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à Euclide pour étabii'^ ^ ^ affi»'»naiii qi»® ,^ d'exprimer le théorème e ij^ralionnel, ^j
l'irralionalité double, car " «^-e cl*****®' MMér»^' ^ I'^'
nelle appartiendrait à ""'^.^ tria^gl^ ^ettootre ^^^.^ ^ ,2 détermine le côté d u «^ ^^lier, et tn ^^ ja
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circonscrite. rég^^»^^ ^, ' ve qae A:
i4 construit un octaetirt- ^^^^\xev et P^ ^^ ^^gcu
,5 construit un hexaèdre rég«^^®^ .^ â une i"»^
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16 construit un icos^eî^ ^ l'giret«
calcul réel, démontre <=I ^ ^^^ p^^^. exécu^
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17 construit un dodéo^^^J^^ ^r^te apP
calcul réel, démontre ^^^^^^^. ^ no-ure, les coï
irrationnelles dites ^/^^^^^^ et "^^"^Lvien même t
18 montre, sur une ^^^^^^o fl^^^^ des différentes arêtes - <^ ^^^ ^. ^^q poly comparer entre elles . ^v^^»^ ^^^
Ces constructions P*"
l36 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.
liers existent réellement; ce à quoi la proposition finale du Livre ajoute une démonstration établissant qu'ils sont les seuls possibles.
La plupart des éditions d*Euclide comprennent encore un livre, dit quatorzièmCy qu'il faut attribuer à un mathématicien un peu plus récent, Hypsiclès, et un quinzième Livre qui est certainement beaucoup moins ancien; on en fait, d'aiJleurs, les appendices de fœuvre d'Euclide parce que, comme le dernier Livre d'Euclide, ils traitent des polyèdres réguliers.
Le Livre d'Hypsiclès constitue effectivement un progrès dans l'étude de ce sujet : comme exemple des propositions qu'il contient, nous pouvons citer celle qui dit que les cercles circonscrits aux faces d'un icosaèdre et d'un dodécaèdre réguliers sont d'égale grandeur, à condition que les deux polyèdres soient inscrits dans la même sphère. En tant que monographie, ce Livre n'appartient plus, à proprement parler, aux ^/eme/1/5, mais c'est un joli type des investigations dont s'occupaient les mathématiciens de l'époque alexandrine et, d'après son avant-propos, il forme la continuation de recherches semblables qui remontaient au grand géomètre Apollonius.
A ces œuvres sur les polyèdres réguliers, rattachons encore un autre travail qui traite d'un sujet voisin, à savoir la détermination par Archimède des polyèdres semi-réguliers, c'est-à-dire de ceux qui sont limités par des polygones réguliers de différentes espèces : dans un ouvrage perdu, mais dont Pappus nous rend compte, Archimède trouva qu'il existait treize solides de cette nature.
20. — Démonstration par exhaustion; douzième Livre d'Euclide.
Dans la détermination exacte des quantités qui intervien-l nent comme valeurs limites pour une approximation indéfinie, Eudoxe avait appliqué essentiellement les mêmes moyens que ceux qui lui servaient, dans la théorie des proportions, à traiter exactement les grandeurs qu'on ne peut déterminer . qu'approximativement à l'aide de rapports numériques rationnels : et la méthode qu'il inventa, afin d'établir sûrement ces
