Tous les angles droits sont égaux entre eux

5. Si une ligne droite, qui en coupe deux autres, forme du même côté des angles internes dont la somme soit moindre que deux droits, les deux dernières lignes citées se couperont, sur leurs prolongements, du côté où la somme des angles est inférieure à deux droits.

Les constructions qui doivent servir à composer toutes les autres, d'après ces postulats, sont celles qu'on exécute pratiquement avec la règle et le compas, mais on se tromperait cependant si Ton voulait envisager les postulats à cet unique point de vue : entre autres faits, les deux derniers postulats ne seraient point alors à leur vraie place, et c'est la raison même qui, de très bonne heure déjà, fit commettre à des éditeurs la faute qui consiste à ranger ces postulats parmi les axiomes.

Comme on le voit, nulle mention n'est faite de la règle et du compas : on ne donnerait, du reste, même avec ces instruments, qu'une image incomplète de la ligne droite et du cercle mathématiques.

Les trois premiers postulats eux-mêmes — ce que nous avons déjà dit en général touchant les hypothèses d'Euclide — ne donnent absolument aucune explication sur la question de savoir d'où et par quels moyens on établit ce qu'on a voulu supposer. Les problèmes des anciens sont, en substance, des propositions sur l'existence, et leurs solutions des démonstrations de l'existence de ce qu'ils traitent ou de ce qu'ils cherchent : de même, les postulats sont deii affirma^ lions de Vexistence de ce qu'on veut faire admettre, sans démonstration ni preuve. Les affirmations contenues dans les trois premiers postulats veulent donc simplement dire qu'une

(<) FMcUdis Elementa; edidit et latine interpretatus est J.-L. Heibera Lipsiop. 1883-88, 8».

ligne droite est possible psir doux lyoints qu^,^ que celte droite ï>eut se proJong-er indén^^ existe un cercle i>.ossil3le, étant donnés u/i c ^^^^ quelconques ou, eri d'autres termes, qu'ij^^h centre donné et passarit par «m r>oint donné ^^

En réalité, le troisîerxie ^postulat doit êtiQ façon, et il n'e^cig-e^ eïrx aijcune sorte que}' ^^^a démonslration l*^x.istei::ice d'un cercle de ce^^ ^^i rayon donné erà viri ^^xitre Jieia du plan: on 1q , ^^ ^o à ce qu'Euclide, da.ris la deuxième proposiij ^^^'^^ Ja délerminatioriL d*uiri tel cercle peut se f^i^^J^' ^Oi

slructions admises r>ar les i^ostulats, à Taide d'^Y^^ tion d'un triangle équilatéral eji^posée dans la L ^? position. Par la restr-iction ici sous-entendue, Eu7îld^^ que se confoniciei' au devoir c/e n'émettre pas tri ^ thèses : s'il n'evlt été question que d'exécution pr^^f moyen du compas, la position du rajon donné eût été 'i rente, et l'on peut arfirmer que \^ rnéihode indiquée d deuxième proposition n'avait point pour but Vexécutio tique des tracés.

Avec cette conooption du sens des postulats, il est équ'il ne suffit pas d'admettre l'existence des lignes droj des cercles le plus simplement déterminés; on exécu constructions géo«iétriciues en déterminant, au moyen d. tersection de différentes lig-nes, des points qui pourront} ultérieurement à la détermination de nouvelles lignes :i alors admettre l'existence des points d'intersection aussi que celle des lignes, car elle ne saurait être une conséq, • cle ces dernières, ^'ost pourquo^^^^

exnressément, orx Imypothese nouvelle, que deux lignes dr expressément, cette affirmation soit réellement ^ se counent : pou* vi ^ .

\ tion

un problème - » x le P ^i„quième postulat, les solutions des , existant en vertu <J ^^^^ ^^ points d'intersection de U blêmes ou 1 «" absolument pas foumiles démonstrat

droites n'auraieni^ figures construites, démonstrations de l'existence ^ ,„„itat essentiel des constructions, devaient être le res«»

Si cette considération est juste, on regrettera qu'il n'y ait pas de postulats pour reconnaître aussi bien l'existence des points d'intersection de la ligne droite et du cercle, ou de deux cercles : sans nul doute, la délimitation parfaite des cas où l'intersection a lieu, réellement, exige déjà le développement de plusieurs propositions, et c'est peut-être parce qu'Euclide ne peut tout de suite faire cette délimitation, avec toute la généralité requise, qu'il s'est abstenu d'établir les postulats en question; toutefois, pour que l'emploi du cercle aux constructions soit possible, d'une façon générale, certaines hypothèses sur son intersection avec la ligne droite et avec d'autres cercles sont au moins nécessaires. Quelles sont les hypothèses dont se sertEuclide? c'est ce qu'il nous faut chercher dans les applications qu'il en fait.

On voit, en effet (proposition I, 12), que, pour s'assurer qu'un cercle de centre donné coupe une certaine droite, il fait passer ce cercle par un point situé du côté de la droite opposé au centre, et qu'il considère (propos, i) comme évident que deux cercles, ayant chacun son centre sur la circonférence de l'autre, se coupent en deux points; de même encore (propos. 22) qu'un cercle, qui passe à la fois par un point intérieur et par un point extérieur à la circonférence d'un autre cercle, coupe cet autre cercle. Il ressort bien des passages en question qu'il s'appuie sur ces hypothèses : ailleurs, il n'avance rien touchant l'intersection d'un cercle avec une droite, ou avec un cercle, sans avoir préalablement démontré l'existence de cette intersection.

