Aperçu des Éléments d'Euclide; système S3mthétique

^es Eléments d'Euclide se composent de treize Livres aux

îls on adjoint comme quatorzième, dans la plupart des

itions, un travail d'Hypsiclès et, comme quinzième, un tra-

1 plus récent et de moindre importance.

Le premier Livre renferme les plus importantes propositions

r les côtés et les angles dans les triangles, sur la construc-

n de ces derniers, sur les droites perpendiculaires et paral-

es, sur les parallélogrammes et sur leur surface ainsi que

r celle des triangles. Le deuxième Livre contient les prin-

pes déjà exposés de l'Algèbre géométrique. Le troisième, la

éorie du cercle, des lignes et des angles dans le cercle, ainsi

APERÇU DES ÉLÉMXIIS-VS 'r^'«=.w^^^

V *-i^^s x> euc:t.iï>^ z système sy

que le théorème de lai T>vilssa .^ ---.^ ^»,

cercle. Le quatnemo Lxvr^ tx^siito dos iyc>lygoneJ conscrits, notamment, de \^ oonstT^uctfon des drilatère, pentagone, l:^exaisone o^ décag-oneré/

Sans doute, le travail pei-sonnel d'Euclide d Livres fut particiil ioT-enràent d'ordonner ei c/' cette matière, déjà oonr^uo, d'une façon plus j neravaitétéjusciu'aloT-s, en se Gonformantau} reuses dont Texigenoe s*ét,ait développée en^re Grecs; mais, à cette besogne, dut se joindre thématique proprerrx^r^t, dît z les proportions f comme nous l'avons déjà v^:i, employées en Géc avant que fût née lai t^héorie exacte des proporti Lorsque, en maintes ec^c^sisions. Van devait recov rie des proportions, foridée laniquement sur grandeurs rationnelles, il n'importait guère go tions trouvassent leuir- place dans le système un/ un peu plus tard.

Mais Euclide, lui, connaissait la théorie d'f proportions, et comncie elle était trop nouveJ/e, l trouver place an début dix système, iï Ja rejeta Livre. 11 fallait donc, avant dy arriver, évitf tout emploi, ouvert on caclié, des proportions < tude, et il est probable, par exemple, que c'es cette considération qui contraignit Euclide, ain avonsditunmot, à imaginer la démonstration d Pythagorequi se trouve à la fin de son premier

Pour faire comprendre qu'il était possible d'. sans les proportions, je rappellerai que c'est à

-u / r^^z^^^^ r^ue sont démontrées les pr gebre géometricivie cjot? =» ^^ f

la puissance d'un point par rapport a un cercl ces théorèmes s'ei«ï>loient P^^'^^^ •■»"•« "«/^

dans lequel rangl« a« ^'l'"?^!^..!' T base (IV lo^ la base étant alors le côté d'un pe Daseu\ lo), la rnême cercle que ce triangl.

lier .nscnt ^a»- ^^ J^^^^re est exposée la théo. Dans le cinquième sixième, ses applicat

lions d'Eudoxe «*'^^^"^ de l'Algèbre géométr:

metrie et à 1 «^^^^^^^^es proportionnelles et la struction des moyenn*'^' i

nent en moyenne et extrême raison, obtenues déjà sous

autre forme au deuxième Livre par l'Algèbre géoméue, reparaissent ici, mais résolues cette fois à l'aide des )ortions, savoir dans VI, i3 et 3o.

)mbien, parmi les théorèmes et démonstrations de ces '

es, appartiennent à Eudoxe? combien se rattachaient îrieurement à une théorie moins développée des propors? c'est ce que nous ignorons; mais toujours est-il que t à Euclide que revient l'honneur d'avoir disposé le tout m ensemble systématique.

n'a cependant point fait entrer dans cet ensemble la >rie spéciale des grandeurs rationnelles et des nombres ers grâce aux rapports desquels s'expriment ces grandeurs,

expose cette théorie, du VIP au IX« Livre, c'est-à-dire 5s la théorie générale des proportions, mais sans la fonder cette dernière. Les démonstrations sont vraisemblableit celles que l'on employait avant l'époque d'Eudoxe, et t on étendit alors les résultats aux grandeurs irrationes elles-mêmes.

