L.1 THÉOI^I^ CiÉiVÊllALE DES
selon les cas, et il i-ossoi^tir-a de son Li vr*^
géométrique offro urio ïxssgz grande ol ^
Poiirce qui est'dos n ornière uses dé f;^
n'aurons à emplo^^or* cfiio les trois suiv
La défin. 4 dit Cfuo doux quanti téî^ si les multiples de chiactine d'elles pe^^ l'autre. Cela ne veut yyais dirf^., seule doivent être de ineiiL:ie nature de sor*L parer, mais cela expi'îiT:ie, en outre, iji qui apparaîtra indisp en saille, aussibi^ théorie des proportions aux quant.!
que, plus tard, poui- les reelierches trouve exécutées, eliez Euclideetch^^ de cette même déin onstration d'exha.
doxe.
La défm. 5 dit c|ue
si toutefois ma ^/i^ Gmr-a^îrtG avec soi
< La définition 7 dit cj u e
si l'on peut attribuer à ^^ et /i des val e
m^ :> ^^^- mais que z^^
Sans doute, la definxtion ,^ * .^„ .^
#« rïîais, court Ënc:M <^
pour les deux rapports^,
plus tard dans les proposi^»-^ ^^ s'i^gri «^
c:d>e:f entraînent ^ Z ^ = ^ ' -^^ "^
de l'égalité.
Le sens d
ûr siToncuuaA^'^- -- -. d'un nombre a* - -*-^-
détermination nnoci^*''^ i^alionnelles z f^
... valeurs approximat^ive^s ^^ ^,g^ppo.rt ci^u^^^
effet, un nombre pu*^ ^^ deuxièmement^ '^ unité de même esp^<^^ ^ ^ ^^s compara «^^^ d'Euclide aboutisseot. '^"^J^.^^uves ratio «"f^i ports et des valeurs apP^^
1 l6 LES MATHÉMATIQLES GRECQUES.
Voyons maintenant comment on peut fonder, sur ces définitions, une exacte théorie des rapports et des proportions :
Dans les propositions i-3 et 5-6, Euclide avance d'abord les lemmes suivants :
(i et 5) mazh nib^z ni{azhb)
(2 et 6) ma±na^{m±n)a
(3) n.ma=inm.a;
toutefois, nous rendons ces trois dernières propositions d'une façon assez libre, car, dans 2 par exemple, il est dit que ma -+- na est le même multiple de a que mb -h nb Test de b; mais les démonstrations — par décomposition des nombres entiers en leurs unités — aussi bien que les applications, s'accordent parfaitement avec les sens que nous indiquons.
Ces lemmes, et la définition 4j servent à faire des propositions suivantes de simples conséquences des définitions 5 et 7 :
si
a: b r=zc:d,
on a
(4) ma', nb =z me l /id;
SI
on a, (7 et 8),
mais
Si
et si
alors
(11) a:b=ze:/,
a\b Tizc'.d c:d^=ze:J,
et, avec ces rapports égaux, on en peut former un nouveau aussi grand, à savoir
(12) (a-Hc + c):(64-<i-h/);
