gone inscrit est plus grand que 3 12^, et le périmètre
du 96-gone circonscrit est plus petit que 3 -t/, en désignant
par d le diamètre du cercle.
Archimède parvient à ce résultat en déterminant les rapports entre les côtés d'un triangle rectangle ayant un angle de
( -.2? h à l'aide des rapports entre les côtés d'un triangle rectangle possédant un angle x. S'il cherche alors une limite supérieure pour la circonférence, il donne aux triangles
d'angles ;r et - ;r un côté commun adjacent à ces angles, tandis
que, si c'est la limite inférieure qu'il désire obtenir, il donne au contraire l'hypoténuse commune à ces triangles; mais, dans les deux cas, avec notre langage trigonométrique moderne on peut rendre la relation trouvée entre les rapports par
I ^mx ( tanff^ tang-^= ou
2 I -h cos X \ sec X -h 1
Cependant cette conformité n'apparaît point dans l'applicalion : en effet, dans l'une des recherches, on se sert des
CrËOMÉTRIE CAI-^
limites supéâ'io cartes pour lesracir»^ lieu la traiTâsitîon ^i^tro les rapp^^ même triang-le r*ectangle (sin*-^ "^ dans Tautro c^si.s, ori e^mploie les 1*^ qui sont exiprincié^s par* des valei^ ment form é o s -
Partant d'uri trîang-Io rectangle <i
sieurs reprises à. de nouveaux trî^ suivant nos notations, cjue
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avec
♦ 1 • ♦ ':»iv^«%t sixix limites do -tt^ ^"® /)^
et il parvient air^s* «a^^^ /i^^
'rSce u^«^"r"L' ror«ï>oe parle tr«-a//,.
,s peut '""V;^ .il convientd'attrièoe/ i>r.
c'estpeut-êtrea 1"^^^ ^^.^„ que l'or» tro«veV^ v,
c'est le degré *^^ f <j'ai-c de Ptolémée et ^1^ Pi les Tables de cordes a «* ^^e« j
indiens. ot»iï»^**^ renferme, en fait
L'Ouvrage d'^^ron*"--^ ^ "^' ^^ei,
^,-„ures de sin - et des limites des limites inférieure; « es s^^^
„ G, ï3, ^^' ^^' 9^ ■" "^^ dernier r
tang- pour ^ "» ^ fo
" - mare utilisable de sin -2L
une limite sup^»'*^ i 96' «t
^»^e <ï«« * *^" ! ® en servir
d'Aristarque rnorxii ^ ^^ par Apollonius, di,»
La détermina*»*'" oré^.ise encore du «^«^ d* "
une évaluation P*"^„t les valeurs, mises en Tablt.^ ou de la quantité 'i*^ plus récents astronomes l" été transmises P»"^^ cc^r-d^ «i^ ^ ^''*' ciouble. Pour . voulons parlei' de '^ coraes aux muliip,es de ce , Table complète des ^^^ <!**« ^^ connaître le x\xi
n'est besoin do r
les quadrilatères inscrits, dit aujourd'hui théorème de Pto^ lémée, parce que celui-ci en fait expressément usage pour le calcul de sa Table de cordes — ou bien encore tout autre théorème applicable de la même manière. Un tel théorème put être facilement trouvé au temps d*Archiinède et d'Apollonius et, après eux, dans le moment où le besoin réel d'une Table de cordes se faisait sentir; mais la plus grosse difficulté fut certainement de mener à bien les calculs nécessaires de racines carrées. Or cette difficulté fut précisément cause qu'on améliora «ûfAoc les méthodes employées : comme nous l'avons dit précédemment (p. 5o), ce progrès fut connexe à l'introduction des fractions sexagésimales.
La première Table de cordes d'arc, pour laquelle nous ayons un témoignage certain, date du deuxième siècle avant notre ère et fut dressée par le grand astronome Hinna » elle fut perdue, d'ailleurs, ainsi qu'une autre Table * ' ancienne de Ménélas. En revanche, la Table de cordp trouve dans la 5//i^a^e de Ptolémée nous a été t^ '-^^
et procède par intervalles d'un demi-degré iusn ** "^ise de i8o°; fondée sur celles qui l'avaient précédé ^^ ^*^
avoir été plus complète qu'elles et présenté une } ^ exactitude : et puisque le 5mw5^ est la moitié de la "^ S'^ande double, cette Table joue donc le même rôle qn' ^ larc
sinus d'arcs allant jusqu'à go® par intervalles H* ^ ^^t>le de degré. Le diamètre du cercle est supposé égal à ^ ^^^rt de
sont exprimées d'après le système sexagésii^jg^i ^ * ^^ bordes nutes et secondes, c'est-à-dire, comme dans la ^'^^i^rs, mj.
"Mesure
encore
usuelle des angles, en fractions ayant pou^ . , ^^re e 60 et 60*; le rapport des cordes au diamètre esi "^^^^"^s^leur en fractions ayant pour dénominateur 43^ ^onc indini emploi dans l'interpolation, sont adjoints l^g ^' ^Oui» 1 différences entre les cordes consécutives, tren^•^^^^^^^les h '^ respondent aux différences d'arc d'une mirmi ^"^^S q^• ^^ Pour calculer cette Table, Ptolémée uiii-' ^^^"
ment le théorème sur le quadrilatère inscrii . ^^ PHn * ployer pour calculer directement la corde* ^'^ P^ui ^^^^* ou de la différence de deux arcs : par là ^ la ^rti-
rème pourrait servir pour obtenir aussi j^ ^^ï^e ^ ^^^Çi la corde de l'arc double, ou moitié, mais Ji^^t^^e^ ^^éo
tléd
cette dernière expression d'une co équivaut à notre formule sin — =
En partant des cordes connues on P^^l^^ voie à calculer celles de i«3o' et de ^^^ // cordes, on calcule ensuite celle de Vstr^ ^^ ^' d'interpolation qui repose sur ce que le r^PP?^ et l'arc diminue si l'arc aug-mente, c'est-^" ^^^
corde o°45' corde i« <^?£^-^A
Ptolémée indique une jolie démonstraU^^ géométrique employé ici, et Qu'utilisait a^^^î ^ fois trouvée la corde de l'arc de i*^, le ibéoreim sert au calcul successif de toutes les autr^^ ^^
Et puisqu'une Table de cordes joue le ïï^êi Table de sinus, on peut, si l'on veut, avec Ci théorème de Pythagore, déterminer tout é\e angle) d'un triangle rectangle plan au moyen éléments, dont un côté; de la sorte, quoique \ assez pénibles, il est possible d'olilemr \es que comporte laTrigonom étrie plane, lly a» ^'* différents exemples de sennt^lables déternA^^* importait surtout aux astro no i-i:i es <3e pouvoVr ^' de Trigonométrie sphéricfue, et, pour cela, i^ sable, avant tout, d'avoir une Géométrie sp\^é\
Dans les applications des Tables de cordes, usage d'une détermination de d.euit arcs, ^ et , leur somme et le rapport de leurs cordes : ^i géométriquement, et elle correspond à notre!
I, ^ sin ^ sio.r ^o^<.i(
tang-(^-jK)= ilTx ^ -^ sinj^ ^^
Seulement, comme il no ^^^^^^^^^^^^édu^e non seulement il est néoessaire d y re
membre, mais, aussi, il Ta ut, ^^^V^'^^ ^^Ve c d'un triangle rectangle^ ^ ' ' V^^ "l'^Su'de détert côtés, comme chaque fois qu i» » **&
par sa tangente.
