LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PR
mais si
avec
c\d'>e\f, alors
Pour donner un exemple de démonsln proposition 8, dans laquelle, si a > 6, oi miner deux nombres entiers m et /i, tels k on y parviendra en changeant ces condi vantes qui, d'après la définition 4» peuven
mb^ c et m {a — b)
{n — I ) c ~ mb <C ne ;
d'où il suit que
ne <C w«.
Les propositions 9 et 10, qui sont les inv(
démontrent par antithèse.
Dans i4, on établit à l'aide des proposit
que, si
a\ bz=z c\d,
a^c entraîne b = d,
Dans i5, on démontre, à l'aide de 12, que
ma \mb ^=^ a\ b.
Les propositions 16-19 contiennent des l de la proportion
a\b:zii c\d; on en tire
(16) a\c — b:dy
(18) {a-hb):b=(c^d):d,
On démontre 16 et 17 à l'aide de la définition pour 16, on se sert des deux propositions précéd
Il8 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.
la proposition 17, on déduil de la proportion donnée que, pour toutes les valeurs de m et de n,
îiic ^ ( m -h n) d
résulte de
d'où il suit que entraîne avec soi
ma ^{m -'- n) b;
m{a — b)% nb ni{c — d)^ nd.
18 et 19 se tirent (le premier antithéliquement) de 16 et de 17.
Il y a toutefois une transformation qui manque : c'est celle en
b'.azzzd\c.
Or, comme elle est expressément employée dans la démonstration de 20, on a voulu la chercher dans un corollaire à la proposition 7; mais jl serait difficile de l'y trouver, car il ne s*agit, dans 7, que du cas o\xbz=d, et c'est pourquoi quelques éditeurs transportent ce corollaire à la proposition /J» Quoi qu'il en soit, la transformation en question découle directement de la définition 5.
Les propositions 20-28 renferment l'importante théorie des rapports composés. D'après 22, si
a'.b-r:zd\e et si b\c^=z e\ f,
il en résulte
a\cr=.d\f.
Comme préambule à la démonstration, il est établi dans 20 que, d'après les hypothèses, la condition « = c, d'où, selon 8, il résulte que d\e:^a\b^c\b=^f\e, que cette condition,
dis-je, comporte avec elle, selon 9 et to, d^f. Maintenant, selon 4, comme les proportions données sont transformables
en
ma : nb r= md', ne et en
nb\pc ^=z ne \pfy
''résultera ég-aJe^^^nt de """«^o
partantdeax r "^ ^^"^^ '^^nfére y^ ^
et
entraînent * ^:<?:^
Cespropositîofis <3«oncent que/er;,nr.
^los rapports « : Z. ^ t, ^ r c. • mais si noTr! port antique conii-ine ri« "omLre mod^^rn 'e rapport, comj^<r^s<3 dos cl eux rapports, e qu'on appelle m si i £i toi^cm t un produit. Et formes déterminées ci u xl T-apports qu'il s'a^^ dernier terme do l'u.rî cîoviant être Je premie cela ne restreint tout<3i"ois «uJienient leu résulte, en ofï'ot, ci^ Jo l'eprésentalion Livre VI, 12, cjnc^ t,or,it r-iipport peut être 1 nière qu'un do sos <JLGJjiy^ toi^mes ait une va. le Livre VI, ^3^ où il ost démontré que deux parallélo^ï^anrinnos d'ang-Ies égaux est ports des côlés, on "voit slussî que l'on do; les formes et \ t* ot l^ Z c^ i:>our les faire entn Grâce à cet oiTnf^i^nnt slxx A^1« l^ivre, les pr du V« renfermons los clo m on slralions comj tionsqueTon e^pi'im ora î t a ujourd'hui de la Un produit est c^éte F'rTz^i^^^é pcir ses facteu
fadeurs est if^cic/J^^r-^^^^'
Indépendammont clo la rationalité ou d.
facteurs, les anoions possédaient donc de,
i'.- - I ^^,^^ tirons rioiTimons leur
distmcles de co Quo noci» » ui
Il ^^.r^ï-ic; rl'exnoser et, en sec
celle que nous ^-on ons u «^^^1 y ^t^c
1 ,-<r^^f -1 n£rles dont on se
sentation par les 1 ootan^i^ ^e
' . -K-^» i-oalité, CCS deux modes
î.^eomelr,que. "En 1 ^^'';^^ . ^n le voit par i, licllemenL la xxion^o eliose .0 p j,
J ivre VI nui ^iont a'ctrc citée.
