Les sections coniques d'Apollonius

Si donc c*esl à Euciide que nous devons la connaissance de la Géométrie élémentaire des Anciens, de même c'est par le grand Ouvrage d'Apollonius que nous possédons principalement leur théorie des sections coniques ; et, cependant, parmi ses huit Livres sur cette matière, sept seulement'nous ont été conservés, les quatre premiers en grec, les trois derniers par une traduction arabe.

Les quatre premiers Livres renferment ce qu'on nomme les éléments de la théorie des sections coniques, c'est-à-dire l'exposition, en un tout suivi, des propriétés principales de ces sections : c'est de là qu'il faut ensuite partir, aussi bien pour appliquer la théorie à la solution des problèmes de construction au moyen des lieux solides, que pour se livrer aux recherches particulières sur des questions concernant les sections coniques.

Les Livres suivants, au contraire, comportent des études spéciales : ainsi le cinquième Livre, traitant des normales aux sections coniques et de la construction des normales issues d'un point donné, est le type le plus complet qui nous soit conservé de l'application des sections coniques à des constructions, en même temps qu'un exemple de la subtile étude théorique que l'on savait rattacher à une telle construction.

Mais ce sont, directement et avant tout, les quatre premiers Livres qui nous font saisir la connaissance générale que possédaient les anciens sur les sections coniques : aussi nous arrêterons-nous assez longuement, non seulement pour pouvoir donner un aperçu de ce qu'ils savaient sur ces courbes, mais aussi pour faire sentir les ressources réelles dont ils disposaient pour aller jusqu'où ils atteignirent.

Voyons donc, tout de suite, comment le premier Livre établit le fondement de la théorie.

Quoique le point de départ diffère de celui dont s'étaient servis les prédécesseurs d'Apollonius, il résulte toutefois de son avant-propos que les propositions particulières qui composent ce fondement sont, en grande partie, les mêmes que

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LES SECTIONS GOI^IQITES I>'aPO1.L0*

connurent et employèrent oes prédécesS pour ce qui est de rhyperl3oleï, A.i>ollonius » positions un progrès nota]3le z bien c|ii'il n^ o/?po5<?e5 les deux branches de l'iij^perbole, V fois comme une courbe uniqiae ^t, ol3t,î enl ai i positions sur l'ellipse et sur l'hyperbole, la i n'est possible qu'avec un tel prooéclé .

Ainsi la nouveauté du poirjt do départ V2 lisée : au lieu de considérer los sections cônes de révolution par des plfiii:i^s sitiaéts déterminée, Apollonius envisag-e t^out de planes quelconques de cdrt&s cir'cw^l^^^'^^^ ^ pour rattacher à ces sections \jltxg propri telle qu'elle puisse servir de base ^ ^^^^ des courbes, Apollonius emploie xane s '^' cédé même qui servait à ^T-cbimède po tions perpendiculaires au plan <j^ ==»-^ de par cette extension, la propri^^^^ P ^, elle aussi, plus générale, ello n^ ^'^^^'*ko:s la section conique à l'un de ses axies ^ ^^ ^^ juguées pour axes coordonnés, c^^^ w»tarit J obtient de pareille manière en x-app ^^r^în mètre quelconque et à ses go^^*^"^ - ^^rrxGTi qu'il faut bien retenir si l'on vent ai du Livre. oeoî snr

Au début, on ne connaît do no ^ï^^^ x-op''^^^^ chées : c'est qu'elles possèdent 1» ^ ^t ati s: rapport à un diamètre partioial^^f" nn ^

conjuguées qui forment, en S^^ oosit^^^^ diamètre. Ensuite, au cours d^ ^ ^ ^np^^^ ^ jouissent de la même propriété pai* ^^^r-vi^*^^ de diamètres et, à la fin du Livre, ^^ ^ c:c?r'é^^^ diamètres perpendiculaires <^ l^^ h»eS, nn^ ^ constate à ce moment que Jes ^^^^^ ^^^b corn/ i ces diamètres, peuvent être oot\^^

un cône de révolution, f^it^^^^^' '

Alors, seulement, l'identité est pa^^ ^^ ^^^ se ■

les courbes traitées par Apolloniti^ que l'on envisageait auparavant-

,66 m ^KT^W^^*^^^^^ ^«^BCQUES.

Ces dermexs xfe^uW^v^ ^^^^Teut*"^ '^'''''^ '^ ^"^ essentiel qu'ApoWomus eul deN^xiX ^^^^^:,^^ ^^ composant tout son premier Livre; mais, eYiemii^ *"* ^'*'^t> parfois il fut contraint, parfois i\ chercYia \u\-mème T occasion d'exposer maintes propriétés qui pourraient trouver leur application dans les Livres ultérieurs ou qui, en soi, méritaient d'être connues : c'est ainsi que la théorie des tangentes et de leur détermination sert d'introduction à la thèse fondamentale du Livre, celle des diamètres aux systèmes de cordes parallèles.

