I.epr,b,é„,..8e«,ge,corr..x>e Uloris„,e <,„e

OU bienque la figure donnée B ^. ^ -

'angle construit sur la moitié dô so^^"'' T P'"^ ^^^/.l rectangle donné crf: ce diorism" esîT^r "' "' "^ f.^1 manière ordinaire, mais la rié^tsîfi <*djoi„i au probl^ précédente proposition .y âveo i« "^" «-t démontrée celle qui sert dans .8. Comme no u^ même transpos.tK Paragraphe„,cediorisme sTra îan^ À ^^«"^déjàrema, l'analjse qui corresnonH^ i^I sans doute directemen si l'on remnirrr^ exposition sj^nthétique d

s 1 on remplace le rectangle c^ par- un carré ledinr alorsqu'uncarréeslplusgrand ci'un r-ectrn^l'edoàt '

lll'av^s d^"'"^-^^'^"^'"* ^"* ciéo<:u,:SSem:

nous 1 avons deja noté, du Livro X^, ^S )

I^a proposition 3o traite do la division d'un se moyenne et extrême raison i la oonstruclion a déj queeunefois(IÏ,,,,p. 4^), ol: s'ai3i3«y^it alors s même construction s'appuie onooro sui- Ja pronosif qui est une généralisation do II, e. La raison pc *-ucJide se répète est la mémo quo pour la cons moyennes proportionnelles; à savoir, c|ue ce pr cette fois, grâce à la ihéorio dos proportions exprimé qu'auparavant.

La proposition 3i comprorid l'ox tension du 1 ythagore à des figures senGit>lal3l os cjiieleonques

sur les pAfi^c rl'.iv. .«: i ^ -a ^ ^ ,l^^l,,o, ^^

semblable.

l>ans la proposition 33, la dorniore du Liv^ que les angles au centre, ou insori^s clans un portionnels aux arcs corresporidar^t^s.

Gommeonlevoit,donc, lo oinquiio me elles

tiennent les principes nécessaires à un traitement exact et parfaitement général, par Ja tliéorie des proportions jointe à Talgèbre géométrique, de problèmes qui, dans notre algèbre, dépendent d'équations du premier et du second degré. Les autres travaux conservés nous prouvent bien que l'on a réellement utilisé ces principes, en particulier le traitement géométrico-algébrique des sections coniques d'Apollonius, de même que de fort nombreuses questions qui nous furent conservées par Pappus; il y avait même une préparation expresse à toute cette besogne algébrique : il e-st aisé de s'en apercevoir à diverses propositions des Data d'Euclide énonçant une foule de problèmes de cette espèce, dans les formes dont nous avons parlé, et dont on jugea utile de pouvoir considérer la solution comme si bien connue, pendant la continuation des recherches d'analyse, que l'on put se contenter d'y ramener simplement les nouveaux problèmes.

Ce que nous exprimerions par une équation du premier degré à coefficients quelconques, les Data, pour avoir une forme valable, en général, l'expriment par une proportion. Pour ne donner qu'un exemple, entre cent, la proposition i5 des Data dit que : si Ton ajoute des quantités données à deux quantités qui sont dans un rapport donné, ou bien les sommes elles-mêmes sont dans le rapport donné, ou bien le surplus de l'une, excédant une quantité donnée (*), est avec l'autre dans le rapport donné.

Cela équivaut à déterminer x par la proportion

(a -4- m — x) \ {b -\- n) zzz a ', h ,

La preniière des alternatives mentionnées exprime que x peut être nul, à savoir si

On évite, d'ailleurs, un x négatif en remplaçant l'équation par la suivante :

(a-{- ni)'.{b -{- n — .r ) = a : 6.

(') A savoir or, donnée, non pas comme hypothèse, mais en vertu de la construction à faire d'après la démonstration do la proposition. Nous dirions plutôt aujourd'hui : que l'on peut déterminer, (P. T.)

Nous avons ^'^^J^^^^^iè/nes %«,e„t .,3 ^.

renferment des I'^t' « ''''ectf^r^l ' '^^

applications de «"''^^^^„^',. ''^'^'"«"«^ -«c

Connne types de P,';^^j^'"'o«, ^,„^^^

notion de proi^/èx«es ^ui depe,^^J"''J^r\' . ^« lions du second degré, «o««„,,^ ^-jPj^; p'^oV'S' si deux seg-inents comprennent, sous un

av.. 1 .«-«M m » M-^ a-k 7

tions du second cZe^ré, "^^nions ici les r> si deux segrinents ^^^/^^^^^^eyu, sous un ar parallélogramme de ê"^'^ ^^ de ur donnée, ot si I différence des carrés (construits) sur cos sogrxrie 'es segmenfs sont iiussi donnés. En a'avitr-os t naissait (sous forme géométrique) les solution.

jrj^ — - ^^ ^.2 H— ,^2 ^^

*7. — Grandeurs commensurables et leur traitem

septième-neuvième Livre d'Euclide

Dans le septième Livre^, Euclicle introduit laquelle on exprime en rhorf^hres eizùters les gra mesure: il traite ensuite, dans ce I.ivre et les < des nombres entiers, de leurs rapports et au entre eux. Pour les nomh>res entiers, ce Lj^^^^ pioposilions sur les proportions, proposition.* quième Livre a déjà démontrées en toute grcn il faut dire aussi que la théorie générale de -^u cinquième Livre était assez ^"^^^^^^^^ Zl^rZl 'était point encore sufrisarx^ment ^^^^^^^^^^^ tablir tout ce rurf^ll^ c-ml^rasse dans «- •

"cidii poini encore sul tisairi»^-^' ^^^^1

établir tout ce qu'elle oml^rasse ^^^\^^^^^^^,,^ cette théorie des proportions "^^^^^^^ Jument, dans Livre selon Tanciea mode ^^^^ ^'/^'^^,^,es des rapr lient aucun compte de co ci^es i<^î='

être incommensurables. .^ pouvait laiss

La raison pour laquelle on J^ ..^s entre i

plement de côté la tUéox-i<3 ^*^^^ lUéorie plus g tiers, comme impliquées dans ^ ^ ^^ fallait cons exposée, c'est que, pour ^^^,^ ^J générale, nol chose que ne le fait la ^*^^^^ sVmpUricaiion ^ questions de divisibilité ^^ ,^^|^^ixient àce tali c\ numériques : on le voit itnncxe

nombres, Euclide donne miiq définition nouvelle de la piopor-

Cl (J

tionnalilé, la définition 20. Suivant cette définition, - :=iz -^^

lorsque a et c sont, soit les mêmes multiples, ou la même parti e aliquote, soit les mêmes parties aliquotesde h et de dy c'est—

à-dire si, en même temps, a = /n — et c^:^m —\ sans doute,

en ce qui concerne Tégalité des rapports, celte définition no

renferme rien d'autre que ce qu'impliquait déjà la cinquième

définition du cinquième Livre, mais on verra bientôt que,

selon la manière dont on l'utilise, elle introduit cependant

une hypothèse qui n'est pas sans importance.

Les propositions i et 3 établissent et démontrent les règles connues pour la détermination de la plus grande commune mesure : il y est démontré — directement — qu'on obtient une commune mesure, et — antithéliquement — qu'on obtient la plus grande.

4 établit que, a ^\ b étant des nombres entiers, et / leur plus grande commune mesure, on peut toujours écrire

a ■=. mf, b^= nf et, par suite, a^ni - \ si a <.b^ alors m ^ i ,

/z>i. D'après cela, m et n sont des nombres premiers entre eux ; et si, maintenant, s'appuyant sur cette détermination, on cherche à vérifier selon la définition 20