J.nre VI ^,"^ T^\ -^^ 00 rapports compos La représentât!*-'»'
T20 LES aiATHÉMATIQUES GRECQUES.
simple, offre, par ailleurs, un avantage essentiel : tandis que, normalement, l'algèbre géométrique ne traite que les produits de deux facteurs représentés comme rectangles, et qu'il faut avoir recours à l'espace pour figurer les produits de trois facteurs sous forme de parallélépipèdes, on peut, au contraire, représenter le produit d'un nombre arbitraire de facteurs par le rapport composé de ces facteurs. En effet, si l'on donne aux facteurs les formes
a\b^ b: Cf c\ dy d'.e,
le produit composé de ces facteurs est a\e\ c'est ce que dil expressément la proposition 22.
D'ailleurs, dans la transformation du problème de la duplication du cube par la détermination de deux moyennes proportionnelles, nous eûmes un exemple déjà de l'emploi général que faisaient les Grecs des rapports composés : ainsi, la proportion prolongée
a\x^=:x\y^=zy\b
exprime donc, chez les anciens, absolument la même chose que ce que nous écririons
ou - =
On représente de la même manière des puissances encore plus élevées, par le premier et le dernier terme d'une proportion prolongée, c'est-à-dire telle que ses termes forment une progression géométrique.
Même au temps d'Euclide on était, sous ce rapport, plus avancé que son cinquième Livre ne le laisse entendre; on le voit, notamment, par son Livre IX, 35, où il donne une détermination de la somme des termes d'une progression géométrique, et, actuellement, on pourrait rendre l'investigation contenue dans cette proposition delà manière suivante : si
alors
LA THÉORIE GÉJV£«^t.E DES p^^ ^
Mais la proposilioii ne porte pas um^ lie trois termes consécutifs dont se co^^M •lémonslration est générale, ne s app^^^ positions du cinquième I^ivre ; cepen^^^ seulement pour le moin en t parce q^^^ ^ suivante qui concerne Ja théorie de^ x
I appliquer la proposition :
D'ailleurs, nous devons attBcher à ce^^^ produits et des puissances d'autant plu^ ^ est demeurée jusqu'à présent ie fonder^ briques qui prétendent à la généralité, ^^ nombres rationnels.
La proposition V, 24, dit que : si
et si
il s'ensuit alors
cetle proposition estpresque de même Gsp précèdent les propositions sur les rappoi-i^ «lant elle trouve seulement place ici par \^^ position 22 sert à déduire des deux propor-ii^ inversion des rapports dans la deuxième (^ leurs réciproques), que
d'où à l'aide de 18, il résulte ciue
{a -^ b) : b r=i (^cï ^r-e)\e.
Une nouvelle composition des rapports C alors à ce qu'il fallait démontre\- : et la pre applications de la proposition st^ est intéres montre que la division de rapports n'exige 1 propositions particulières.
La proposition 25 dit qne, si c^iaatre quant lionnelles, lasomme de la plvxs grande cl de
supérieure à la somme des deux autres : on le démontre au moyen de 19. Un cas particulier, dont on ne parle pourlanl pas ici, consiste en ce que la moyenne entre deux grandeurs (moyenne arithmétique) est plus grande que leur moyenne proportionnelle (moyenne géométrique) : on le démontre par Talgèbre géométrique (VI, 27) et l'on en tire le diorisme pour les équations du second degré.
Si, malgré son exposition géométrique, la théorie des proportions donnée dans le cinquième Livre esl parfaitement générale et applicable à toutes sortes de quantités, elle n'en avait pas moins besoin d'un complément qui, selon la méthode des anciens, fût géométrique. L'existence des rapports résulte des délinitions dès que l'on a des quantités susceptibles deformerdes rapports, selon la définition 4; toutefois, ainsi que nous l'avons indiqué plus haut en passant, l'existence d'une quantité telle que, jointe à une quantité donnée, elle forme un rapport de valeur donnée, nécessite une démonstration que l'on effectue par construction géométrique d'une quatrième proportionnelle.
Ce complément géométrique des proportions se trouve dans le sixième Livre, qui renferme en outre les plus importantes applications de cette théorie à la géométrie, notamment aux figures semblables, ainsi qu'à sa combinaison avec l'algèbre géométrique; et le but important que l'on atteint, grâce à cette combinaison, est de représenter géométriquement et de résoudre les équations du deuxième degré dans lesquelles x^ est affecté d'un coefficient : quand ce coefficient a était rationnel, les anciens savaient, il est vrai, comme nous l'avons vu (p. 5o), transformer l'équation en une autre d'inconnue axy sans coefficient du terme carré — au contraire, si le coefficient est irrationnel et qu'il faille le figurer par un segment, l'algèbre géométrique ordinaire à deux dimensions devient insuftisanle.