3S grandeurs irrationnelles, à leur tour, sont traitées dans ixième Livre : c'est là que se trouve leur classification, ^

mencée par Théétète {cf. p. 4^)), mais que devait achever ^

lide. C'est en cela, et dans l'application de ce classement à étermination des arêtes des polyèdres réguliers, que coni sans doute la part la plus originale du travail d'Eue.

ais, avant cette application, il était nécessaire de déve- >er la Stéréométrie élémentaire, ce que fait le onzième e; le calcul du volume des pyramides exige alors des îrminations infinitésimales de limites que l'on obtient, ique par un détour de forme, au moyen de la déraontion par exhauslion d'Eudoxe, employée à cet effet dans le zième Livre après l'avoir été, tout d'abord, à démontrer

deux cercles sont proportionnels anx carrés élevés sur 'S diamètres. La détermination des éléments des poires réguliers n'a lieu qu'au treizième livre, isqu'à un certain point, on voit que les objets de même ire, comme la théorie des grandeurs irrationnelles, et les hodes similaires, comme les applications de la démon-

APERÇU DES ÉLÉMFl-^TS T> ^ ^L^ 4^-r m w^ ^

strationparexhaustioo, ««..t, .^^pprooLos I.s uns toute OIS ce rapprooUoxxxe.r.t, doit: êt^o mis en , compte de levolutiorx histoi^iciuo ^^«t^rîeure p/ ce rapprochement n'^ qu'uno i m i^or ta r. eo seco/2r7a/ subordonné à la coixsidc^^-ixtiorx suivante : ton compte des principes lo^îciuos ot i-ig-oureox f/ l'époque précédente, -or-inoij3os au per/ecfJOMeiîj Euclide avait lui-n:iorxie- <3 01:1 tri l3ué par son traité conclusions, Fimportsirit, était cjue l'œuvre fût j inattaquable, qualité qui était g-arantie comme r vu à chaque problèmes oui tliéoi^ème particulier , tion synthétique; iTiais il s'ag-issait en outre, tant t livre séparément cju^ dans tout l'ensemble, cI'q problèmes et théoroinn. os do toile sorte que la bas tériaux de chaquo i:xoiji.x^oai x tliéorème (ou problè déjà fournis par los prooodents. C'est en veviu cipe qu'Euclide no so pormettait mêmepasd'emp lieu d'un segment dar:às xaries clénrionstration avanr antérieurement, prou-vo l'existence par construc

Cet ensemble do pi-opositions, cette lia/son à J quelle on va du connu a l'inconnu, commepourla tion synthétique d'uno proposition détachée, c'e^ s'élève du simple ot du particulier au composé et constitue ce que nous appellerons un ^j^^^^e^5rjK/2^ core que l'antiquito no nous offre aucune justifica decetteappellatâon ot, dans un tel système, Je poi et la conclusion prosontent un intérêt tout partie

Pour ce qui est du point de départ, il est clair c blêmes, qui se composent de soutions fournies i

u^^ \r . ,^^ ^t a ne les théorèmes, dont

blêmes antérieurs, o*- vi*-^ ^i ^ ^ ,

strations s'appuie«t sur des théorèmes et des précédents, doivont supposer cerlames constru ., ' , i„i-.i<:^s dont l'exécution est, sans i

nueres et P^-^'^^^^^^^^ ainsi que certaines affirn, deree comme connue. ^^^ regardée comme .

m..... dont 1^ J*iî;„ct,ions, pour Euclide, se no. évidente: ces consivu , , ^^^ ^, ^^^ .mrm«iif

tulats ou demccn^ communes {ycoiy/cc\

rencontre comm^"^"^^"

ment chez les écrivains philosophiques, le mot axiomes (à?ia)[j(.aTa). Avant ces deux sortes de présuppositions, il faut d'abord établir les concepts auxquels elles ont trait, ce que l'on fait dans les définitions (opoi).

Aussi allons-nous nous occuper, dans le § ik, des idées et des hypothèses établies de la sorte par Euclide, ce qui nous apprendra par la même occasion ce que les anciens exigeaient en général de leurs hypothèses.

Outre les hypothèses préalables, la conclusion, elle aussi,

mérite une certaine attention dans un système synthétique,

puisque tout ce qui la précède semble n'être disposé que pour

servir de prémisses à cette conclusion même. 11 est vrai que

d, comme nous l'avons déjà dit, Euclide termine ses Élé-

nents par la détermination des arêtes des polyèdres réguliers

ît par la construction qui en résulte pour ces polyèdres, ce

le fut pas là son unique but, puisque, au cours de son œuvre,

embrasse maintes questions qui ne servent ni directement

i indirectement à cette détermination; il a donc plutôt éta-

li un fondement général aux futures investigations mathéma-

ques et, sûrement, c'est bien là ce qu'il voulait, mais l'im-

)rlance que la construction des polyèdres réguliers puise

ins ce privilège de couronner l'œuvre d'Euclide fut cause,

îanmoins, que l'on ait introduit de très bonne heure des tra-

ux étrangers sur ces polyèdres à titre de quatorzième et de

inzième Livres.

