CL C

que j --= -^1 on introduit alors l'hypothèse que, si tel est le cas,

le dernier facteur — > de c = m -, est un nombre entier — donc

que *, s'il divise un produit me? et qu'il soit premier avec l'un des facteurs m, doit diviser l'autre facteur d.

Cette proposition fondamentale de la théorie des nombres est donc déjà comprise dans les hypothèses, et il n'importe guère, au point de vue théorique, qu'Eucfide ait basé plus tard sur ces hypothèses plusieurs des propositions qu'implique la précédente; ainsi, dans 3o, lorsqu'on dit qu'un nombre premier qui divise un produit doit aussi diviser l'un des facteurs de ce produit. Les hypothèses en question sont employées

Cl c

notamment dans la proposition 20 : si ^ = -^ et si c et d sont

GRANDEURS CO^f^ï £:J>i':S CJ R>^^ I^IES EX LEUR I'W^a

aussi petits quo ï3 os sil3J^, <::? ciî vise a et <:^wproposition est i nn j3 o r* f stri t ^ P^^"*"^^ dor^ion '^^ ' on parvient à la j3i*<3X30sî tîor:i 3o. ^^

Comme on le sait, otrk so sort, dans la <iémoast rème fondamental oit^, d^ ootto circonstance ç^/^* miers entre eux. A- ost 1& i>lus grr-and comriîuij ^yy^y^'^ — proposition qu'EiaoIido no fait point entrer danc découle des règles do do t ox-m i na tion du pius gr^j^^^ Ce qui manque, dans Eluolicio, o'ost une démonstratù

la transformation, door-i to dans 4, <ie a en m -^ es pour laquelle /72 et ^ soîont promiers entre eux.

De ce que nous venons de dire, il résr quTuciide ne donne I> a s ^ la théorie des r une base aussi profonde cju'a la Géométrie et

j ' '«*^i.r^<= ^-*4^ ri t^inues ; mais iesoin

grandeurs générales c^c^ »^ *-* , ,- ; u

ailleurs, à exposer ^.t. à établir- Ja nombreuse

■ ,^ .^^-^ rf=*«5Si to, en Arilnmetic

qu'il voyait bxer. la "^,*tf%i3«U usage des op

irailemenl exact , et *^" ^^ tant d'applicat

théorie desquelles xl *^^*: g. n'ont point eu j

les trois Livres a^-it*^"*^ "jj^portance fondamt

pour laMathématxclue une partie des suivi

les Livres anté rie ur-s, e ^^^iques remarque

contenterons-nous ici a j^^p contenu.

breuses sur le restant- de ^^ septième Livre

La théorie des f ^F»P*^^,,^'positions générales

cipe qu'un exposé clés 1^* ^^^jcul des fractio

tantes employées dans ^^^^^ns f^** P^"'" '^ <=

trairement à ce a"® "^^"oorts sous forme de l

avons-nous écrit les ^'^J^^ues, <!"« traitent k

Les proportions corx ^^^^^^ nous l'avons d

neuvième Livre, sont, c^ ^onnétriques, mai

antique des progressio ^ ^^^ rapports em.

avec des termes e»*-^^' une telle série Hg

indices différents «^^" Naissances des nombre

antique des diverses t»"j^„s sur les rac

r *•* r-^r-taines p«^^l^ __ ^rnovennes propc fractions. Gert ai x**^ i- tion <i^ ncK-'j' ^ «^

sullat d'une intercaiî^

l3o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

Les propositions les plus importantes qui aient été obtenues, pour la théorie des noaibres, sont les propositions 20 et 36 du neuvième Livre : la première démontre Tinfinilé de la suite des nombres premiers par ce fait que le produit de tous les premiers nombres premiers -h i, ou bien est un nombre premier supérieur, ou bien encore contient en facteur un nombre premier supérieur; la deuxième annonce que le produit (i -h 2 -h 2* -h. . .-h 2") 2'*, si le premier facteur est un nombre premier, constitue un nombre « parfait », c'est-à-dire tel qu'il soit égal à la somme de ses parties aliquotes (p. 28), ce dont il est facile de démontrer la justesse, puisque — comme nous l'avons déjà dit (p. 120) — la proposition 35 nous donne la sommation, nécessaire adhoc^ des progressions géométriques.