Les hypothèses expressément instituées par Euclide ne renferment-elles donc absolument rien sur les hypothèses dont il se sert, en fait, dans les passages cités, et notamment propos. 12, et cela d'une manière qui montre assez qu'il en dut avoir conscience? Les postulats, du moins, non; mais, comme nous l'avons vu, les différences entre postulats et définitions ne sont pas si tranchées qu'il faille s'en tenir à l'examen des premiers seulement. Alors il est clair qu'Euclide peut justifier l'usage qu'il fait de ces hypothèses par ce qu'il a dit dans les définitions, à savoir qu'un cercle est une figure qui enferme le centre, d'où il découle qu'une ligne circulaire coupera une ligne droite suffisamment prolongée en deux points, si elle a

toutefois son centre d'uri côte cfe €^GZt

un point qui soit situe de J'autr-e eôio

également une autre Iw^r^^ d^^ecjr J^jî^^, s^

interne à un point externe. JF^exx:!^ j-cy uoz^sf, c

en certains cas, démon tr-ejr- cf'uxue psiT-GillG

lion des lignes droites sstr^s T'GGOMJil'iw stu ci,

en considérant que ies pér/rx^ôtr-^s cfe?s r^olj

aussi dès surfaces dont l'ot^rirfur^ r^*Gst jyas

emploie ce procédé (I, 2 x J).

Reste à expliquer co m nn^^^t; l^sifil Ërmsition q(j( droits sont égaux a pu prexicit'^ j:>l^i<3^ psirmi Iq II ressort des axiomes cjtJGi t,cy\j.s l^s singles ^ sont congruents, sinon, txokx ^ ^t l'^tYlnnatioij e ment la même que cette a cjr tr<3 r t,ous Igs ang congruents. Un angle droit étant alors détinî (^ celui qui est égal à son stn^lG voisin, Ig postal d'établir que l'angle formé par ixjxo <ljroit€ietsoni est d'une grandeur déterminée, on cjixg Je prolot) Jigne droite donnée, au cielà de l'nne de ses ej? déterminé univoquemen t. Cest iDiert Ik ce qu'Eu dire, et Ton en acquiert la certitucie quand on fait, le postulat est précisément iMppliqué de ceti ce quia lieu dans la démonstration de la propo Lequatrièmepostulat est donc nn camplémenidi à savoir que la détermination du prolongement i droite, contenue dans ce dernier, est univoque,^ cisément pour cela qu'il a pris place parini les posta; parmi les axiomes.

luiat est univoque, elle acissi- Ji.uciiae laii eApica^st^uie, de cette univocité dans la proposition I, 4 où, pour sa d tration, il se sert de l'argument « que deux lignes ne peuvent enfermer <io surface »; or cette affîrmatio

cide absolument avec celle-ci : que le premier postulat est univoque, et elle ne se trouve point parmi les hypothèses établies. Il y a là, à n'en pas douter, une inconséquence que Ton avait déjà remarquée dans l'antiquité, et elle est cause que des éditeurs ont admis Thypothèse nettement employée I, 4> soit parmi les postulats, auxquels elle appartient au même titre que le postulat I, 4> soit, plus tard, parmi les axiomes : ce nouveau postulat exprime en outre que la détermination d*un point comme point d'intersection de deux droites, au moyen du cinquième postulat, est univoque.

En revanche, Vuniçocité du troisième postulat, sur la détermination d'un cercle au moyen du centre et du rayon, n'a pas besoin d'être supposée : là, on peut, en effet, recourir de nouveau à ce fait que, déjà, dans les définitions, le cercle est déterminé d'une manière plus complète que la ligne droite; Euclide est à même, de la sorte, de démontrer dans les propositions III, 5 et 6, que des cercles concentriques ne peuvent ni se couper ni se toucher, qu'ainsi le lieu géométrique complet des points situés à égale distance d'un point donné consiste uniquement en une courbe fermée ou, en d'autres termes, que le troisième postulat ne donne qu'un cercle.

Les premier, deuxième, quatrième et cinquième postulats d'Euclide, complétés par l'hypothèse employée proposition I, 4> et d'après laquelle le premier postulat doit donner une détermination univoque; complétés encore, comme nous le verrons, par une hypothèse contenue dans le septième axiome, expriment alors toutes les propriétés sur lesquelles se fonde l'emploi de la ligne droite en géométrie. A son insu, nous le verrons, et sans s'en être rendu compte lui-même, Euclide s'en servit simultanément pour établir les propriétés fondamentales du plan.

La définition expresse du plan (I, 7) est, en soi, aussi insignifiante que celle de la ligne droite : le plan est encore mentionné dans les définitions I, 8 et i5, où il est dit que les côtés d'un angle doivent être situés dans le même plan, et que le cercle est une figure plane ; or, ce que supposent tacitement les postulats posés est plus important, à savoir que les diverses déterminations ont lieu dans un seul et même plan. Sans cela, le cinquième postulat serait absolument dénué de sens.

HYPOTHESES GÉOmÈTRIQVES D'evclide.

La propriété atti-ifou^^ au plan, aotamment parie '^ et le deuxième postulat, est celle en vertu de laquelle tient totalement, avec ses prolongements jusqu'à toute droite qui passe par deux de ses points, fe. / avait expressément établi lui-même cette propriété,

ligne droite s'

^ .. ^ rfxri-e disant qu'une ligne droite s

tions du onzième X-iv» *^ c^x^ -i ^,, i;««o

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