Géométrie sphérique

En fait de Géométrie sphérique, nous n'avons que le théorèrae sur le rapport entre les volumes de sphères dans les Eléments d'Euclide.

Cependant les Grecs s'étaient occupés déjà de cette question pour l'Astronomie ; au théorème mentionné chez Ëuclide, Archimède ajouta, il est vrai, la détermination exacte de la surface et du volume de la sphère, mais les astronomes ne pouvaient encore en rester là : il leur fallait, notamment, des moyens pour caractériser la position de points sur la sphère, d'étoiles au ciel, de lieux sur la terre.

Ils y parviennent en rapportant tout à un grand cercle, considéré comme connu d'une façon ou d'une autre, à l'horizon, l'équateur ou l'écliptique pour le ciel, à l'équateur sur la terre, et ce moyen ne diffère guère de l'emploi actuel des coordonnées sphériques ordinaires; tel est du moins le procédé qu'emploie Ératosthène lorsque, pour déterminer la grandeur de la Terre, il mesure l'éloignement entre deux lieux de même longitude et dont on connaît la différence de latitude; toutefois les désignations de longitude et de latitude ne se trouvent que dans la Géographie de Ptolémée. Au reste, nous pouvons rappeler ici que la division de la sphère, uti- Usée au douzième Livre des Eléments par Euclide (cf. p. i40> répond exactement à une division par de telles coordonnées.

On peut réaliser une application plus ou moins directe des coordonnées sphériques pour figurer les points célestes, ou terrestres, sur une sphère faite au tour : c'est, en tous cas, ce qui fut sûrement effectué pour les points célestes.

Grâce au développement élevé qu'ils avaient imprimé à la Géométrie, les Grecs étaient encore en état de résoudre des problèmes plus difficiles, comme ceux qui s'offrent quand on veut représenter convenablement une sphère sur un plan, et ils obtinrent même différentes applications de la projection stéréographique, représentation importante et intéressante au point de vue géométrique. Cette projection consiste, comme on le sait, en une projection centrale de la sphère, à partir d'un point fixe de celle-ci, sur le grand cercle qui a pour pôle le point fixe : elle se distingue essentiellement

•*^IE SPflJÈRiQtJ

par ces Mis que, ^^i^^^JJ^e cercle U

projeté sur Ve P^^j;,^„deuxl "'^ ''''^' conservent leurs gi»"' ^ï*s.

On sait, d'ailleurs, par les applicatif

qui nous sont conservées, que Jes G

moins la première de ces propriété

étroite avec la théorie des deux systè

iaires sur un cône oblique : on trouve

des sections cycliques chez Archimède.

loppe encore bien davantage la théorie

d'un même cône.

La projection stéréographique peu

comme un fruit indirect des théories

lonius. Elle fut appliquée, au temps d

reil qui servait à la détermination du

d'après la hauteur, à un instant d.

connue. Pour cela, on employait de

des projections d'étoiles connues, l's

l'horizon et de cercles horizontaux —

projetées à partir du pôle sud du ciel

plement de tourner l'un des disque

pôle nord, de telle sorte que l'étoile

sur le cercle horizontal correspondla.]

On trouve également une autre a

jection dans la Géographie de Ptolér

A côté de cette projection, d'une \

il en existait encore une plus simpl

gonale des astres sur le plan horizon

et le premier plan vertical. Un peti

qui nous est conservé sous le nom

connaître les constructions qui se r:

(le coordonnées rectangulaires pou

qui sont d'ailleurs semblables aixx o

descriptive; il nous en montre au. s

(*) Le même appareil (astrolabe plan isplierc

l'heure pendant le jour, en observant la l:xa.u.t<

connaître, par une Table, le degré du zod.ia.<iu

ment est resté en usage jusqu'à l'invention, de

194 l'Es MATHÉMATIQUES GRECQUES.

tîonSy soit au calcul trigonométriquey soit à des déterminations mécaniques.

Pour mieux comprendre encore la nature de ces applications, nous allons en considérer un cas particulièrement simple, celui dans lequel il s*agit de trouver la hauteur h et Tazimut w du soleil à Téquateur, étant données la hauteur du pôle, <p, et l'heure, v\ avec les Grecs, nous compterons celle-ci à partir du lever du soleil.

Dans ces conditions, soient ZHZ'H' le cercle méridien, ZOZ' Taxe vertical, POP' l'axe du monde, HOH' et EOEMes

Fig. 26.

traces de l'horizon et de l'équateur : l'arc HP ou ZE a donc la valeur donnée 9. Rabattons alors l'équateur sur le plan du méridien autour de sa trace EE' : si le soleil prend la position S, l'arc PS est égal à l'heure connue, v, ce qui sert à déterminer le point S; la projection S,, de S sur EE\ sera la projection du soleil sur le plan du méridien, et la droite horizontale SiU, issue de Si, rencontrera le méridien en un point S2, tel que H'Sg devienne égale à la hauteur cherchée /«, En prenant pour unité le rayon du cercle méridien, nous voyons par celte construction que

sin /i = OU rrz OSi cos cp = NS cos cp =r sinu coscp.

Ptolémée en tire la même conclusion que nous : toutefois, de légères modifications résultent de ce qu'il fait usage d'une Table des cordes, et qu'il en considère les rapports au dia-

mèlre du cercle. D'autre part,, S ^ S ^t.SL\ représentatif du soleil au pla.i-x c3.ui xïrx^rl mutco, ou l'angle que fait slat^o. \ei xxx^x passant par le soleil, est dét,orrrxirxé p>siT