partie dans un plan n ^^^ i^ H^tei

. ♦ ^* «sii^uées dans un plan (et le aeiei

qui se coupent sont SX to 2^ ^^^^ ^^^^ ^^, ^,

et que '\'^^--^^^'^!;^^ démoustrations, t

au contraire, il donne ^ suppose nécessaires

quelles celles du I^'^^^ /^^ ^'j ^ lequel, inversem. tesse du théorème dn 1-1^ ^^ -^^'

à son tour sur XI, i - tant en principes qu'e

Sous le rapport lo^iQ"^^ traitée en général d'u stéréométrie d'EucIicie ^^ . -^ plane : nous en bien inférieure à sa ^^^"^^^^ ^ propos de ses ax preuve plus importante ^"^^J ^^dant que les nia malgré ce défaut, on verr-a ^^*^^,^g large mesure 1 grecs connaissaient dansn ^^ iieset les opérations sté r é o m é t r i ^1 "

^ -tions et les postule Tandis que pour les ^^ .^\ exacte desbypot du, afin de nous faire n ne ^^^. Encline en a en partie aux applications a ^^ premier Livr théorèmes, ceux des ^^^"^^^f^^ité^ comme indu dont on considère ^^^^^^^^^^Voris. exclusivemei pour cette raison, nons ^^^g ^ i ), donnent une à savoir les axiomes i-3 et "^ ^^^^pplicationdeç que claire du fondement^^^ ^ ^^ général, et ai et d'inégalité aux quantit,eî=',

métriques en particuli^^: ^^ Isl notion

La première contril3ntxox ^^-^deurs eg

par raxiome premici - olles, et i i

grandeur sont égales -«^% ^'-^"V'o'n rec dans l'explication de Ai ^^ ^^^e 1 ^^

valeur à cette explicatio » ^ -

. — ' .__ tR8

(') Euclidis Elementct

T^ X.ipsi^- ^88

à ce qu'on ne peut, dans l'explication que contient Taxiome, substituer le mot m^^a/ au moi égal. Elle ne suffît pas, toutefois, à donner une notion utilisable des grandeurs, car il faut y ajouter qu'une quantité ne change pas si on la divise et si, ensuite, l'on en recompose toutes les parties : c'est la matière des axiomes 2 et 3, qui affirment qu'égal, également augmenté ou diminué, donne égal. Mais il faut, de plus, comprendre encore, pour pouvoir aussi considérer l'inégalité, qu'on obtient quelque chose de moindre si, dans la recomposition, on ne prend pas toutes les parties, et c'est ce que dit précisément l'axiome 8 : le tout est plus grand qu'une partie.

Les mêmes axiomes donnent aussi une explication de l'addition et de la soustraction des grandeurs, en général; ils impliquent, en outre, que l'ordre des termes de la somme est indifférent.

Quand une arithmétique moderne (* ) définit l'idée de grandeur comme il suit : on dit des propriétés des objets qui ne changent pas si l'on en assemble les parties dans un ordre différent, mais qui changent si l'on en enlève des parties, qu'elles possèdent une grandeur; cette définition est parfaitement d'accord avec les axiomes cités, présentant même l'avantage d'élucider un peu plus directement ce que c'est qu'égal, plus grand, ou moindre.

Cette idée générale de grandeur doit se compléter avec des caractères particuliers qui en rendent l'application possible à des espèces déterminées de grandeurs^ comme grandeurs géométriques, poids, etc., ainsi qu'a des quantités numériques purement abstraites; Euclide, pour qui la grandeur géométrique est une quantité abstraite, puisqu'elle lui sert en Algèbre géométrique à représenter des quantités de toutes espèces, même numériques, doit donner tout d'abord le caractère de l'égalité des quantités géométriques : c'est ce qu'il fait dans le septième axiome du premier Livre, dont nous allons parler tout de suite, et ce n'est qu'au cinquième Livre qu'il donnera une représentation immédiate des quantités ab-

(*) JuLius Petersen, Arithmetik og Algebra iil S holebrug. KsdhcnYiaiXnj 1879, p. 3.

HYPOTM*:SES GÉOMÉTRIQUES

slrailes, comme nctj:>j^c»^^tSy siinsi que lo lité et de leur inég'alito.

Les rapports à l'ianité sont des n

moderne et générale du mot, mais J septième Livre et r\"y gsX employée c^xj^* ^^ ^^ • il les quantités commonsurables ; aus^^^ ^i^^ c;

hypothèses faites sl oot egrai'ci en nous ^iiz^. ^^^ .^i^ ^ plus tard de ces Livres.

