Décadence de la Géométrie grecque

Le développement de la Géométrie calculante que nous venons de suivre, chez les Grecs, continua quelque temps après répoque où la Géométrie grecque atteignit, par ailleurs, son apogée; en effet, dans les recherches géométriques, ou purement mathématiques sous forme géométrique, études plus abstraites et que les Grecs poussèrent particulièrement loin, nous n'avons plus à signaler aucun progrès de quelque importance après Apollonius. Non sans doute qu'il faille entendre par là que l'activité mathématique eût cessé aussitôt après lui : les bases jetées étaient si fermes, les méthodes en usage étaient si fécondes que, tant que les circonstances le permirent, il dut être facile aux disciples des grands mathématiciens de continuer l'œuvre dans les directions abordées. — C'est aussi ce qui arriva. Mais cette voie, faisant suite aux recherches plus simples des maîtres, ne pouvait dès lors embrasser que des questions plus spéciales et moins accessibles à tous : on s'explique alors fort bien qu'elle n'ait pas éveillé désormais un intérêt aussi grand, pendant une période de décadence, et qu'elle n'ait pas trouvé autant d'intelligences ouvertes qu'avaient pu le faire les études moins compliquées qui lui servaient de fondement.

C'est pourquoi nous en connaissons fort peu de résultats.

Effectivement, nous n'avons que des renseignements isolés sur les travaux géométriques des successeurs ou des contemporains des grands géomètres.

DÉCADENCE DE LA GÉOMÉt^^ ^'^

Ainsi, nous avons déjà parlé (p. 6^^ ^^ ^ Conchoide, ,

On nous rapporte de Persée qu'il ft.1 àe^^^^ courbes dites spiriques : on admel c\vie ^^^ lions (*) de la surface formée pav \a toV^VU autour d*un axe situé dans son plaTi (^loreV^^"^ avons indirectement rencontré un cais spée\^ L'une de ces courbes fut peut-être anléY\exvc par Eudoxe, lorsqu'il emploie une oonrY^e ai^^^ pour la représentation des orbites six^patTenVes v. du nœud de leur orbite : on a svax>posé c\ue e nous nommons aujourd'hui le/rtn.£sccx.tG C"^*

La cissoïde de Dioclès est bien connxxe de noi constitue un exemple utile poiaT* l'sit>ç>lleat.ion d rentiel et intégral à la Géométrie ; ci'siillenTS, v redevable au même auteur d'une nLOxavelle solul tion cubique d'Archimède, k l'aide cies secti

En suivant la route frayée par les cliox-ismes de. géomètres, Zénodore compara les su-x-faces de p ont même périmètre : il aboutit à ce t^héorème ; possède la plus grande surface i>ax-rrii t^ontes le même périmètre, il démontrait la même propi sphère, dans l'espace, et, du reste, nous eilmes^cl d'indiquer une telle proposition. ol:i.^z: A^rcni ^

Quant aux plus importants des x-ésultats ou pus, parmi ceux que Ton ne saurai ■:- a^*-^ ^ ^

géomètres, il faut sûrement los x>\^c.€^r- a ^ diatement postérieure à celle de ^*:^=> *=> , ^ tard, d'autres propriétés purent se faire jo*^* * l sitl:iéi^^^^ passagères pendant lesquelles l'espï'i \%jL\-mGt\

mait : aussi bien Pappus s'attnn^J ^ duelque

résultats, et nous allons en m^^^^*^^^ /=c^ ^ trouv<

Outre la surface spirale plane ^ ir'

otation

(•) Probablement par un plan parallèle ^^^.^^-tiorr de Schiap^ [-) Lcmmiscate sphérique. D'après^ la re® ^'un cylin^**® ^"^

d'Eudoxe est l'intersection d'une spl^^èro e intérieurement. (T.)

mède, on détermina des surfaces limitées par des spirales et qui sont, d*une manière correspondante, représentées sur la sphère : cette détermination reposait sur le calcul d'Archimède pour la surface sphérique.

La projection de la section d'une surface de vis à filet carrée par un plan contenant une génératrice, projection faite sur un plan perpendiculaire à Taxe de la surface, est une quctdratrice.

Pappus s'attribue enfin l'important théorème général suivant :

Le volume du solide engendré par une aire plane, tournant autour d'une droite de son plan, est égal au produit de cette^ surface par le chemin parcouru par son centre de gravité durant la révolution.

Du reste, cette propriété prit plus tard le nom de règle de^ Guldin, d'après le nom de celui qui devait la retrouver; elle ne diffère pas sensiblement de la représentation géométrique qui était appliquée déjà, au temps d'Archimède, aux intégrations nécessaires pour déterminer le centre de gravité — mais Pappus a toutefois un réel mérite pour l'avoir énoncée d'une façon générale.

On trouve encore, chez ce mathématicien, une extension du lieu à quatre droites (c/. p. 176). Il définit, en effet, une certaine courbe par la propriété que voici : le rapport entre les produits des distances d'un point de la courbe à deux groupes de droites données en nombre arbitraire possède une valeur connue ; — conformément au cinquième Livre d'Euclide, le rapport de ces produits est alors représenté comme étant un rapport composé (c/. p. 120), et si Pappus n'indique aucune propriété de la courbe qui résulte de cette définition, il y eut là néanmoins un point de départ important pour la Géométrie analytique de Descartes.

