Hypothèses géométriques d'Euclide

Les hypothèses sur lesquelles Euclide fonde la Géométrie se trouvent dans les définitions, postulats et axiomes, de ses différents Livres.

Celles du premier Livre offrent un intérêt particulier parce qu'elles sont, avec les résultats successivement édifiés sur elles, à la base de celles des autres livres; aussi nous y arrêterons-nous, mais en les complétant tout de suite avec quelques-unes des hypothèses nouvelles, introduites ultérieurement : pour celles qui se rapportent à des théories particulières, comme la théorie des proportions, nous n'en parlerons qu'à propos de ces théories mêmes.

On trouvera certainement, à la première lecture des définitions, postulats et axiomes d'Euclide, qu'ils ne sont nullement au niveau des prétentions de forme et de logique élevées, comme nous l'avons dit, par les anciens : on y verra, par exemple, que diverses définitions ne disent absolument rien de ce qui est à définir, et ne donnent aucune garantie du fait qu'il existe réellement quelque objet répondant aux définitions.

La définition de la ligne droite (^) n'apprend rien de mieux que si l'on eût dit : il y a une certaine espèce de lignes, qui s'appellent droites. Quelle sorte de lignes elles sont, c'està-dire quelles sont les propriétés deiç lignes qu'on emploierait de nos jours à la définition, il faut attendre, pour le savoir,

(') Hypothèse au sens général et vulgaire du mot; mais le contexte semble suffisamment l'éclaircir. Suppositions serait plus conforme au langage vulgaire.

(2) Les définitions de la droite et du plan, dans Euclide, sont d'ailleurs obscures et leur véritable sens était déjà perdu du temps de Proclus : « La ligne droite est celle qui est ex sequo en tous ses points. » — « Le plan est la surface qui est ex aequo pour toutes les droites qui y sont situées. » Ces définitions paraissent provenir de la technique de l'art de bâtir, et n'avoir dès lors c;u*un3 portée empirique (T).

les postulats qui conticB^nn^nt, l'I^ypotlièse que /^ possède telle et telle T>ï-c>p>jriot,é i los postuiafs ^ axiomes, sont souvorxt. ^xprîrrxés avec une briè

transforme en énigmes et. qui est eri opposition frJ^ les détails circonstanciés t^i^aitant tout ce qui est démonstration propre rxierit, mathématiques.

Le fait est que le msit.ti.ématicion renvoie aux postulats et axiomes, toutes les la.ypotliéses qu'i^^ risé à faire dans sorx clomairxe et, cela, sans exr^ comment, ni raison dur f>oz.£w*^ vtoi .

Le devoir du mathérr:iaticien est de donner pré^]; spécification complète de ce qu'il veut supposer e de le faire assez claîr-ement pour que, le cas de échéant, il en résxzlt.e évidemment qu'il ne tire parti que de ce à qu-oi il s'est réservé 7e droit d mais les abstractions qui l'ont conduit à établir préalables et à leuï- attribuer, dans Jes postu axiomes, les prpprîét^és déterminées qu'il ieur d plus même, la pi-ouve préalable qu'il ne leur a attribué ni trop ni trop peu de propriétés, tout regardepas.il n'est, <en sa qualité de mathéma ponsable que d'une olxose : e'est de mettre celui c cède toutes ses l^ypothéses dans la jecessue, par.

^ . ^^ ini concéder de même tout <

tions certames, de tiai ^^

déduira lui-même. ^w^ofîrr»^^ .

Ainsi sa conclusion devra pratiquement prou

Ainsi, sa ^^"^^ ^ t cl'hypothèses. Le fait qu

fait un nombre stafïxsanx- ^ ,f^^:t a*»^ ^ . ^„,

j: . ,„ *v^^.^^s ne saurait être prouve auî

émis trop d'hypotlioses i* ^^nç. fa„t^ i o^^^oît .

