Grandeurs incommensurables; dixième Livre d'Euclide

Si, à propos du dixième Livre des Éléments^ le plus étendu, nous n'entrons guère dans le détail, ce n'est pas que le travail qui y est consigné — travail commencé par Théétète et y achevé par Euclide — ait trop peu d'importance pour mériter notre pleine attention : au contraire, en dépit de l'exécution soignée de ce Livre, la difficulté que l'on rencontre quand on veut, d'un coup d'oeil, en embrasser le contenu, provient de la tâche pénible qui consiste à distinguer, sans aucun système de signes, entre les grandeurs irrationnelles qui s'y trouvent classées.

Aussi, bien que les classifications en question soient employées ensuite pendant longtemps, ce Livre, toutefois, ne put acquérir une importance historique aussi durable que tant d'autres parties de l'œuvre d'Euclide, et Ja raison en est que, par la suite, le langage des symboles, même aux premiers f stades de son développement, va procurer un aperçu beaucoup plus simple des différentes espèces de quantités irrationnelles; et, nous-mêmes, nous contenterons de donner ici, à l'aide des symboles modernes, une idée de ce que sont les gra ndeurs classées dans ce Livre, sans nous préocuper des dénominations au moyen desquelles Euclide en fait la classification.

Pour ce qui est de ces dénominations — afin d'éviter toute méprise aux lecteurs du texte même d'Euclide — je ferai

irfCOMMBTfSVRABlSs,

au and il parle d

*^,„er que, quand il parle o (seulement rema«~<^I'-' „£,s uniquement celle

tionnelles, il "'^" *f"," „if^, mais encore ce»es mensurables avec ^ " ^or-ession, «jui « sont C( le sont ou, selon «"^".f^^-t^. ^w reste, EucHc/e / en puissance » ^^^^ J,, sens cjuil a dans les U ici le terme d'-^'^^'^'^'^.^^s «^«'^ "^'"^ dé^siê-nonsa àlathéoriedes "^'T^^I^J^e, considérée comme tité choisie ar-bitra.rex«en .^^ ^éme roie qu un<

.rabiii^^ Î^.T^Sni, tandis ^"«ffes^e

rationnelles et, ootatx--' jeurs /"-.^»"«^ .. ^„.,-^ - .

tangles. Les formes '^^/^-J,., ^uacr.èmes de qa,nutés r,^^^ plus loin sont des r-c' ^^ forme p±VP - 1, K^NT^^ *

nelles, des expressions j„es carrées de ces express/^jn^"'^

v/«±v^-6, ainsi que l^vf^ '««"^ ^^ ''.^"'''"' ^"' ™ «^en,.'?^ plus exactement, «oWi^ je ces racines carrées en son,^^^ certaines transfortnaf^^^^es de ces dernières se détermin^J ou en différences : 1®^ *>

l32 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

alors au moyen d'équalions de la forme ;r*H- j' = a, ^x= 6, dans lesquelles a et Z> eux-mêmes ont déjà une forme donnée. En dehors des définitions des différentes classes de grandeurs irrationnelles, le travail qu'Euclide exécute ici consiste principalement en démonstrations propres à établir que les quantités formées sont irrationnelles et, en général, différentes les unes des autres; au reste, ce dernier point comporte la nécessité de faire ressortir expressément les cas particuliers pour lesquels une expression de l'une des formes peut se réduire à une forme plus simple, ou être composée d'expressions de formes plus simples : et, de cette façon, la transformation connue de l'expression doublement irrationnelle

>Jp±s/p'-g'

en une irrationnelle plus simple appartient à cette catégorie.

Cette transformation est respectivement effectuée, 54 et 91,

pour les signes H- et — ; on l'emploie ensuite, dans 67 et 94,

pour transformer l'expression \p±^p^— g, dans le cas où g n'est pas un carré, en

C'est à cette forme que conduisent les équations des propositions 39 et 76, dont le but est d'établir l'existence des irrationnelles, dites majeure et moindre; et les opérations au moyen desquelles on effectue ces transformations, ou d'autres semblables, sont représentées, sous la forme de l'Algèbre géométrique, mais, au fond, ce sont les mêmes qu'on exprimerait aujourd'hui en langage algébrique et que l'on emploierait à résoudre les équations correspondantes.

19. — Éléments de Stéréométrie; polyèdres réguliers; onzième et treizième Livre d'Euclide.

