans Tanalyse, — si Ton ne s*est servi que de iransformalions réversibles, de sorte que les nouvelles conditions requises soient les conditions, non seulement nécessaires, mais suffisantes des premières; autrement, non.

Nous prendrons pour exemple la solution de problèmes par équations algébriques : on introduit des dénominations pour les quantités inconnues, et l'on fait entrer ces dénominations, absolument de la même manière que les désignations de quantités connues, dans les équations qui expriment les conditions posées; puis on imagine ces équations satisfaites — donc le problème comme résolu.

La transformation prémentionnée des conditions est alors représentée par la transformation des équations, jusqu'à ce que Ton parvienne à de nouvelles équations qui puissent fournir la solution : en Géométrie analytique ( * ), par exemple, on forme de cette façon les équations de lieux géométriques qui permettent de résoudre le problème. Si l'on applique l'analyse à des problèmes ayant pour but de trouver les valeurs d'inconnues, les équations transformées seront celles mêmes où les inconnues sont isolées, et, pour nous en tenir à ce dernier cas, la synthèse consécutive à l'analyse consiste alors :

i" dans le calcul réel des quantités données par les expressions trouvées, y compris leur transformation selon des règles déterminées; par exemple leur simplification, leur réduction à l'irrationalité simple, etc.;

2° dans une vérification de ces quantités.

Cette vérification se fait, en règle générale, par substitution directe, mais on peut aussi l'exécuter, conformément à ce qui a été dit plus haut de la démonstration synthétique, en remontant pas à pas et dans l'ordre inverse, les équations employées; et il ne faut pas croire qu'une telle démonstration soit

(') Nous emploierons la désignation de Géométrie analYtlque dans le sens ordinaire, sans tenir compte de ce que la Géométrie pure peut aussi bien prendre la forme analytique, et de ce que l'on peut aussi bien opérer synthétiquement avec les moyens de calcul auxquels on a coutume de donner exclusivement le nom de Géométrie analytique.

rendue inutile par l'analyse qui l'a précédée : on le voit dans des cas où Ton a fait disparaître un radical par élévation à une puissance, car si cette expression était une des valeurs de la racine, par exemple la valeur positive d'une racine carrée, on sait bien alors qu'on peut introduire des solutions étrangères. Alors, au lieu d'une démonstration de la justesse, l'épreuve donnera une démonstration de l'inexactitude de ces dernières racines trouvées : l'analyse, seule, peut donc introduire des solutions étrangères.

Si la solution est préalablement connue, on peut se contenter de la donner synthétiquement, elle et sa démonstration, mais il est, à cela, un autre inconvénient : le problème étant, par exemple, celui de l'équation

x^ — ao? -h 6 = o,

ou un problème qui, ramené à une équation, s'exprimerait ainsi, on peut écrire par synthèse

-iWi^'-^-

et entendre, par le symbole de la racine carrée, la racine carrée positive; mais si l'épreuve, ou la démonstration synthétique, prouvent alors que cette solution est juste, on ne voit pas cependant si elle est la seule juste.

Ce qu'on vient d'établir touchant la solution algébrique peut s'exprimer de la façon générale : la seule analyse peut donner trop de solutions, la seule synthèse peut en donner trop peu.

Cherchons encore en quel point du 'traitement complet se présentent les conditions de possibilité.

On les rattache ordinairement aujourd'hui tout à la fin de la solution formelle, que l'on discute seulement alors : dans l'exemple donné ci-dessus, on conclut de l'expression trouvée

que, pour que x soit réel, ( - 1 doit être ^ b, mais une telle

discussion n'est possible qu'en admettant, sous les dénominations de quantités négatives et imaginaires, des quantités

qui n'étaient pas originellement attendues comme solutions; car, sans ces nouvelles espèces de grandeurs, on trouverait bien plus tôt la condition de possibilité, au cours de l'analyse .

Si, par exemple, on a déduit, de Téquation ci-dessus, que

l'on n'en saurait conclure

que si ( - I ^h puisque, autrement, le membre de droite n'a

aucun sens.

On déduit donc, si l'on veut, de l'analyse les conditions de possibilité aussi bien que la solution, mais on peut, pour elles comme pour celle-ci, se contenter d'une exposition purement synthétique.

