ARITHMÉTIQUE GRECQUE PLUS RÉCENTE : DIOÏ

numériques, sans établir jamais de Ihéorèm alors, non seulement les nombres donnés éta mais encore ceux mêmes que l'on cherche « Ja représentation géométrique n'est plus ausî chez lui, que dans les recherches dont les ré* être applicables à des grandeurs quelconques, < sent ou non se représenter par des nombres des nombres rationnels). Diophante emprunt vrai, ses dénominations à la représentation comme rectangle pour produit, etc., mais traitées ne sont pourtant que des nombres; o exemple, à ce que riiomogénéité géométriqu observée : c'est ainsi que, sans plus de façons, un côté avec une surface.

Diophanle attache même fort peu d'importan générale : aussi, chaque fois que, dans un pi d'une façon générale, un certain nombre doitavc donnée, il assigne aussitôt à ce nombre une ' minée, pour ne plus calculer qu'avec cette valeii ainsi l'on n'obtient, immédiatement, aucune so problème général proposé, à moins, bien ente soit possible, avec l'exemple choisi par l'auteui le procédé dont il faudra se servir en général, le plus souvent.

Aussi, Diopliante a bien ■ pour but une s »

raie, et il n'introduit la valeur déterminée q symbole pour représenter un nombre connu, m i c'est pourquoi, dans les cas oii tout nombre m utilisé, il énonce formellement sous forme de d ( triclion nécessaire. 11 emploie souvent encoi s duction d'une valeur déterminée comme procé( ■ l'inconnue cherchée : si elle ne convient pas, vaut la marche des calculs, reconnaître quel] doit subir sa valeur d'essai pour aboutir en i donnée, ou à la valeur donnée d'une autre quf de la fausse position {régula falsi), que ne rencontrée chez les Égyptiens, n'est qu'une î | simple de cette méthode; mais Diophante s'ei i des cas bien plus compliqués.

Pour les calculs rétrogrades que nécessitent de tels essais, il est indispensable d'avoir une grande habileté dans le maniement des nombres, et une grande promptitude de coup d'œiJ sur les opérations qu'il faut entreprendre avec eux. Diophante, avant tout, fait preuve de ces qualités, contrastant ainsi avec les anciens mathématiciens grecs dont les Ouvrages nous sont parvenus, mais cette dextérité elle-même ne suffit pas partout : ainsi, ayant renoncé à la représentation géométrique, il avait besoin d'un moyen nouveau pour désigner à l'esprit une quantité inconnue, de même que ses fonctions simples. Diophante trouve ce procédé dans un système de symboles algébriques, et encore que les symboles ne soient que des abréviations des mots du langage écrit, et ne constituent nullement, en réalité, un mode parfait d'expression pour les opérations algébriques, ce langage remplit du moins la plus élémentaire des conditions d'utilité requises : il assure un aperçu des calculs plus prompt et plus facile que ne saurait le faire une exposition verbale.

L'inconnue est représentée par un symbole, probablement une abréviation {*) qui ressemblait à un ç renversé, autant qu'on en peut du moins juger par les manuscrits; ses puissances, jusqu'à la sixième, sont désignées par les abréviations des mots grecs qui expriment le carré, etc., et de pareilles désignations sont affectées aux fractions ayant pour numérateur I et pour dénominateurs ces quantités elles-mêmes : on obtient ainsi, outre une figuration particulière pour l'unité (^^), les symboles correspondant à

/y — 6 /y» — O /y» — ♦ /yt—O /v» — 2 /y% 1 ^trt /yti /y>3 ^y>4 ^v»5 /y»6

%Ay , «X/ , «X/ , %Ây y *Ay f *^ ) *** > *^ t *^ > *^ 9 *^ J «^ •

Alors, les polynômes composés avec ces quantités multipliées par des coefficients numériques, peuvent donc s'écrire très clairement, et être posés en équations : c'est ce que l'on faisait en plaçant les termes à additionner immédiatement à côté les uns des autres, et en se servant d'un ^ renversé

( * ) Ce symbole sert couramment, daus le texte des manuscrits de Diophante, comme abréviation du mot grec àpt0(i6ç (nombre) aussi bien que pour désigner l'inconnue. Les copistes byzantins lui donnent d'ailleurs deux formes très différentes, dérivant, l'une du sigma, l'autre du cappa grec. (T.)

pour remplacer x^oti-^ sis^rtG jy^oiris (^).jy

sont indiquées potjiT* Ist ix:ktj.lt.if>li cation de

sorte encore, on j3^ut ^/Fectuer ia mt^^i nomes; enfin, iyiop^lr»stjrk1:^ sstit G^stlementi tiens en faisant pskSS^T* d'un nciGmbre et \ termes, facteurs et di^v^is^ tir*s.

