DÉMONSTRATION PAR EXHAUSTION

valeurs limites sans recourir à l'idée d'infini, mise alors au ban par les mathémaliciens, présente des formes si précises ^ qu'elle mérite vraiment un nom particulier, qui lui fut donné au xvii® siècle; nous l'appellerons Démonstration par exhaustion. Celte démonstration repose sur l'hypothèse, établie dans la quatrième définition du cinquième Livre ou, plus directement, sur la proposition i du dixième Livre, tirée elle-même de cette hypothèse, à savoir qu'en enlevant la moitié d'une grandeur, ou plus de la moitié, et en répétant celte opération un nombre suffisant de fois, on peut arriver en fin de compte à une quantité plus petite que n'importe quelle grandeur, donnée à l'avance et de même espèce : en notre langage moderne

Lim a. (3. /,...= 0, si «> i^, /, . . . ^ J*

Étudions la démonstration par exhaustion dans sa première ^ application chez Euclide, qui (Liv. XII, 2) s'en sert pour établir que les surfaces de deux cercles sont proportionnelles aux carrés de leurs diamèlres : la proposition précédente, i, démontre que des polygones semblables inscrits sont proportionnels aux carrés de leurs diamètres, et l'on peut alors dire, brièvement, que la démonstration de 2 consiste à considérer les cercles comme limites de ces polygones.

La validité de ce passage à la limite est garantie par la démonstration par exhaustion, et l'application à cet effet de X, i, qui n'intervient que dans la démonstration même, a pour but d'établir, dans ce cas, que Ton peut inscrire dans un cercle un polygone ayant un nombre de côtés tel que la différence entre le cercle et lui soit inférieure à n'importe quelle limite donnée : en effet, par une duplication du nombre des côtés du polygone, les triangles que l'on inscrit dans les segments de cercle qui constituent cette différence ont pour grandeur la moitié de rectangles qui comprennent ces segments et, par conséquent, sont eux-mêmes plus grands que la moitié des segments.

Pour démontrer, maintenant, A et B élant les cercles, a et b leurs rayons, que

l38 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

on admet que

et, pour vérifier si C < B est alors possible, on inscrit, dans A et B, des polygones réguliers semblables, A', B', ayant assez de côtés pour que B — B'<B— C, donc B' > C. On devrait avoir alors

a^: ^^-=rA: C = A':B';

ce qui est impossible, car A>A', mais C<B'; le cas où C> B se ramène au précédent, puisque de C > B on pourrait déduire que

où

IXA.

Il est clair que, les quantités variables A' et B' ayant les valeurs limites A et B, et le rapport A' : B' ayant une valeur constante, la même démonstration peut toujours servir à montrer que le rapport A : B possède la même valeur; si, en particulier, A' = B', on a A = B. Toutefois, les anciens n'établissent pas cette proposition une fois pour toutes, comme on le ferait dans la théorie moderne de l'infini, car cela reviendrait à vouloir expliquer des notions de même nature que l'apl)roximation infinitésimale, et par suite à les admettre, ce qu'ils ne font pas; ils se contentent, tant Euclide que plus tard Archimède, de répéter les mêmes formes de démonstration dans chaque cas particulier où s'en présente l'occasion.

Dès la proposition 5, dans laquelle il est établi que deux pyramides triangulaires de même hauteur sont proportionnelles aux surfaces de leurs bases, Euclide trouve une occasion de répéter la démonstration citée, après avoir démontré dans 3 et 4 que les hypothèses nécessaires pour qu'elle soit applicable existent bien réellement. Il procède alors de la manière suivante : au moyen des plans EFG, EGIH, et EHK passant par les milieux de 3 ou de 4 arêtes, il décompose, comme dans la figure suivante, une pyramide triangulaire en deux pyramides qui lui soient semblables, de dimensions linéaires moitié moindres, et en deux prismes égaux entre eux; chaque prisme a la même

DÉXONSTRATIO.^ PAR EXHAUSTION. I 3y

hauteur et la même surface de base que l'une des petites pyramides, ce qui se déduit des propositions du Livre précédent.