Les Grecs appliquaient la méthode de solution, que nous venons d'exposer, aux problèmes géométriques, dans lesquels il s'agit notamment, comme nous l'avons vu, de trouver une construction, soit réelle à l'aide de la règle et du compas, soit formelle. Tant que l'on cherche méthodiquement la solution de pareils problèmes on doit, d'après nos remarques générales, les traiter par l'analyse, genre de traitement qui devait être usité déjà par les pythagoriciens pour la solution géométrique des équations du second degré : cependant, il se peut que la méthode ait été plus ou moins consciemment appliquée car, comme cela s'est vu souvent dans l'histoire des Mathématiques, employer défait une méthode n'est pas identique à l'élucider pour soi-même au point de savoir s'en servir chaque fois que le besoin s'en ressent et, encore moins, l'établir de telle façon qu'autrui la puisse utiliser.

La détermination que fait Archytas de deux moyennes proportionnelles revient à une construction qui fut évidemment trouvée par la méthode analytique. Archytas, en effet, n'avait pu deviner l'application de la courbe cylindrique, qui jusque-là lui était inconnue, et ce dut* être exclusivement

rapplication de l'analyse qui le conduisit à introduire cette courbe absolument comme lorsque, dans une investigation de Géométrie analytique moderne, un lieu géométrique, qui intervient pour la solution du problème, se manifeste sous Taspect d'une courbe sur laquelle on ne savait rien auparavant, et qui se définit cependant par Téquation résultant de l'analyse.

L'emploi de lieux géométriques, et la détermination même de ces lieux, présentent donc un autre exemple des applications de la méthode analytique qu'il faut faire remonter jusqu'aux pythagoriciens, mais ce fut avec les écoles fondées par les successeurs d'Archytas, Platon et Eudoxe, que cette méthode même atteignit à la forme qui, dans la suite, se maintint usuelle chez les mathématiciens grecs.

La méthode, en son application, et l'exposition des résultats acquis de la sorte, consistaient en une série de termes dont l'exposé se rattache très facilement à l'application elliptique de surfaces prise pour exemple (p. 87); mais nous allons exprimer ici les divers termes un peu plus brièvement que ne l'eussent fait les anciens.

I** Le problème se pose dans la protase (TcpdTaciç) : appliquer, à un segment donné, une surface donnée, de telle sorte qu'un carré fasse défaut.

2<» Le problème se rapporte, dans l'ecthèse ('exôedtç), à une tigure tracée, et s'exprime : appliquer, sous forme de rec-

Fig. II.

JV

langle, au segment AB le carré (tracé) ^, de telle sorte qu'il manque un carré.

3*» Dans l'apagoge, ou transformation (àTraYwyï^), on suppose le problème résolu (au moyen du rectangle AM, qui laisse manquer le carré BM) et on le ramène de la manière sui-

vante à un problème connu : C étant le milieu d( place le rectangle KG sur DB — et Ton a DE.

Le rectangle AM se transforme ainsi en un gnomon; en la différence des carrés CB' et CI)^; le segment donc être déterminé de façon que ce gnomon soit carré q.

4° Dans la résolution, on examine jusqu'à quel poi en possession réelle de tout ce que nécessite la sol problème posé : cela n*a lieu, dans le cas présent, ( qui doit être juste aussi grand qu'un gnomon pris sui CB-, est au plus égal à ce carré.

Ceci étant remarqué, on s'aperçoit pourtant qu'il quelque chose au problème posé, car il est de règle, du moins dans ce qui nous fut transmis d'Œuvreî matiques, que les problèmes soient posés avec u tation telle qu'on les puisse résoudre : on obtient lieu du problème que nous avions essayé de poser i part un théorème, d'autre part un problème plus li

Le théorème (qu'on trouve sous une forme un générale dans Euclide, VI, 27) a pour but de démonti rectangle, appliqué sur un segment de manière que un carré, est inférieur ou égal au carré élevé sur segment; ou bien, si l'on veut, qu'un rectangle est qu'un carré de même périmètre.

Le problème (qu'Euclide traite sous une forme p^ raie, VI, 28) est le même que celui dont nous avons la solution, mais avec cette addition, cependant, qu< donné doit être au plus égal au carré élevé sur la rj segment donné.

Cette addition à la protase s'appelle diorisme (Stopi délimitation du problème; aussi faut-il, dans l'ec propos des figures données, énoncer qu'elles satis condition (^^CB^). Grâce à la délimitalion, que noi sons introduite ainsi dans la protase et dans l'eclhè solution, comme nous le verrons, devient absolume flue; en effet, si l'on essaie de résoudre le prob réussira, et la résolution se confondra avec ce qw thèse nous apprend, par la suite, touchant la faq résoudre; si, au contraire, au Heu de considérer z.