Considérons la proposition i, où l'on démontre que les triangles et les parallélogrammes de môme hauteur sont proportionnels \\ leurs bases : ici, la définition euclidienne et générale (le l'égalité des rapports trouve une excellente application ; les bases égales déterminant des surfaces égales, l'interprétation
raie, sans qu'il ait ét^ n ec^^s^^^-ï i i^^ ^ traités modernes, d '^ .« » d^r^rrr.^^î'^^^'J,^^^ cas où ies quantité:, cf « «.é^e^ «at^.Tsoi Apres quoi, su î^-ent; l<3s r>x-o|^osîtions 2 ( versales parallèles dans Je ti«ion-io, et s, côté du iriangJo r>ai- la lig-nè cjui partag, opposé (bissectrice- > - i^iiis Je-s i^rorosUio sur les triangles sorx:it> I si I3J es r on, Jos démo tion d'un triangle serï^tol i^i^Ie à l'un des tri congruent à l'autre, et on Jos j^ent sknpUque à un triangle recta n^J^ ot, aiLJ:x: cieux iriangl est divisé par la 1ï autour* stjr- J 'J:i 3^130 tén use. 9-i3 contiennent la clîvîsî<3n d'ijin s^^meni ou proportionnelles, siîrïsî cjiJici Ja conslructi proportionnelle ( c'ost-à — dire cJe Ja quatrièrr la quatrième et de la nno^'orir^o pr<yjDcyrtionneJ construction est la rx:iomo ofi-i'on a ciejà appy géométrique, à la clé toi:-n[:i în a tion du côté
un rectangle don oé, maïs il Ta^ll^it -alors
Irement.
Ensuite, ce sont (i4^-^3) des jyvapasitior entre les surfaces des fig-ures, mais nous de la principale propriété sur les aires des j ,
à angles égaux : dans la démonstration que le rapport de triang'Ios s^inhlables
disons aujourd'hui ost é^al au carre du ra
côtés homologues, on ramène, pour poi/v avec lui-même, le rapport (^: ^) ^^^ ces ^ forme 6 :c, de telle sorte n^e le rapport c^
(.8..9) les applleations^cte^ --^^^^^^^--^^^
lacer les rcctangj^^
v-o-.y; lesappi.^c,.,.^^- îr^dénendanledej..;^ ralisation, précisém en t ^^^^^^^^^ rectan J' ^l>.
tions, consiste à ----[J-ac-^ ^luelconqur^ grammes d un anglo ^^^^^^J^^^nce sur'> transformation reste san:=> j^
mélrico-algébrique de ces problèmes, et nous en pourrons faire abstraclion pour ne parler que des rectangles. Alors les problèmes dont il s'agit sont les suivants :
Sur un segment donné (a) appliquer une surf ace donnée (B) sous forme dUin rectangle {de hauteur x) et tel que le rectangle manquant (28), ou en trop (29), soit semblable à un rectangle donné {de côtés c et d).
Les solutions sont exactement les mêmes que celles que nous avons déduites (p. Sy-Sg) de II, 5 et 6, pour les cas où les figures, manquant ou en trop, doivent être des carrés, excepté cependant que les carrés d'alors sont remplacés par des rectangles qui sont semblables au rectangle donné : la similitude apparaît nettement à ce qu'une seule et même droite est diagonale pour les deux rectangles semblables.
Fi g. i3.
Afin de mettre en évidence l'extension donnée à l'algèbre géométrique par ces propositions, nous nous servirons de la représentation algébrique suivante des problèmes, et des déplacements de figures qui les résolvent :
B = ax ziL ~, x'^ d
X zr.
représentation dans laquelle, par l'emploi moderne des signes. nous avons voulu éviter un double énoncé. Il s'agit, pour
trouvera, de construire le rectangle -y-^i-x\ semblable au rectangle donné et égal à la différence ou à la somme des surfaces connues - ( 7 ) et B. Pour cela — B étant supposé être une figure rectiligne donnée — on se sert du problème 25, déjà mentionné à propos des pythagoriciens :
U THÉORIE GÊNÊBAX.E ï>E«i ^
Conspire „„e „,„„ „„i ,oit ^^1^'°'° r'^
'lonneeetsembli.Meàune autre ^ " ""«"S"