* • -1 ^^ait commis cette îaute, il serait *

ment; mais, s 11 ^^f^.^t^re^. Q^^ telles de ses hy pot h voir prouver, par ci ^^^^^^^t dérii^er les unes des c contradictoires^ ^^^ l^^potlièses géométriques exf Pour bien ju^er ^f -^ notamment par Euclide,

établies par les an ci ^^[^ plutôt que de s'attacher i sidérer quelles Gli'^^ ^ ^ origine» ou à la forme so< d'indications sur lesn ^^ voit alors que ce sont elles sont présentée • ^^ aujourd'hui encore nous que celles sur le scj VI ^nt été présentées avec une

Géométrie, et qu'elles

gô LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

une plénitude dignes de continuer à servir de modèle à ceux qui pourraient avoir l'occasion d'en compléter ou d'en modifier certains points; toutefois, afin de les comprendre entièrement, nous devrons çà et là toucher aux formes insuffisantes (pour une intelligence moderne du moins) sous lesquelles interviennent plusieurs d'entre elles.

Commençons par tirer au clair les définitions qui peuvent |

donner lieu à quelques remarques.

Le jt7omf est défini par son indiçisibilité (I, déf. i). Puis on passe à la ligne : longueur sans largeur (I, 2), à la surface, avec longueur et largeur (I, 5), et au solide : longueur, largeur et épaisseur (XI, i).

Ces définitions n'élucident nullement comment on parvient aux concepts de point, ligne, surface et solide; mais, comme une hypothèse sur laquelle il faut bâtir, elles supposent qu'on est en possession déjà de ces concepts, et que l'on entend ce que parler. veut dire en attribuant au point o dimensions, à la ligne 1, etc., et cela implique aussi que l'on comprend que la ligne soit un lieu géométrique de points, la surface et le solide des lieux géométriques de lignes et de surfaces.

Pour acquérir réellement ces concepts, il ne faut pas suivre, régulièrement, cette marche synthétique du point à la ligne, à la surface et au solide, mais la marche analytique inverse, en partant du solide comme de quelque chose d'immédiatement donné, en considérant la surface comme limite du solide, etc. : cette marche, d'ailleurs, n'était pas inconnue des anciens, comme on peut le voir à une autre série de définitions (XI, 2, I, 6 et I, 3) qui, sans constituer chez Euclide des définitions nouvelles de la surface, de la ligne et du point, indiquent simplement comment solide, surface et ligne sont délimités.

J'ai déjà remarqué, en passant, que ce n'est pas dans les définitions, mais seulement dans les postulats en y joignant l'un des axiomes, qu'il faut chercher l'explication de ce qu'est une lignedroite. L'existence de la ligne circulaire, également, n'est établie que dans les postulats, tandis que la définition, qui leur est antérieure (I, i5) paraît trop en dire sur ses propriétés : cette définition, en effet, non seulement nous apprend que tous les points de la ligne circulaire sont à la même dis-

lance du centrer, nnais indicitio Gn outn mêmeestune fi^xjtrG^ o'est-à-ciii-e une po

par la ligne cir-oul siî i-o, ot que le cei

térieur de cetto ligne. S'il n'est donc j circulaire doit oomproriciro tous Igs point:

priélé menlionno^ tout d'abord, toujoui mière des indioat-ioris ofFro un moyen pn entre la ligne eintîèi*^ ^t l'ax^c cïe cercle, e mérite de consoiTv^^ï* sa place parmi 7esdé rons, au reste, qu.^ si ggs ^orknées n'avaien ici^ il eût fallu les oompr-endre parmi les forme ou sous xjltx^ sixatre.

Au contraire, la définition du diamètn contient une additîorr qui GSt sûrement su définition, et, de plus, en tant Qu'hypothèsi non seulement quo le diamètre passe p encore qu'il partag-o le cercle en deux p dernier point est une propo"sition qui se d< gruence des deux parties en lesquelles Je mais, peut-être aussi, un éditeur posteriez dans la définition, parce qu'elle ne se tn dans aucun théoro me d'EucIide,

Ladéfiniiiou do 1'^A^^^^. par EucJide, esl en soi que la déflnition de la ligne droite suppléé parles axiomes qui établissent à reconnaît qu'une qoaotite géométrique est

ou inférieure à «r.e ^"/^^^^f. "!f ^ ^^P^ critéria sorxt o^alo«.ont applicab^ aux

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point de la ^^^ ,,^^r>roclie plus du cercle moindre (ou so x ^t^l^

ligne droite. ^ose Euclide dans le pi

gB LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

les suivants, d*après la plus récente et la plus sûre revision du texte (^) :