82 LES MATHÉHATIQUES GRECQUES.

SOUS laquelle les auteurs des Ouvrages conservés nous communiquent des résultats prêts, nous considérons rappJication de la méthode à de nouvelles recherches, la résolution doit alors avoir joué un rôle important. En effet il fallait, au cours de l'analyse, vérifier cons.tamment si Fapagoge était poussée suffisamment loin pour qu'il fût possible de résoudre le problème; mais, en dehors décela, la résolution était un moyen d'atteindre à ce que nous avons déjà (p. 76) qualifié comme étant le but principal du traitement des problèmes, à savoir la décomposition du problème primitif dans le théorème et le problème par lesquels on s'assure que les conditions d'existence de la figure demandée sont respectivement nécessaires et suffisantes.

Ce à quoi l'on arrive, tant en général que dans l'exemple proposé, c'est à la détermination d'un maximum ou d'un minimum.

Un autre résultat de la résolution devait être de donner le nombre de solutions possibles : ainsi, dans le cas présent, il est à remarquer qu'à la condition que CD^ soit la grandeur juste, peu importe que D tombe de l'un ou de l'autre côté de C, circonstance à laquelle, tout en découvrant la valeur maximum de q, on a pu prêter attention ; toutefois les Grecs, pour qui la construction était surtout un moyen de s'assurer que la figure existait, n'attachèrent pas à ce fait d'importance particulière. Comme, en d'autres cas, la multiple signification d'un problème repose sur celle des problèmes auxquels il se ramène, si elle passe inaperçue dans ces derniers, l'analyse du premier ne la fera pas remarquer davantage, ce pourquoi l'on fut obligé de faire de certains cas, dans lesquels cette signification multiple semblait être aux Grecs de quelque importance, l'objet d'une investigation spéciale.

La transformation et la résolution constituent Vanalyse au moyen de laquelle on trouve la solution; et la solution trouvée est ensuite exprimée dans la synthèse^ qui comprend :

5° La 'construction (xaTaffxeuT^)par laquelle on réalise l'objet des recherches à l'aide des procédés de construction reconnus. Il n'est pas question, toutefois, de nommer toutes les particularités, mais bien d'indiquer seulement les constructions antérieurement connues dont on composait la construc-

tion cherchée : délerminalion, dans notre exemple, de CD par le théorème de Pj'thagore, etc. La construction n'est donc, avec une légère variante de forme, que la répétition de ce qu'on a dit dans la résolution.

Notons encore que la construction, dont l'invention était pourtant, naturellement, la difficulté capitale de la recherche, n'est après tout qu'un des termes du traitement pris dans son ensemble, ce qui s'accorde bien avec le but déjà mis en relief de la solution des problèmes pour démontrer l'existence des figures qu'il fallait construire, but qui apparaît encore dans l'exposition des constructions. Cette forme d'exposition est absolument la même, comme nous l'expliquerons bientôt, que celle employée pour la construction des figures qui aident à démontrer les théorèmes : on dit toujours, à ïimpératif par fait y que ce point ait été pris, que cette ligne ait été tirée; les constructions sont donc comme les hypothèses d'une science ou d'une intelligence, et ne constituent pas, pour exécuter le problème, des règles aussi catégoriques que nous ne les entendons aujourd'hui pour faire les solutions de nos problèmes de construction. La transition à cette dernière conception est déjà, du reste, dans les traductions latines qui propagèrent dans l'Europe moderne la connaissance de la Géométrie antique : dans ces traductions, en effet, on ne pouvait rendre l'impératif parfait que par le subjonctif /?re5en^ ; « Que ce point soit pris, que cette ligne soit tirée », ou : a Qu'on prenne, qu'on tire. . . ».

6° Ensuite on démontre {démonstration, àTuoBetÇ'ç) que la construction a véritablement établi la figure demandée, démonstration qui s'opère, régulièrement, en employant les mêmes déductions que dans la transformation, mais en ordre inverse. Ainsi, dans notre exemple, on forme le rectangle AM, avec le gnomon, en plaçant le rectangle DE sur AC.

7° Enfin, dans la conclusion ((Tu|jL7répa(T{jLa), on affirme avoir véritablement atteint le but demandé; ce qu'on fait en reprenant la protase, avec la formule du début : cr donc. . . », etc., et la formule de conclusion : « ce qu'il fallait faire ».

