LIEUX ET PROBLÈMES SOI

En particulier, comme le dit Archin possibilité

est efifectivement remplie dans le cas o la sphère, le point B tombe en Q, et n'obtient pourtant qu'une seule solul tomberaient de différents côtés par ra problème spécial dont s'occupe Archin liser que celui qui tombe sur DB.

Archimède ramène donc son problèn sphère à une équation cubique de forna qu'on l'a déjà remarqué (p. i53), cette é ment une démonstration pour le demie:

Livre sur la sphère et le cylindre; elle trc cation dans quelques questions, posée mède, sur la détermination de segment perboloïdes de volume donné.

En revanche, la détermination des r nius est un type des problèmes que Te

Fig. 25.

au moyen des sections coniques, sans a\ équation. Nous nous contenterons d'en en langage algébrique moderne •. soier de la normale en un point M (,a?, y^ d'\ G le point d'intersection, de cette notiv cipal, N la projection de M suv \e ïï prendrons pour axe des al>sc\sses; pour

l82 LES HATHÉMATIQDES GRECQUES.

coup les cas particuliers traités par Apollonius, nouspouvon s écrire avec les signes actuels,

y NG

— /i ^i — ^ — NG

NG est la quantité dite maintenant sous-normale, et elle équivaut à p dans la parabole; ainsi l'équation trouvée se change en

xy — {œi — p) y — y^p = o.

Pour Tellipse et l'hyperbole, la sous-normale est respeclivement égale à =p -j^, en prenant le centre pour origine, et l'équation s'écrira

Dans les deux cas, (^i, /i) étant donné, le point (^, j) sera situé sur une hyperbole : les points d'intersection entre celle hyperbole et la courbe donnée seront les pieds des normales issues du point (a^i, y^),

Apollonius emploie précisément cette détermination pou r rechercher en détail combien on peut mener de normales à partir des différents points du plan et, dans la discussion de cette question, l'objet essentiel est de déterminer les points {^\y fi) dont les hyperboles correspondantes soient tangentes à la courbe donnée : le lieu de ces points constitue, en effet, la transition entre deux régions du plan telles que, des points de l'une, on puisse mener deux normales de plus que des points de l'autre. Et, en cherchant les conditions d'un pareil contact, Apollonius trouve comment on peut déterminer l'ordonnée d'un point de ce lieu, connaissant son abscisse.

La courbe est celle que l'on nomme aujourd'hui la ofeVeloppée de la section conique; mais, ni dans Apollonius, ni chez les Anciens en général, il n'est question d'aucune étude plus spéciale sur ce sujet, autre que celle que nous venons d'indiquer.

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l84 LES MATHÉMATIQUBS GRECQUES.

restreint de la Géométrie, el Héron se contente d'un médiocre degré de précision pour ses calculs : ces indications montrent bien que, en fait, on a raison d*estimer assez peu ce côté de la Mathématique grecque.

Cette entrave dans l'application aux calculs réels, pendant les meilleurs jours de la Géométrie grecque, ne tenait pas exclusivement à ce manque d'aptitude pour le calcul dont nous avons déjà parlé (p. 46-5i) : les résultats mêmes de cette Géométrie n'étaient pas précisément appropriés à semblable usage. Les problèmes se résolvent, en effet, sous forme de constructions : celles-ci, sans doute, peuvent souvent se transformer en calcul, comme cela se faisait certainement longtemps avant Héron; cependant il existe, même en se limitant à la Géométrie élémentaire, tout un domaine important où cette transformation n'est pas réalisable, à savoir celui où les quantités que Ton doit déterminer les unes par les autres ne sont plus simplement des segments, des surfaces et des volumes, mais bien aussi des angles.

En d'autres termes, aux plus beaux jours de l'époque alexandrine, les Grecs ne possédaient point encore de Trigonométrie; les grands géomètres et astronomes de cette époque devaient seulement commencer à combler celte lacune.

Avant que cela n'eût lieu, on n'était pourtant point tout à fait incapable des recherches que l'on fait aujourd'hui par la voie trigonométrique : les théorèmes 12 et 1 3 du second Livre des Éléments d'Euclide en sont là preuve, puisqu'ils expriment la même chose que la formule

a* = 6* 4- c* — ibc cos A,

et la peuvent remplacer dans toutes les questions générales pour lesquelles l'angle A n'est, ni donné, ni cherché en mesure d'angle. Comment saisissait-on la connexité entre la grandeur des angles et le rapport des segments? on le voit aux propositions des Data d'Euclide disant qu'un triangle est donné, selon sa forme, sous certaines conditions : d'après la proposition 80 de ce Livre, c'est le cas, par exemple, pour un triangle dont on donne un angle, ainsi que le rapport entre le rectangle des côtés qui le comprennent et le carré du côté

apposé ^ ,„ ®*0«TJ|/B „,,„

"'^ ^^'és siVr-^ angles d ''''"•

Du rest ' , ^'«'"«'nenf T **" ""'"angle et 1

^'^'co; n„^f .de cette oatn '^^ «Ocorp!

