Lieux et problèmes solides

Comme nous l'avons indiqué déjà, le but primitif de la théorie des sections coniques était d'établir des lieux géométriques susceptibles de conduire à la solution des questions pour lesquelles la droite et le cercle étaient devenus insuffisants : les problèmes qui se résolvent à l'aide de la droite et

^LIDBS.

LIEUX BX- I>KOBtÉMBs ^

du cercle s'appellent /^^^^^^"^'/f ^^^^^ la droite et le cercle, en tant quelie^jr J^ Zntedeï \QnXlieuœ plans. kuriG époque plus ^^^^primi supposait que ce dernier- norri est lo ^^ ^^ ^^^^gt Ton déterminait initialement les ligrn ^^ j^n; aiai cercle) comme étant situées dans un f^ j^Jed'ac telle origine, il est tout aussi vraîsenï/^/^y^/veiw dénomination de plans appartenait p^^^ond ^ blêmes qui dépendent d'équations dti ^^ ^n A? et qui, par conséquent, sont représen^^ ^5 en trique, — dans le plan, — par des rela ^^^i^rr^^^ Cela étant, la dénomination de /?r^ ^^r»^^^ s appliquerai même époque à desprC^'^^jn^^ d'équations du troisième degré, et s'e:î^Pt^-^^-^ tions entre parallélépipèdes ; quant aU^ r^^ ' signent les lieux géométriques représ^^ ^ ^ coniques, et l'on peut admettre que '^^^r^ qu'ils étaient destinés k la solution d^ '\,é^ Dès l'antiquité, pendant une époque plu^ ^ tait toutefois que la dénomination de ^^'^^ ' rieure, au contraire, et qu'elle provient de * métrique des sections coniques. ^

Malheureusement l'ouvrage d'Aristée ^^ tions coniques y étaient sans doute partie^ comme lieux géométriqixes, et nous n^ ouvrages postérieurs qui p o ur suivirent le ^ Cependant, puisque la tl\éo\-ie des seclio^^' lonius traite le même sujet à un autre peut en conclure les li&uac solides q^e ou, du moins, que Ton .t>ouAr ail trouver aï' avait lieu de les appliq- xer d^ans un problèi^ Livre d'Apollonius, on^ voi^ que cela dut ^ certaines lignes doiirkéos apparaissaieï^ comme diamètres oorijo.g\xés, et même p plus compliquées : en effet;, dans le lYiéorèi rapporte la courbe et cLoia^c diamètres non Mais le troisième Livre rxous faîtpéï^^^^ à son caractère plias ^éxxéiral et, aussi, \ lonius indique expressémorkt son but : ^^ ^

de ce Livre, perfectionnée, sans nul doute, par Tintroduction des deux branches de l'hyperbole, permet, selon Apollonius lui-même, de suppléer aux défauts de Tancienne détermination des lieux solides. A cet eifet, le lieu à trois ou quatre droites est mentionné d'une façon expresse : si x^ j-, z, u désignent les dislances d'un point à quatre droites fixes, distances mesurées sur des obliques de directions données, et que K représente une constante, le lieu à quatre droites s'exprimera par l'équation

pareillement, le lieu à trois droites est la courbe représentée

par la relation

xz = Ky^,

D'après le langage d'Apollonius, il existait certainement des démonstrations plus anciennes, mais incomplètes, permettant d'établir que ces lieux sont des sections coniques; il les supposait d'ailleurs assez bien connues de ses lecteurs pour que, sans qu'on les leur répétât, ils pussent voir comment son troisième Livre les complétait. Ce Livre comprenait donc aussi, sans doute, le complément des données sur lesquelles on appuyait antérieurement ces démonstrations, et continuait d'établir ces démonstrations mêmes; mais, ne connaissant point la détermination primitive des lieux, nous ne pouvons tirer de conclusions à ce sujet que d'après le Livre d'Apollonius.

