Arithmétique grecciixe plus récente

Nous avons déjà renoorxtréî, dans les L^v (Livres 7-9), Je fondement soientiflciue général Uque grecque : sans doute, oe début ti'a m la fermeté scientifique de la base sur laquelle, m Livres, il établit la Géométrio et, sous forme ge^ théorie générale des grandours ; ^o^^^^^^^' ^,., môme généralité de foi-mo.. Airisi, *^.^^|^ ^^^^^ nombres, les propositions no ^^^^ ^^'"V^f^exei exemples numériques, et, oe^petndant, ae dû servir pour constituer 1^ théox-xe générale

2o4 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

que déjà les Pythagoriciens connaissaient certainement des exemples de nombres dits parfaits.

De même, en esquissant l'Arithmétique géométrique, nous avons parlé de diverses autres formes numériques, telles que les nombres polygonaux, dont on s'occupa de bonne heure? et, pour calculer pareils nombres, il fallut nécessairement^ dans les premiers temps, se livrer tout d'abord à des études pratiques.

Enfin nous avons vu que, dans la théorie des nombres^ l'attention avait été attirée par toute une classe de recherches qui concernaient l'application des solutions générales des équations du second degré aux équations numériques : on étudia les conditions pour que des compositions de nombres aboutissent à des solutions rationnelles des équations quadratiques, c'est-à-dire les conditions voulues pour que certaines figurations numériques soient des carrés — et, à cet effet, on traita les équations que nous appelons aujourd'hui équations indéterminées du deuxième degré.

Nous avons dit, aussi, que ces équations s'emploient dans l'extraction approximative de la racine carrée de certains nombres déterminés, tels que 2; on ne rencontre cependant que des exemples isolés de pareilles équations dans les Mathématiques grecques antérieures, mais nous croyons néanmoins devçir les mentionner ici d'une façon spéciale, parce que nous verrons, bientôt, qu'elles furent le point de départ d'une direction dans laquelle, par la suite, les Grecs poussèrent beaucoup plus avant. En effet, d'abord éveillé par le souci d'aboutir à des solutions rationnelles, l'intérêt se porta plus tard sur les équations indéterminées, elles-mêmes.

Durant la période Alexandrine, on poursuivit des études pratiques sur certaines classes de nombres entiers : il nous en est fourni une preuve avec Eratosthène et la manière dont il comptait les premiers nombres premiers à l'aide de la méthode dite crible d'Ératosthène (cribrum Eratosthenis); on écrit d'abord intégralement la suite des nombres jusqu'au point où l'on veut arrêter l'investigation, puis on barre chaque deuxième nombre à partir de 4> chaque troisième à partir de 6, chaque cinquième à partir de 10, etc. — Les nombres qui restent, passés pour ainsi dire au crible, sont les nombres premiers.

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l'-t-a'-f-Sa

suivante en langage algébrique actuel :

zzz n h n = n^ :

la différence entre les deux carrés se représente à la manière grecque par un gnomon, qui consiste ici dans les deux rectangles

et

Jusque vers Tan 3oo (ap. J.-C.) il n'y eut, malgré tout, que d'éparses contributions à un développement de l'Arithmétique telle qu'elle était déjà connue aux meilleurs temps de la Géométrie grecque et, de plus, nous ignorons à quelle date fut connu ce qui nous est rapporté : c'est seulement chez Diophante d'Alexandrie que nous rencontrons quelque innovation d'un intérêt général assez grand, et son Ouvrage d'Arithmétique, que nous possédons, montre les Mathéinaliques grecques par des côtés dont nous n'avions encore qu'une notion rudimentaire et obscure par les écrits conservés des mathématiciens antérieurs. Sans doute, le fondement théorique de cet Ouvrage est le même que dans Euclide, et le but des intéressantes recherches de Diophante est toujours, comme nous l'avons déjà dit à propos de ses prédécesseurs, d'éviter les quantités irrationnelles; mais ces éludes ont chez lui, cependant, une ampleur inconnue jusqu'alors : elles lui permettent d'établir des exemples pour des problèmes déterminés qui, sous des formes très variables, aboutissent à des équations avec solutions rationnelles, et, en particulier, de poser de nombreux problèmes indéterminés auxquels il s'agit toujours de trouver des solutions rationnelles.

Entre lui et les modes des expositions antérieures qui nous ont été transmises, il existe en outre cette grande différence : il ne s'occupe que de problèmes numériques spéciaux et n'utilise, pour les résoudre, que des opérations purement