P^'-eWe 're/J' '^PPort L''''^ "o « Jl^ ^»^ '^" «^'és ^i'''^' '^««' on f ^^9»«s a^; ^^

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^''"^lion J"""^s '^ pour ^Gs déd,,^^^^^'' ^PP^^

i86 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

grandeur du Soleil et de la Lune : pour cette recherche qui nous a été transmise, et que d'autres, Eudoxe notsunixient, avaient préparée avant Aristarque, on se sert du rayon de l'ombre terrestre pour la distance de la Lune h. la Terre — rayon dont on calcule le rapport à celui de la Liine par la durée de l'éclipsé — et de la distance angulaire entre le Soleil et la Lune au moment où cette dernière a exacte iTient une moitié éclairée. Pour le reste, on opère selon la théorie des proportions, sur les rapportsdesdistanceset des rayoj^s, tandis que Ton trouve le dernier angle en mesure d'angle : son complément est évalué par Aristarque à 3°, d'où il déduit que la distance du Soleil est 19 fois aussi grande que celle de la Lune ce qui revientà admettre, dans notre langage tri go nométriciue

• In ^

sin o°=z — .

Pour y parvenir, Aristarque utilise un leiTime Qui trîgonométriquement, s'exprime de la manière suivante

l'angle croissant deoà -5 le rapport -: — ^grandira, et ^

tang

diminuera. Il considère ce théorème comme connu ^* ^^,,

'^■-■*A*j., ei, nous

en voyons sans difficulté la liaison avec des recherches anf ^

rieures dont il rend le sens encore plus clair : — - ^^ B

^'«^ ^ tan^Ô

sont en effet proportionnels au rayon vecteur et à l'ah*^ "

de la quadratrice {cf. p. 62), de sorte que les résultat • '

se rattachaient naturellement -à l'étude de celte coiirH^ ^^

En outre, le calcul des côtés des polygones réguliers a *• r •

connaître les valeurs sin ^= -> tangô= -:=—-— ^ , .

62 ^8 sf^.^ ^ * ou hîen

encore tang^< — ? — en tenant compte de l'inégalité / — 7

d'où l'on déduit, pour la détermination de sin 3» oii sî '^

sin^> — smTT = — et sin ^- < tang ^— ^cr -2 ^ t

d'où, approximativement, sin3°=r — •

GÉOMÉTRIE CALCULANTE.

Grâce à la double inégalité

sin0<0<tanS® que les Grecs expriment de lan^anièresuiva^^^ d'un polygone inscrit est plus petit et ^^1^^^^^ conscrit est plus grand que la ^^^^^^^^^ ^^{n même procédé peut s'appliquer à une déie

mative de tt. On a ainsi

de c On savait déjà faire des déterminalioï^^ ^^^

temps d'Antîphon et de Bryson (p. ^^'^^ n^\s, sanl leurs fautes, on fut à même, ^^^^ .^g^Vi de même, à Tépoque d*Euclide, ou poss® ^^ moyens géométriques permettant d'avvVv^ ^^ précision, moyens qui consistaient daw^ ^ mètres de polygones réguliers ayant u^ ^ ^^ de côtés. A la vérité, Euclide représente ^ ^ quelle, l'irrationalité des côtés c\e po\ï?>^ ^ ceux que Ton applique à la conslrnctiou ^^ liers, et il ne nous indique n\i.\leTï\ent à^"^^ • que l'on pouvait faire dans co genve*, vîv*^^ bable que l'on ne s'était point. \]Lr\\ç\netn^^^ en question. On peut pareillomont, conc\vv^^\ l'emploi que fait Aristarquie dvx oC^lé de V^^

circonscrit ( 2 lang ^ j •

Mais, pour faire un vérltatblo xxsaige dest^*^ triques dont on disposait, soit. y3o\xr \xne ^^ exacte de tt, soit pour \ji.xxô aix>i>\icalvow V mesures d'angles, il faiiatit, c^'stl^orcA c\ne ^^ sentir et, ensuite, il fallatlt slIot-s \xne gxa^^ .mener jusqu'au bout un oaL\o.vx\ oxx \\ y ava\^ rentes racines carrées i ot* ci^ lo^^soin se ùt ^^ après la détermination p>l\3.s y>'^^^^s^ ^^ Yo\^^ tique par Ératosthène, et. datrxs sat nrkesnre d'v^^ dien. Dans cette dernlèx-o quiost.ion, poiiv ^\ rence de hauteur du pôle et. Tat a.is^aTlce o

l88 L£S MATHÉMATIQUES GRECQUES.

longitudes presque égales au calcul du diamètre terrestre, il fallait avoir une assez bonne expression de tt : c'est Archimède, dans sa Mesure du cercle, qui devait vaincre les difficultés de ce calcul; aussi allons-nous donner brièvement ici le contenu de son Ouvrage, bien que celui-ci ne nous fournisse malheureusement aucun éclaircissement direct sur la façon dont il surmonta la plus grande de toutes les difficultés en question, à savoir la détermination des racines carrées.

Archimède commence par montrer, au moyen de la démonstration par exhaustion, que la surface du cercle est la même que celle d'un triangle qui aurait la périphérie pour base et le rayon pour hauteur : la quadrature du cercle est ainsi ramenée au calcul de la circonférence. Il démontre alors que le rapport de cette circonférence au diamètre, c'està-dire le nombre que nous appelons tt, est plus petit

que 3 - et plus grand que 3 — : en effet, le périmètre du 7 7'