Ce n'est guère difficile pour le lieu à trois droites : une section conique quelconque en est un, et Apollonius luimême, au cours de sa démonstration dont nous avons parlé pour la génération par des faisceaux projectifs, déduit ce fait d'un cas particulier du théorème de la puissance.

Une section conique quelconque peut être, de même, un lieu à quatre droites : cela résulte du théorème général de la puissance dans le cas où deux droites opposées, y=zo ai M = o, sont parallèles.

C'est déjà beaucoup que de posséder ces résultats. Pour le sentir encore mieux, faisons un rapprochement avec la représentation du lieu solide tel que la Géométrie analytique nous la fournit : en prenant pour origine un point du lieu, on

obtient une équation de la forme

ou bien encore

xi^ax^ l>y -^- *^> = — ^^^

et la courbe se trouve pr-éoisément reçt^ quatre droites, avec deux droites oppos Le maniement des surFaces, tel que daient, et l'introductiorx cle ooerfioxents-^

des proportions, réporxdent ^^^?\^™^f^^ des expressions du second "^^^^ '^ ,,^.

sentation actuelle d'une oocirtoe ^J^^^;^^ second degré a la mêro^ ll^'L ci«atre dr^ détermination comrae n^^"^ iietles; on p droites opposées sont. P^^^^ -pins générv ramener également le 1*5^"^ a U-O fait Apo\ La mention toute spéoi^l^^^^^^^^ ^^ ^^

fectionnement dans 1^ tT-a^ ^^ irn portai atteste suffisamment la ^^^ ^^^ ^ dnatre

réelle, que l'on prêtait ^"^^^T ^ollonius pei Un autre Ouvrage per-dn ^ ^^^xxtg^ droite cher à la question dn lion ^ ^ait^^ en effet, de la section déterrrt irv ^^ • - ^^ de po^ "^^^ *

sur une droite, la constr-notj^ ,^ême droite à deux couples de points do ^^^ ^^ec une di tangles ayant un rapport ^^ '^^^^'oction se rai de ce problème; or cetto ^^,i„t,orsection ci.ui

à la recherche des P^^"*-^ , ^^lant l^s quatre c

lieu à quatre droites, on oa

parallèles à ia droite ^^J^^^^^^r^^^-^^^'y^Z En opérant ainsi, Ij ^i,é«rèr«e^^^ j„„ , droites coïncide avec le avec ""^^^^..it thé,

fl'intPrseciion d'une cIï'****'^î i at,«re inscnt, me. d intersection d un q viad*^»' - „orte son nom.

les côtes opposes d "" ^ ^t. ci^i I^^!^^^We cont. plus tard par Desarg««-' .^^ ^"/"^deme de que le Traité de Ic^ * j^ ttx^*'*'*® parties importantes cl

Ainsi donc, suivant les suppositions que nous venons de faire, on appelait primitivement problèmes solides ceux qui dépendaient d'équations du troisième degré et que Ton représentait stéréométriquement : cette dénomination s'attacha plus tard à la solution par sections coniques, et Ton en vint à embrasser aussi sous ce nom des problèmes qui, exprimés analytiquement, eussent dépendu d'équations du quatrième degré.

Le problème solide le plus simple est relatif à l'équation cubique pure; nous en avons déjà pris connaissance à propos de la multiplication du cube, et nous pûmes voir, en même temps, comment l'usage des sections coniques était primitivement lié à la solution de cette question. D'autres exemples de problèmes de cette nature se présentèrent à notre attention dans la trisection de l'angle, ou dans les intercalations auxquelles se ramène cette trisection, et nous avons dit qu'Archimède, dans son Traité des spirales, fait encore différemment usage de ces mêmes intercalations : Pappus nous renseigne en effet sur la façon dont on les effectuait au moyen des sections coniques.