Tout en faisant preuve, dans son dixième Livre, d'une très profonde habileté d'algébriste lorsqu'il traite des problèmes

qu'on aboi'ci^r-a le « P^^SGnt fy^tr une résai tionsdu seoor^ci ^rlG^-r-^^ ^E a cl i de crée en nouveaux pour dési^nGt- Igs ërrandeurs^!

dans sa detor-rx^ i jr^^i t:ior:i dos co£és et des '

et des po/j'ôd r-<?s l'&.^tjli^r's ; mais, a

•^f- ues poiyecM i~GS re^.^tJAiGrs ; mais, avant d

son treizième X-i^vx'^, fj 7uti faut exposer to

onzième, les f>r^imiGM-s éléments <le la Stéréc

Dans les pr-emiêi'^s puropositions relatives è

proque des dlroit.^s et des plans, on rencon

'es mêmes tttéor-èimGS Gt. Igs mêmes démonsli

les traiiés moder-nes z :Euclide doit ici cepem

Géométrie plane, à côté des théorèmes, f

constructions, pvtiscjtJG c'est par elles que se t

slralions nécessaires <J« i 'existence des %ur,

Et si l'on veut lyien considérer que les constn

depJansne sont pas préparées ici comme le

postulats du premier I^ivre, les constructions

droites, on voit <ï"*i-I ««' obligé de Jes ramené

possible, à des constructions piammetriques

qu'Euclide abaisse <^p».-oF'Ositio« x,> u«e perpe,

un plan à partir d'nn point A, «.tue en dehors ^

menant d-rbord, du poi^^t ^. ""^„f/X />'

droite quelconque I3C clo J^'f^'^^i^^.Zmel^^

laire sur la droite dn T^^^"l^,Trl J^^nScû^aP

sur BC au pied» d« '^.!^"?i^.^e en unpointgieT^

ensuite (X.) la P«rpendxo«I«iJ-« ^,^^ extérielT^^

plan en abaissant <l'«f-^^' t.e«ant par 7e poi«V^' diculaire au plan, r»"*^ ^P laire ^

parallèle à cette P«^P^"„l,rticuJier, danssonL/^re Euclide comprend ^",^„r r,lus tard ieur appuie „/. sillons qui peuvent ^^*^".^j„„ des parallélépipède^'' recherche et la «^«"^^^V^ns tzo et 2 1 , les propositi' lyèdres, par exemple' *^^.j^^^ trièdre ou quelcona sur les faces d'un .^"^\f „ ang-Ie trièdre dont les f^ quoi, la construction " " et exécutée dans 23 .

données est prépa»^^^ ^ ^ seg'i^^'^^^ ^^^^^ sur Jes fectue en sectionnai *^ pois, avec les Jbases quis

angles donnés comnn^ j^ g'ies triang-Zesisoscèles ain sées aux angles donnés cia

l34 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

on construit un triangle que Ton inscrit dans un cercle; le centre de ce cercle est alors la projection du sommet trièdre cherché. La possibilité de cette construction est démontrée soigneusement, à condition toutefois que les faces satisfassent aux conditions posées dans les propositions 20 ,et 21 : et voilà bien rendu évident le fait que ces conditions sont suffisantes.

Le reste du Livre traite notamment des parallélépipèdes, des rapports entre leurs grandeurs, et se termine par la détermination du volume d'un prisme triangulaire; d'ailleurs, les démonstrations de volume souffrent de la lacune que présentent les hypothèses géométriques sur les grandeurs stéréométriques, et dont nous avons parlé plus haut, page 106.

Le douzième Livre contient, entre autres, la détermination du volume d'une pyramide : nous aurons l'occasion d'en parler plus amplement, en même temps que des autres déterminations obtenues dans ce même Livre au moyen de la démonstration par exhaustion.

Le reste de la Stéréométrie se trouve dans le Livre suivant, XIII, qui comprend la détermination des cinq polyèdres réguliers ainsi que celle de la grandeur de leurs arêtes, étant donné le diamètre de la sphère circonscrite : pour cela, quelques lemmes géométrico-algébriques sont indispensables, tout comme une détermination des côtés des polygones réguliers plus complète que celle qui fut fournie, dès le quatrième Livre, par la construction des polygones.

Les premières propositions s'expriment, en Algèbre moderne, de la manière suivante : si ^ et 7 sont les sections d'un segment a divisé en moyenne et extrême raison, et que l'on suppose ^>/, alors

- -sjb [(2) est la r

X X jz

d'où l'on conclut, dans (6), que ^ etj appartiennent à cette espèce d'irrationnelles qui devaient prendre le nom d*apotomes dans le dixième Livre.

Êt.Éa.JS^-'T' -eoM^tr^ ^ jes côtés

VmsMennenlciu^^^^^^^neregau^^^ ^ ^ astraiion lagone, hexagone et. c ^ ^^^ é/égante d ^ 'llr^ones, le p

ment, daas la dixieo^^^^ ^^^^^ ^^ ^^^ ^ ^ '^J^^s dun ir sant que, parmi les ^ ^^ autres sont 1^^ ,'r«iion^

rectangle. fondant sur de>& ^t^'^ euc/idi

La proposition i i» ^^^ ^u pentagon^^ ^«/^f^-^reque métriques, calcule le ^«^Wf la déterra»" tt*^' mètre du cercle «^^ ^"^ Jier ce côté de i^ ^^5 i"-"*'

aboutit direclement i* <^^ rï^^-^ ^ c^nt

^, /^ - i ^/B, mais las '^ -^ 5^ p,

indiquerions par -- \/ 3 3 „=«iaf ^^i''^ ^p <