Après ces quelciues remarques sux* mation des grandeurs, il nous faut re-vmétrique que Voti iroiave au septièr>c Livre : il y est énoncé que lesquarxtî à-dire celles qui se peuvent superposerd'égalité géométricfue précédant très l'inégalité, renfermé dans le l:àuitienf)e site aucun supplément particulierem ,

'^ '* • r>«^ 1^ <5^¥3tiéme axionrâ

géométriques. Par lesept.*^ ^

? 11^ .^^11^ r^uel doitetreleî façon la plus formel le qu-ti^^ ^ ^ ^

recherche sur la grandeur jeometn

tique, on prend ce point de départ eu

parties de la grandeur à ^«^^^^'^'^ jl '/ .\

T ^»^=*trouve ensuit avec la mesure; on le rer, ^^^^^^ ^

trine d'Euclide, comn^o dans ^ ^^

des quantités géometrxci^^ J^^ ^^^^^ ^^ ^

les quantités congruent es, ^^^^^ ^^ con st-l-^^J «nï

n'est qu'une partie de \ ^^océdé d » ^r:»^ s J^€

Euclide emploie ce ^fJJ ^ ^alités et 1 - - "-" )ur montrer comment .^^«^le, ou de

ne.

ïim-*'- j^ ou de ^r^-.^^

et d'angles d'un même trx^^ ^^ ^^^ résuK-^^s r

s'entraînent mutuell^ï"^^^^ les liypoth^ ^^^=5 gre sont ensuite cooitii"^^^^ ^ encore à en:iï>l^=^:>^^*' grandeurs; il s'applî^^^ métrique et sp

rtrkccihlo 1^ rkvînr*.i'Oe & ^ ^ «c* fii'P— t— il

<3i/jc

possible le principe » ^ jie tire-t-i* A-'

gruence : aussi, dans 1» rjooi* démontr-^** *3 parti de la congroeiice ^V ^^^^ parties »* «eu sont égaux suivant toi»*- ^^ gonl <lonnes ^^ ^^j et les deux angles adj ace ^^ «^onST^'^i^és-ali» clul par antithèse des c<^ ^^ ^^^ angles, 1 «s Pour les lignes droite

^ç^Çj ^ Mathématiques grecques.

aVacow^tuen^^' ^^^îs, pour les lignes brisées, les portions de

surfaces plan^^ ^^ ^'espace, Tégalilé peut exister aussi sans

la coïigruence • pour démontrer l'égalité, il suffit alors de

combiner les parties congruentes, conformément aux hypo-

ibèses générales sur les grandeurs. On trouve le premier

exemple de ce fait chez Euclîde, I, 35, lorsqu'il démontre que

des parallélogrammes de même base et de même hauteur

ont la même surface.

Ce n'est cependant que par passage aux limites que Ton pourra parvenir aux grandeurs des lignes et surfaces courbes, à celles des surfaces planes limitées par des courbes, aussi bien qu'à celles de la plupart des portions d'espace ; elles ont été recherchées dans l'antiquité par la méthode d'exhaustion et exigent, en partie, l'introduction de nouvelles hypothèses : c'est ce que nous verrons lorsque nous parviendrons au douzième Livre d'Euclide, ou bien en discutant aussi les travaux d'Archimède.

En revanche, nous devons dire tout de suite que la façon dont Euclide emploie, en Stéréométrie, l'axiome de congruence qu'il a posé dans le septième axiome, est affectée d'une lacune très importante : cette lacune tient à ce que, dans sa Stéréométrie, aucune distinction n'est faite entre congruence et symétrie^ mais il est visible, toutefois, qu'Euclide ne tient pas pour congruentes les figures symétriques, car, en ce cas, il eût cru posséder dans le septième axiome une base suffisante pour les déterminations de volumes. Au lieu de cela, il établit une nouvelle hypothèse qui puisse convenir aussi bien aux figures congruentes qu'aux figures symétriques : dans la dixième définition du onzième Livre, sont définies égales et semblables les figures d'espace qui sont limitées par le même nombre de figures planes égales et semblables (c'est-à-dire congruentes). Cette définition contient — outre une nomenclature — une hypothèse géométrique, donc un axiome, à savoir que ces figures doivent être aussi égales en volumes (^), et cet axiome sert, Liv. XI, 29 pour démontrer que des parallélépipèdes de même base et de

( ' ) Cauchy a démontré que des figures de cette sorte sont en réalité toujours congruentes ou symétriques.