Mais, parmi tous les exemples que nous ayons des meilleurs jours de la Mathématique grecque, les plus importants pour la solution des problèmes solides à l'aide des sections coniques se trouvent, d'abord dans le traitement de l'équation à laquelle Archimède ramène sa division de la sphère {cf, p. i53), solution qui nous est parvenue, puis dans la construction des normales, issues d'un point, à une section conique, au cinquième Livre d'Apollonius; et ce qui rend ces solutions particulièrement intéressantes, c'est le soin avec lequel sont expliquées les conditions de possibilité, tout comme le souci pris de la discussion du nombre de solutions dans les divers cas que Ton peut obtenir en attribuant différentes valeurs aux quantités données. 11 ressort alors clairement que la construction par les sections coniques n'est pas tant un moyen, très insuffisant d'ailleurs, de déterminer les grandeurs cherchées que, bien plutôt, un excellent procédé théorique pour s'enquérir des cas où elles existent — conformément à ce que nous avons déjà dit à propos du but de la construction géométrique chez les Grecs.

Les déterminations rfe m^j^ima et r ains, pourJes c«««tieés ci o« « ees co4 dimporlants tti^oremes ër^ozxiétrigue/n pilaldeJ'in^estis-aï^ion. ^^

Nous avons vu Cr>. :i:^i3> <ïu 'Ar-c/ii/wède r. de la sphère à 1 'eq^cia tioni ^

où D, B, T, Z sofiftt. ci^2S i^oixïts connus, et v sur une droi to. JZ^sixis JL^ mstnuscrii consety

déjà parlé ^t. of^ji ^sf: p^Gut^être d'Arc/

pour former u r:» si j3p>^xiciîce à son deuj^i

sphère et le c^^liinieli^^, ce problème esi

nière qui se pout. ^-^jràdrG comiriG suit : éc|,

souslaforme — ^ -» puis égalons cesi

dans lequel^ est. un s^s^mGrit quelconque; être déterminées <30«3xxio coordonnées d^J^

tiondelaparal3olo ^:t7^ == "^J^' ^vgc l'hyper]^^

Dans les appliosit^ions à ia division dQ stanles que nous st^ons d^si criées ici par ^ et il s^agit de déter-miner une vaie^^

o<^<^a, car XI doit tomber entre h ^ diamètre de la sphèi-e, X>B = 3 l>Z;n3aisi3

Ton obtient pour IScii^^tion^^csiusedes^ qui peuvent être attr-îl:>«^^s à Z, h T ou bien ; comprend toutes les ^a"^^'^"^ ^o la for^

et le problème peut se poser de teHe s

racines soient «^^^^P^^^'j^' «xemp/e très Nous avons donc ia «" »;

qui concerne notre empJ<^* -^JL*^,- ^

^, ^'"c ' ,^ 1-, representat/on fî

bien une lacune que Ja rc^i^ u g

cependant moins sensîJ^ie.

l8o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

En quoi vont désormais consister les conditions limites dans les divers problèmes? d'une part, le point X tombe ou non sur l'intervalle exigé par le problème proposé; mais, ce qui demeure capital dans toutes ces questions, c'est de reconnaître les cas limites où les sections coniques sont tangentes, cas où, par conséquent, deux racines coïncident, car c'est par là que se fait la transition entre les cas où ces deux racines sont réelles et où, selon la conception alors en vigueur, elles pouvaient exister ou non.

Le fragment conservé indique que ce cas de transition a

lieu si ^7 = -^ a; par conséquent si b^c=z — a^ Au contraire.

SI a?^^a, on aura b-c<, — a% condition correspondant à

deux solutions.

La démonstration est facile grâce aux théorèmes sur les tangentes aux sections coniques : en effet, si la tangente de la parabole est elle-même en contact, au point P, avec l'hy-

Fig. 24.

perbole ayant pour asymptotes les droites y = o et xz=zci, P sera le milieu de la portion de tangente que sectionnent les asymptotes; et, de plus, le point S, intersection de la tangente avec l'axe des abscisses qui est tangent au sommet de la parabole, sera le milieu de la distance qui existe entre le point P et l'intersection de cette tangente avec l'axe des ordonnées. 11 en résulte que DQ, abscisse de P, est égale

à|DZ.