D'une façon plus précise il s'agit, dans le premier Livre

luclide, pris séparément, de trouver ce qui est logiquement

îessaire pour établir l'Algèbre géométrique développée au

re suivant; la base de cette Algèbre sera la conclusion

me du premier Livre, à savoir, le théorème du gnomon,

3, et le théorème de Pythagore, I, 47» Un but provisoire

subordonne néanmoins au but principal : c'est le théo-

le (32) sur la somme des angles d'un triangle qui se trouve

îssaire pour le but principal et qu'Euclide rattache, au

eu du Livre, à la théorie des parallèles. Du reste, ce Livre

prend des théorèmes sur la situation respective des lignes

:es, sur les droites perpendiculaires et parallèles, avec

tructions appropriées, sur la congruence et la construc-

des triangles, et sur la dépendance entre l'égalité et

APERÇU DES ÉLÉME^^Ts T>- ^xj<::t^kt>e Z S^S^^ME SY^: l'inégalité des côtés e^t. dos angles ^ il j^ a 7à un n'est pas très clair, mais cfui e^st: cer>enciant unecon la méthode, logique me ri t. sûro, d^a près Jaque7ye7e, s'édifient les uns sur los siut,res z rxxGrktionnons^p^^ que les théorèmes s«r- Isi oong-ruonce des triao i" théorèmes 4., 8 et 26, ot, ciu.':E:ij.clicie no se préoccuif à cette occasion de r^ola ^x^ctà^x* la con^ruence detvunangle, uncôté adjsio^int: et, xan côté opposé se co/». En effet, il n'a pas à e^mployer pareils théorèmes. Au contraire, au si:?cièrxi^ Lîvre^ où il réunit Jq^ sur la similitude des triaràg-les, il ne néglige pas j^ pondant de la sinciilit, xj.de . A. la fin du Livre, y^s sur l'égalité des surfaoes sont plus étroitement ve uns aux autres.

Puisque nous avons exposé ici la conception d*an sy tique de théorie, nous dirons nn mot sur ce que nous en système analytique, par antitlièse et aussi parce que, en de considération d'application anx écrits des Anciens, musdés pleinement les idées d'analyse et de synthèse.

Dans un système syntlié tique, l'on ne s eleve que peu à sidération de rapports plus composés et plus généraux :da analytique, au contraire, on part d un principe général c sa généralité même , de présenter une certaine simplici

découler de ce principe les ^î^^f ^'^"f^,^ 1^ ^^ ^«"^ f^ ' 4- T TT * •; ^^^x^i- rie la Géométrie dans Jequell on ticuhers. Un traitement cxg x^ ^xi^^.o,- c»« •

, ,. 3 ... 1^ ^^T-r^le, noar s élever, successivemer la hgne droite et ^^^^^^^^^^ 2^^r. degré supérieur, est fc coniques et aux ^^^^^J^^^^^^ si les particularités y sor traitement ^J'^'^^^^^^^^^^^^^ent dans lequel on recherct lytiquement;mais lan trai ^^^^bes pour en tirer des

les propriétés générales sections coniques est, lu

ticuliers sur la droite ou

analytique. rnole typi<I"® ^® traitement par

Nous avons un ^^J?^^£^^j.g^nge où tout dérive du prin< Mécanique analy ticjue^ de^ ^ '^'était pris qu'à titre d'hypoth virtuelles :etsi ce P^^^^'-'^g^ liions ou ses conséquences, le démontrée par ses apP ^^ x>nlîcation de la méthode anab absolument conforme a *^ ^^^^ s l'entendons. Si le prin

rèmes particuliers, tello q -préalable, le procédé empl chez Lagrange, état>li ^ ^ le niê me et, en l'appelant a, cependant, essentiellon:io ^^^^ avons attribué à ce s'écarte pas du sens c\xx

mot,

Au reste, c*est en avançant synthétiquement du plus spécial au plus général que l'on parvient, en bonne règle, au point de vue d'où peut partir ensuite un système analytique.