Pour se faire une idée précise des tournures employées, le mieux est encore de les comparer à la transformation algébrique des équations, dans les formes nouvelles qu'on obtient par rapport à de nouveaux systèmes de coordonnées, transformation aujourd'hui usuelle en Géométrie analytique, ou peut-être de les comparer en général avec les opérations algébriques de la Géométrie analytique. Apollonius, lui, n'a recours qu'à V Algèbre géométrique, qui est ici d'un emploi assez pratique : on peut sans peine le reconnaître en considérant la forme géométrique sous laquelle Apollonius représentait les équations des sections coniques qu'il avait déduites, au début, de considérations stéréométriques et, dans ces équations, nous avons déjà vu que les courbes sont rapportées à un diamètre et aux demi-cordes conjuguées pris pour axes coordonnés.

Soient {fig. 20-21) AB un diamètre 2 a d'une ellipse ou d'une hyperbole, et CD la moitié d'une corde conjuguée : 1^ carré CD^

doit être dans un rapport constant - avec le produit AC.CB, ce

qui s'exprime en élevant en A et en C les perpendiculaires AE et CF sur AB, et en reportant sur la première AE= 2/7. Si F est le point d'intersection de CF et de BE, le carré élevé sur CD sera égal au rectangle AF; car alors CF est précisément égal au produit -• CB.

La figure employée constitue donc l'appareil géométricoalgébrique à l'aide duquel on figure exactement ce que nous exprimerions par l'équation

LES SECTIONS CONIQUES d'aPOU^ ^ YÔptè^e^

dans laquelle x eiy figurent respeclîveme^ a^ ^iVatV^ ^

voit que la propriété fondamentale qui se V^' .^^ de la sorte, est celle même que Ton cowti^^^

lonius : c'est à tort, par consécixjLerit., qo'on lui

de théorème d* Apollonius,

La forme de cette repT-^soTit.a^iorx ^^^ ^^f'^ adéquate aux formes oT-Aix^aires de aig

elle prit une importance particulière par ce qu'elle a de base aux nouvelles dénominations qu'Apollonius it donner aux sections coniques, une fois abandonnée la iode de détermination à laquelle étaient attachées les înnes désignations. La figure dont on se sert est la le, en effet, que celle qui correspond à la transformation équation en

exprimer que le carré j* est appliqué sur le segment = 2/7, de telle sorte que les côtés du rectangle, manit ou en trop, soient dans le rapport/? : a {cf, 6« Livre d'Eu- ); et, conformément aux notations employées dans la iution des équations du deuxième degré, la courbe repré- 3e est elle-même nommée ellipse ou hyperbole, selon le rectangle EF manque, ou est en trop.

1 n'y a ni défaut ni excès, on est alors en présence d'une lie application du carré /^ sur 2p : et la courbe /*= 2/>j?, ce cas, a reçu le même nom de parabole que l'applicasimple de surface.

1 voit que l'Algèbre géométrique rend, ici, exactement les les services que ceux que rend plus tard l'Algèbre dans îométrie analytique : tandis que nous exprimons aujouri la propriété fondamentale d'une courbe par une équaalgébrique, Apollonius, lui, la représente par une figure; lar le fait que cette figure auxiliaire est tracée à angle t avec l'axe des abscisses, quand bien même les ordonnées )ent cet axe sous un autre angle, elle reste toujours, en que sorte, indépendante de la figure pour l'étude de elle elle doit servir.

3 plus, comme l'équation algébrique de la courbe est du nd degré par rapport à ^; cette figure auxiliaire est bien la le que celle dont on se sert dans les éléments pour la ésentation et la solution d'une équation du second degré : , donc précisément comme courbes du second degré que sections coniques se trouvèrent si heureusement approes, ultérieurement, à la méthode des Anciens. )utefois, la forme géométrique que cette méthode don-

LES SECTIONS CONIQUES D'APOttC

nail à l'Algèbre elle-même, fui cause de t tiples entre le moyen et Tobjetde rinveslÂg^ combinaisons qui devaient rester assez \o'\v analytique, notamment en tant que celle-ci ^ complètement les questions de géométrie calcul. Au contraire, le procédé antique res\ à l'emploi actuel de la Géométrie. analyiiq^i tient compte en même temps de la signiUcav des transformations à opérer.