Quelque intéressants que puissent être plusieurs des résultats que nous signalons ici, une circonstance exprime bien, cependant, que l'intervalle de temps écoulé entre Apollonius et Pappus ne devait entraîner, en Géométrie, aucun progrès sérieux et durable : c'est que, en dehors des renseignements nombreux et importants sur les travaux des anciens mathé-

DÉCADENCE I>12 LJL GÉOim^ -MT^i

maticiens, renseignements dont n ^ *^^ ^ ment servi, il n> a i-ien à signale?*'^ ^^ comme théorèmes véritciblement vxcyv^^^^/ étonnant que ces cinq cents années &i^^ sidérablement la science et l'i ntelii^^^'^'^ matiques du passé : on s'en aperçoit ^^ ment, aux lemmes multiples que Von ^^ aux Ouvrages anciens, et que Pappus ^'^' cette période; ils donnent, en effet, p^^/ explication méticuleuse qui fait ressorti avait su garder la compréliension de T^^' Et si, maintenant, on se demande coïïi^ dence fut possible pour nne science auss richement développée que la Géomélrieg»

sans doute, d'en attribuer- la. cause ^^ stances extérieures que nous indiquions historique. Encore n'est-il point là d'e%, comme nous en pouvons juger selon i d'écrits anciens avaient été conservés*, ç l'esprit mathématique perdu eût pu. être a l'évolution interrompue. U n*en fut rien et tiquité : il fallut, chez les A^rabes, puis che temps modernes, que l'on a.pportât a antiques une originalité tou-te fraîcYie, dans de nouvelles directions, ava.nt de i^ parfaitement la substance de ces recYiercl La raison de cette déca.denoe, comme dt d'une résurrection, il la faut, alors cliercb que présentaient les écrits des anciens de en possession; sans dou-te nous les avoi sant, mais, une fois encore, il est, utile de 1 sous les yeux. . ,

Un.premier défaut tient, pï-ooisément a excite notre plus grande admiration :

naire que l'on avait dl'as s uï-er une ^^"^^

quable, par des formes P^^^^^^J^ ^ccu conséquence immédiate d-e cette p ^^^ tout ce qui eût pu faciliter 1 ^*^^^, ^^^ c mettre l'aperçu d'un siirr^pl^ coup

le but de chaque opération. Longtemps, sans doute^ Tintelligence de ce que recelaient ces formes, sous leur précision, se maintint jusqu'à un certain point : on apprit même à les imiter en partie ; mais, en y dépensant toute son énergie, sans embrasser Tensemble par une compréhension plus générale, on en restait fatalement à s'intéresser à ces formes et à s'approprier le plus simple de leur contenu, tandis que, d'un autre côté, l'admiration de ces formes mêmes prêtait à ce qu'elles exprimaient un tel caractère de perfection que cela dut décourager des travaux personnels. Au début, du moins, les résultats de ces travaux n'eussent effectivement revêtu qu'une forme infiniment moins parfaite.

Un autre inconvénient tenait à la forme géométrique qu'avaient affectée l'Algèbre et la science des grandeurs, en général, pour l'exécution d'opérations algébriques. Assurément cette forme géométrique ne le cédait, ni en clarté, ni en commodité pratique, au langage algébrique moderne, autant qu'un lecteur moderne pourrait peut-être le supposer : quiconque est familiarisé avec ce genre de représentation, et connaît la signification des figures, peut les transposer pour opérer avec elles, aussi facilement que l'on transpose et que l'on assemble aujourd'hui les expressions littérales; il peut, en outre, en montrant ces figures, faire comprendre oralement à ses élèves les opérations effectuées. Et, en temps de paix, aussi longtemps que l'enseignement verbal se développait à Alexandrie, il en résulta que l'intelligence mathématique put parfaitement se maintenir; mais, sitôt que la paix eut été troublée, et que se perdit la tradition conservée par cet enseignement, on n'eut plus alors d'autre recours que l'étude d'Ouvrages méticuleusement élaborés — et l'on régressa fatalement d'une manière sensible. Car la représentation géométrique de l'Algèbre est d'une lecture difficile, ce que l'on conçoit parfaitement en songeant que le texte et la figure interviennent chacun pour soi et que, de la sorte, il les faut étudier en allant sans cesse de l'un à l'autre.

A ces défauts, concernant principalement la forme, s'en ajoutait encore un autre que nous eûmes souvent Toccasion de mentionner déjà et qui, lui, est réellement relatif au fond même : les mathématiciens grecs avaient une

ARITHMÉTIQUE GRECQUE PJLUS H ^^^ ^TJ^ ^^ '^

^i haute idée de leur dig-nito scienti/î^^^ ff' leurs œuvres classiques tout ce qui n^ I^^^^ faitemenl rigoureux. En conséqueno^^ ^^^' vu à propos derextraction de Jaraoi«^ ^^r' calculs numériques, qui ne peuvent z-^^^"^' qu'une approximation, étaient écartés^ ^ science moins estimée, la logistique/ ^^ ^' même coup les applications pratiques ^^ ^ tard, quand on en vint à moins considé^^^ science en elle-même, ces résultats eussent p( des impulsions nouvelles aux mathémali^i^'^^' le goût scientifique. .

Cette négligence des Mathématiques apP^*^ traîner des conséquences nuisibles : elles ap nettement en les mettant vis-a-vis des conséc geuses qui, pour certaines branches, aUaVent méthode opposée. Nous venons de voir, en ef^ métrie calculante dut son développement^ ^^^^ cations à TAstronomie, cependant que tout s' par ailleurs et, en même teiT:âps, ce dé\eVoppet\ permit de réaliser d'importants progrès dans V calculs pratiques: il s'ensuivit une connaissancv nombres, qui contribua certainement à porter aussi loin que nous là vo^'ons poussée chex Dv ^-dire bien au delà du point atteint par les tï. ^recs antérieurs.