Si l'on divise maintenant chacune des petites pyramides de

la même manière, etque l'on continue de la sorte, on obtiendra

comme valeurs approximatives de la pyramide la somme des

2 premiers prismes, des 4 suivants, des 8 suivants, et ainsi de

suite. Chaque fois, d'ailleurs, que l'on passe à une nouvelle

' approximation, on voit que les prismes enlevés à la pyra-^

( mide équivalent à plus de la moitié : en effet, les deux

I petites pyramides, produites par la division d'une pyramide

, primitive, sont plus petites que les deux prismes, puis-

' qu'on peut les disposer de manière à ne constituer que des

parties de ceux-ci.

Si, maintenant, on a deux pyramides, A et B, de même hauteur, et qu'on se serve comme valeurs approximatives de ces pyramides des sommes de prismes A' et B', obtenues en poussant également loin la division des deux pyramides, il ne s'agit plus (4) que de montrer que A' : B' est égal au rapport entre les surfaces de bases (F et G). Désignons, pour

l4o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

les deux pyramides, les sommes des deux premiers prismes par iii et t^j, les sommes des 4 prismes, issus de la division suivante par Wj el ^29 celles des 8 suivants par u^ et ç^a, etc., nous parviendrons au résultat désiré en démontrant que

F : G = wi : Ti = U2 : (^2 = «3 : (^3 . . . = A' : B';

et la démonstration par exhaustion donne alors (dans 5) :

La signification du procédé que nous employons ici apparaît, surtout, si Ton remarque que la proposition 3 donne les conditions qui assurent, d'après X, i, que

A = Wj -f- U2 -h ^/3 H- . . . etc., jusqu'à l'infini,

considération qui fait immédiatement naître l'envie d'étudier plus complètement la série convergente.

On voit sans difficulté — ce dont Euclide même s'est servi en partie, Liv. XII, 4, — que chacun des deux prismes égaux, dans Wi, est semblable à deux des 4 prismes égaux dans «2» etc., d'où il résulte

U2 = 4; Wi, W3 =:: ^ W2, . . . ,

OU bien

A = Wi[H-l--h (1)2 + ...] = A ;^jr=lf/o,

«0 désignant un prisme de même hauteur el de même surface de base que la pyramide P. A l'appui, cependant, de la justesse de cette proposition, il est facile de donner une démonstration par exhaustion.

Sans doute, Euclide n'emploie pas ce procédé. Si, néanmoins, nous avons jugé bon de le donner en cet endroit, où nous cherchons à connaître,'non pas seulement les méthodes d'Euclide, mais en général celles des anciens, c'est qu'Archimède, en réalité et comme nous le dirons bientôt, emploie absolument la m,éme som,mation d'une série infinie pour trouver la surface d'un segment de parabole.

Au lieu de cette sommation, dans la proposition 7 Euclide utilise la division connue d'un prisme triangulaire en trois pyramides pour trouver le volume de la pyramide triangulaire : et il est fort inutile de nous arrêter à la transition

y DÉMONSTRATION PAR EXHAUSTION. 14'

aux pyramides à base polygonale, non plus qu'à la transition des prismes et des pyramides aux cylindres et aux cônes, transilion qui s'effectue naturellement à l'aide de la démonstration par exhaustion.