Sans doute, nous ne pouvons songer* ^ su toutes les transformations des équaLt^ions de \ sentées sous forme géométrique, et, at l'aiide à peu, Ton atteint le résultat que noijis aivoxis essentiel du Livre; mais nous deA^orxs néam moyen terme qui joue un rôle capit^ail , t,aint, ic dans les questions du troisiènae LiA^x*e t

On considère une section coniq^xe de c diamètres CE et GB comme lieii géométrictu tels que le quadrilatère CMHT, Ltrrvité fkczr

mètres, par la ligne RM i^cr^cllèl^ ^'*"" Jî^f^Z à (X, et par m parcelle l^ c.u,ao <.or'cies car^JUgu

, une superficie constante . . ^ /-«ces est valable

: Pour nous, ce théorèrr^e f-^^'^^.^t intervient d

S générale, à condition ^«"^^^^L^*' f^„e -^ ou - à

V lères impropres, d'attrit>o.er le s»ë

leurs parties, suivant leur situation par rapport au périmètre; Apollonius, au contraire, doit le décomposer en plusieurs théorèmes distincts, mais dont cependant il saisit parfaitement les rapports. On comprend alors Tapplication que fait Fauteur dans le premier Livre : il suffit en effet de remarquer que ce théorème se tire tout d'abord de l'équation qui rapporte la courbe à Tun des diamètres et à ses cordes et qu'il conduit ensuite, d'une manière correspondante, à l'équation où la courbe est rapportée à l'autre diamètre et à ses cordes. Mentionnons encore, dans le premier Livre, la détermination des tangentes : d'après l'équation de la courbe il s'agit, pour cette opération, de mener par un point (a?', y') de la courbe une droite dont les autres points (x, y) satisfassent à la condition

condition dans laquelle, pour la parabole, — se change en o.

Apollonius montre que, pour l'ellipse et pour l'hyperbole, on y parvient si la tangente et l'ordonnée au point {x\ y') partagent harmoniquement le diamètre (l'expression harmonique est toutefois de date plus récente). La démonstration est trop étendue pour que noug la puissions reproduire, et nous allons nous contenter d'établir qu'une droite issue du point {x\ y') de la parabole y^ = 2px, et qui rencontre l'axe des abscisses au point (—^',0), est tangente à la parabole, ce qui se fait à peu près comme il suit : (x, y) étant un point de cette droite, on a

fi y

{x' -{- xy [\x

maintenant, comme on sait par Euclide que la moyenne géométrique entre deux grandeurs est plus petite que leur moyenne arithmétique, ou que

LES SECTIONS CONIQUES d'APOUOÎ^^

il en résulte

Quand on voit si bien rexcellence et la pett^^^) ment posé par Apollonius dans son premieT VA^ prend d'autant mieux qu'il puisse s'élever \^\ leur dans ses autres Livres, notamment le \îO^^^ partie aussi, dans le cinquième.

Nous devons ici nous contenter d'iïn\ic|^xieT uè la matière de ces différents Livres.

Dans le second, sont expliquées les ï>ropTVè' des asymptotes et des diamètres cônjxigtaès . < outre les branches connexes d'une tày pex*l3o\e conjuguées, situées dans les différentes aingle mêmes asymptotes; on suppose qne oes tàyp diamètres d'égale longueur, car, en effet, or aux diamètres ne coupant pas les oo\xrl3e qui, en réalité, sont les mêmes c|\j.e ôelles servons actuellement. Divers prol>l^ncies snr les asymptotes sont encore résolues, Ti.ot9imi tion du centre et des axes d'vine seot,ion.

celle d'une tangente formant un a.ngle <^onné passant par le point de contact, eto.

Le troisième Livre traite, avant, tovLt, <1 points des courbes et indépendantes des axes : il les fait aisément résnlter dui. tHSt déjà nommé et qui revient en. réalité èi x" à deux diamètres non conjugnés. On confournir un excellent point de départ, pon du théorème cfe /?aïwance conn\a par A^rc rème concerne, en effet, des cordes de c mais choisies arbitrairement. On y rer principaux théorèmes sur les pôles e^ les la génération d'une section conictne par droites qu'on appelle aiiiourd'Uxii I>r<M^ phiques : les sommets des faisceanx soi conques A et C de la courl>e, et les ciroi AM et CM se détermVnetil par ce tair q

sur les parallèles menées respectivement par G et A aux tangentes en A et C, des portions CP et AQ dont le rectangle possède une surface constante.

Fig. 23.

On aperçoit facilement que toutes ces propositions sont incomplètes, et même peu intelligibles, si Ton considère à part une branche unique de l'hyperbole : aussi comprend-on Tavantage réel qu'il peut y avoir à considérer les deux branches de courbe selon la conception originale d'Apollonius, notamment dans son troisième Livre, avantage qui subsiste sur tous les modes antérieurs de traiter le même sujet, quand bien même certaines propriétés eussent été connues avant lui sous forme plus restreinte.