Tandis que Vanalyse, comprise dans les n°* 3 et 4, c'està-dire dans la transformation et la résolution, est méthodiquement importante pour découvrir la solution, elle n'est

plus nécessaire dès qu'il ne s'agit que d'exposer d'une manière inattaquable ce qu'on a trouvé, ce qui fut toujours le principal but des écrivains grecs. On l'omet donc très souvent, de sorte que l'exposition ne consiste plus qu'en l'emploi des paragraphes numérotés 1, 2, 5, 6, 7 ; on obtient ainsi une forme que nous qualifierons de synthétique.

Cette forme synthétique s'emploie notamment pour le traitement systématique de toute une théorie dont les constructions étaient préalablement plus ou moins connues des auteurs, ou furent trouvées par eux et constituées en système comme dans les Eléments d'Euclide, ou dans la majeure partie de la théorie des sections coniques d'Apollonius. Du reste, les endroits où l'auteur expose également l'analyse n'y gagnent guère, à proprement parler; car, premièrement, on peut, d'après ce que nous avons dit, faire la transformation on intervertissant tout bonnement la série des déductions de la démonstration, et la résolution se confond alors avec la construction; et, deuxièmement, l'analyse donnée n'est que l'analyse du problème délimité par le diorisme et non, comme dans notre exemple primitif, celle qui put amener à cette délimitation.

Après avoir si longuement parlé de l'analyse de problèmes et de la représentation synthétique qui s'y- rattache, nous pouvons passer plus rapidement sur l'application, aux théorèmes, de cette méthode et des formes correspondantes : la forme d'exposition synthétique consiste ici, ou en tout cas peut consister absolument dans les mêmes termes; on n'a qu'à remplacer partout problème par théorème. La construction ne consiste plus qu'à construire les lignes nécessaires pour aider à la démonstration, et elle se peut omettre, même, si ces lignes sont inutiles; quant à la conclusion, elle se termine ici par les mots : « ce qu'il fallait démontrer ».

Ces termes qui, à ce que l'on voit, sont aussi logiquement suffisants pour les théorèmes, se retrouvent partout dansEuclide, qu'il s'agisse de théorèmes ou de problèmes.

Cependant, pour les théorèmes mêmes, il peut être question d'une méthode analytique proprement dite et c'est le cas lorsqu'on veut vérifier si un théorème, énoncé par d'autres, ou

dont Ja découverte fut peut-être intuitive, est juste ou non : on commence par supposer juste le théorème en question, que nous désignerons par A, puis on transforme ce théorème par une série de déductions, absolument comme dans Tapagoge ou transformation pour les problèmes, jusqu'à ce que Ton voie qu'il conduit à un résultat nouveau K, dont on connaît la justesse ou la fausseté. Dans le premier cas, il n'y a encore qu'une possibilité, mais aucune certitude que A soit juste, car K peut dériver d'une série déductive où A n'est que d'un usage apparent et cela arrive, par exemple, même avec les ressources de l'Algèbre moderne, si dans les deux membres de l'équation posée l'on a, sans le remarquer, multiplié par une grandeur composée, qui en réalité se trouve être nulle. Une fois le résultat juste K dérivé de A, l'on vérifiera la justesse de A en remontant autant que possible la série déductive parcourue dans l'analyse, de manière que la justesse de K entraîne celle de A lui-même. Si tel est le cas, cette série déductive à rebours fournit la démonstration de la justesse de A, et l'on se contente d'exprimer cette démonstration sous la forme synthétique mentionnée plus haut, omission faite de l'analyse qui y conduisit.

Dans le cas où le résultat dérivé de A est faux, on peut au contraire conclure tout de suite que A est faux, ou bien, A et B étant deux affirmations dont l'une doit nécessairement être vraie, l'affirmation que B est vraie peut être établie comme théorème qu'on démontrera par le raisonnement suivant : l'hypothèse de B faux, ou de A juste, conduirait au faux résultat K. Une telle démonstration par antithèse est apagogique, donc proprement analytique : étant donné, toutefois, qu'elle assure la pleine évidence que l'affirmation B est juste, on s'en sert diversement dans des Ouvrages où la représentation est par ailleurs synthétique, fréquemment par exemple dans les Éléments d'Euclide.

Cette forme antithétique de démonstration fut aussi appliquée par Dinostrate à la quadratrice (p. 63) et on l'employa constamment, comme nous le verrons, dans la démonstration par exhaustion.

Enfin, le théorème que nous avons obtenu comme résultat secondaire quand nous avons tenté plus haut d'établir, sans

limitatioQ préalable, l'applicalion elliptique des surfaces (p. 82) nous est un bon exemple pour prouver qu'un théorème ne se déduit pas nécessairement d'une analyse du théorème même supposé vrai, ou de celle de son antithèse, mais de l'analyse d'un problème connexe.