La démonstration qui établit, dans i8, que deux sphères sont proportionnelles aux cubes des niyons est cependant plus difficile, car il est impossible, ici, de former des valeurs approximatives aussi simples que pour les surfaces circulaires; aussi, comme préliminaire à cette démonstration, Eaclide résout-il (17) le problème suivant : Inscrire, dans une sphère donnée, un polyèdre qui enferme entièrement une autre sphère donnée, concentrique et plus petite. Celte question peut se résoudre de la manière suivante : dans un grand cercle de la plus grande sphère (appelons ce cercle équaleur) on inscrit un polygone régulier d'un nombre pair de côtés (2/1), de telle sorte qu'il enferme le grand cercle de la sphère la plus petite et situé dans le même plan; on inscrit alors dans l'équateur de la grande sphère un polygone régulier d'un nombre double de côtés (4^), puis, par les sommets de ce polygone et par le pôle de réqualeur, on construit de nouveaux grands cercles (méridiens) que Ton divise, à partir du point d'intersection avec l'équateur, en autant de parties (4^) qu'en a Téquateur. Les points de division seront alors les sommets du polyèdre cherché, dont les surfaces latérales sont des trapèzes et des triangles, ces derniers étant situés autour des pôles.

Il résulte nettement de la démonstration complète d'Euclide qu'il ait voulu donner cette solution, encore que dans le texte actuel ce ne soit pas elle qui précède sa démonstration, mais bien une autre solution, d'ailleurs erronée*

Sans doute, ici, l'on n'est point en présence d'une série de valeurs approximatives pour les sphères, mais, toutefois, la démonstration par exhaustion y peut être employée comme précédemment : en effet, si A et B sont les sphères données, a eib leurs rayons, et que C soit une sphère concentrique à B déterminée par l'équation A : C = a' : è% on peut, si C < B, inscrire dans B un polyèdre B', enfermant entièrement C, et dans A un polyèdre A', semblable à B^ Ces polyèdres sont alors employés de la même manière que les quantités que

ïf\'i LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

nous avons désignées par A' et B' dans la dénionslralion par exhaustion donnée plus haut.

[^ Pour niettre cependant en pleine lumière la valeur logique delà démonstration par exhaustion, il serait ulile de la comparer aux procédés modernes. Bien que les anciens évitent absolument des expressions telles que « valeur limile d'approximation infinie », la démonstration par exhaustion n'en détermine pas moins, en réalité, comme nous l'avons dit, ces valeurs mêmes; et c'est précisément la notion rigoureuse de limite qui gît à la base de tout le procédé, puisque l'on désire pouvoir pousser l'approximation (finie) jusqu'à ce que l'écart entre la valeur approchée et la valeur limite soit inférieur à toute grandeur donnée.

La démonstration par exhaustion est donc une démonstration exacte, antithétique, de Vunivocilé de ce mode de détermination, ou de ce fait que deux quantités, qui sont ainsi limites des mêmes valeurs approximatives, sont égales : elle est, par cela même^ l'un des termes nécessaires de toute recherche infinitésimale complète, et un terme tel que, A chaque fois qu'il y a démonstration par exhaustion, on peut ' dire qu'on a affaire à une investigation infinitésimale, à ' savoir celle qui conduit au résultat dont la justesse sera pos- ■ térieurement démontrée.

,^ Les recherches infinitésimales qu'on trouve chez les an- ' ciens auteurs, là où ils se sont servis de la démonstration 1 par exhaustion, peuvent d'ailleurs se ramener à certaines méthodes infinitésimales employées encore aujourd'hui : ainsi peut-on dire que non seulement les pyramides, dans Euclide, XII, 5, et le segment de parabole dans Archimède, mais encore les cercles, dans la proposition XII, 2, sont tous déterminés à l'aide de séries convergentes, et aussi qu'Archimède, nous le verrons, recourt aux mêmes sommes de quantités «infiniment petites, et en nombre infini, actuellement nommées intégrales dé/inies. l^a démonstration par exhaustion rend rigoureuse l'application exacte de ces procédés, mais les anciens, du moins dans ceux de leurs écrits qui nous sont parvenus, s'attachent tellement à assurer cette rigueur, dans J chaque cas particulier, qu'il ne leur reste plus de place pour développer, au delà du besoin momentané, les méthodes dont