Une autre série de propositions du même Livre contient les déterminations de tangentes les plus simples, sans emploi des points de contact, en particulier celle des tangentes à une hyperbole considérées comme droites qui, à partir du centre, segmentent sur les asymptotes des portions formant un rectangle de surface constante, et des tangentes à une ellipse et à une hyperbole, comme droites qui segmentent, sur des tangentes fixes et parallèles entre elles, et à partir des points de

LES SECTIONS CONIQUES d'aPOU-^

contacl de celles-ci, des portions formant ui face constante. — Les tangentes à une pats minées comme droites dont les points d'Vn rent, sur des tangentes fixes, des espaces \

Nous pouvons encore faire remarquer \c propositions nous éclairent sur le but de ^ d'Apollonius, sur la section de raison et sur pace, dans lesquels il résout, au moyen cie trique, et — au moins dans celui sur la. sec discute, avec un souci des détails px*es problèmes que voici : « D*un point me^ne sur deux droites données, à partir de de^vi détermine des segments qui soient dans xxick forment un rectangle de surface donnée. » \ problèmes à Taide de la règle et du concip>sis ment, conformément aux théorències n:ior\t,\o^ Livre sur les sections coniques, k la dLét^orxï gente menée par un point extérioxaT* dorx conique suffisamment déterminée.

Ce même troisième Livre comprendl ^gatl subdivision remarquable, à savoir, Ist t,lrkoo l'ellipse et de Thyperbole traitée x>sir la. Cio taire : la position de ces foyers, ^ e^t. ï**!! cipal AA,, s'obtient par ce fait, quii^ 1-^ '^ doit être égal à ap, où 2 a et '2j> d^si S'^^'^^' Taxe et du paramètre. Au inoy^x^ d^ dont nous venons de parler pouir l^s ^^ et à rhyperbole, on trouve alors qvieï xt^ «=>

gentes en A et Ai déterminent, e^xix* x-^ «^^ c*

vu des points F et Fj sous un axi^S^*^ x>vlx

obtient facilement les autres tUéox'è^rrl^s ï>

Chose étonnante, ApoUonivis n.^ <=*^ *:%t3T>^^

parabole; mais, il est vrai, 1^^ loxï»^»^*^ %ei^^ ^^ un ouvrage perdu d'Euelide p^^^*^^^ <3oxx"^"^ ^ point était, paNieiienj^^^^ aU "^^^V"^ V^^^^^'''^ ^ he quatrième Liçre ^r.ç.Ytty'^^^ J^^^s. <^^^^^

points d'intersecf/oo J^^\e^^ ^^"^«S^^- ^^tx^

dilexpressémem, (/a^^e ^*^ ^t,— T>^^^^ \& Ca^^

TiaT \w consiste esse>.^ 1 -.^^r^*- ^^

174 LES MATBÉMATIQUES GRECQUES.

deux branches de Thyperbole, circonstance qui joue ici un rôle capital; et nous parlerons plus en détail du cinquième Livre lorsque nous exposerons comment les Anciens traitaient les problèmes solides.

Le sixième Livre traite, d'une part, des sections coniques semblables; d'autre part, il contient quelques extensions des constructions relatives aux cônes qui passent par des sections coniques données, constructions qui avaient été entreprises dans le premier Livre.

Le septième Livre réunit un assez grand nombre d'expressions pour certaines fonctions entre les longueurs des diamètres conjugués, des paramètres, etc.; on y trouve d'imporlantes propositions, telles que les suivantes : la constance dé la surface du triangle formé par deux diamètres conjugués et par la corde qui joint leurs extrémités (dans le cas de rhypeVbole, les deux diamètres conjugués en question ne sont autres que des diamètres d'hyperboles conjuguées); l'invariabilité de la somme ou de la différence des carrés de diamètres conjugués — pour d'autres cas, où de telles fonctions ne sont pas constantes, on en recherche les valeurs maxima et minima.

Enfin, le septième Livre renferme les démonstrations relatives aux diorismes des problèmes qui devaient être résolus dans le huitième Livre, actuellement perdu; c'est au moins ce qui est annoncé dans l'avant-propos, ce qui nous permet d'induire que ces problèmes avaient pour but de trouver des diamètres conjugués pour lesquels ces fonctions eussent des valeurs données; alors, les expressions trouvées pour ces fonctions dans le septième Livre fournissaient immédiatement les équations nécessaires à la solution des problèmes*

C'est dans ce sens que le Livre a été restitué par Halley.