Ce langage cio s^^mJboI^s offre cepei ' inconvénient : il r:^'^^ ^ <^^ signes que , connue, et ses di^Gin^GS j>ciissances. C/r inconnues exig-erait la cr-^^tion cïe douze , précisément pa rco cytze les s^/ m Idoles des ^ culiers; on n'avait jyoin.t. s^on^G à ceJa et, la chose arrive si sou^^^^^^» l 'insuf/isanc ment devait fournir- à qui s'en servait J^ toute son adresse -

OrDiophante en fait pr-euve, non seuJ des valeurs d'essai, xn^mlom^^GS plus h , nues qu'il ne peut expr-im^''- mais d encore : ainsi, Jorsciu'urx pi'otolème prese tités inconnues ^izi doivent être détern données, il choisit entre los inconnue

veut appliquer sa desigrn^tion, .^'^^ J^" 1 ^•- ^ '»^.,» il Tjixisse alors i

de sorie que, dès le début, xi P" ,. .„

à l'aide de celle-ci. H «« petzt f^^^l'J"^' ne soient pas constantes *^^ „« se I

exemple, à l'origine, "" „„e deuxième dans la suite des calculs, ti ^^ même

inconnue seront ''«P'~^®®".''^^uancl on re détermination de <=*'^*^®'~*^-'' connue est ( principale, la premi^'^^ **^

P^"^^ wi^T-ations queDio

Il résulte de ces cousxci«= j-j^aiement, c

tuer de tête, et représenter -evanche, cel ]

tuerdetête,etreprésenx*:^* ^-ovanclie, ce <les éliminations ; m a i s , ^ ^^^^

( M Ce symbole sert pour ^ ^^ ^^

tive d'un polynôme étant *^"i^ ^vist***' un monogramme pour "Xt, ^ laissant, diminué de. - - - C

sèment un exercice qui l'entraînait à choisir ses inconnues de façon que Télimination fût la plus simple possible.

On pourrait encore penser que cette insuffisance dans les désignations pour les inconnues entraînait avec soi des difficultés particulières dans le traitement des problèmes indéterminés : tel n'est pourtant pas le cas car, ordinairemenU ces problèmes demandent en termes très généraux qu'une grandeur composée soit un carré, ou quelque chose de semblable, et point n'est alors besoin de notations spéciales pour la racine de ce carré, etc.

Cesproblèmes indéterminés, auxquels il s'agit de trouver des solutions rationnelles, méritent en fait la plus grande attention dans l'œuvre arithmétique de Diophante. En règle générale, il se préoccupe de trouver une solution unique du problème^ sans rechercher la solution générale qui implique toutes les solutions particulières possibles, mais il ne faudrait pas toutefois attacher trop d'importance à ce fait si l'on veut bien comprendre les résultats que Diophante peut nous fournir, car ses particularisations consistent uniquement à donner tout de suite des valeurs déterminées aux quantités auxiliaires qui doivent servir à la solution du problème. Ici, d'ailleurs, aussi bien que dans les cas précédemment mentionnés, il put fort bien s'apercevoir que ces quantités auxiliaires pouvaient également prendre d'autres valeurs que celles qu'il leur attribue. Il y a lieu de le reconnaître, notamment, quand il admet qu'une grandeur formée d'une certaine manière doit être un carré, et remplir simultanément une autre condition; car il ne suffit pas alors de donner une valeur déterminée à la quantité auxiliaire qui doit conduire à un carré : au contraire, cette grandeur devient elle-même une quantité inconnue œ, au moyen de laquelle Diophante doit exprimer en général les quantités cherchées dès le début, pour en revenir ensuite à déterminer ^ à l'aide de la deuxième condition donnée.

Parmi les équations indéterminées que Diophante a l'occasion de résoudre, il s'en présente une grande quantité des formes

(j) y^ = à^ X- -{- bx -h c

ARITHMÉTIQUE GRECQ„« ^Lus RÊC

alilh. 'PP^"T»« ^ notre aide, pa algeb ique moderne .- la première < pos «,:, = «, + ,, ,3 ««<=««<*«. en pas quoi 1 on peut, sans difficulté, expri«

ri, ' .,''' ^^ '*'" ""^^^^ F»ourra admet -.

rationnelles - pourvu toutefois qu'elles aucune autre quantité- On voit que J Ployees là sont exactement les mêmes <ï sert à présent pour rendi-e rationnelles "•rationnelles.

C'est à la dernière des formes d'équati* réduisent les équations simultanées ou fc»

sion deDiophanle, \'é^M.ce.££on. double,

(3) )' jk'' = «■ ^ -+- *%

^t \\ n'est même pas néoossaire que le <I^ ïïîême dans les seconcis ixiembres, pourv sou un nombre carré, puîscfu'on peut alo même valeur dans les ciou-x: éciuations en d'elles par un carré. ^ . ^

Admettons, pour simplifxor, cjue ce soit ^^-J-^ traction des équations, et on oxprimanto? en * obtient

Cl — c

%\z~t + b, l'on a

équation qui est de la forme (^>-^^^ ^ .. «u P^' Grâce à d'autres artifioes du «'^^f^f ^^^tée gré'^ algébrique, et par conséciixent ^ "^f ^^^^ spécial

même encore au moyen ^"^^J proposés, Dîophani

prietés numériques des nombres t» v

moins, trouver aussi des solutions particulières rationnelles à d'autres équations de la forme

Îj*i=: ax^-\- bx -f- c,

mais, toutefois, à celles-là seulement où c et /, ou bien a et d, sont en même temps des nombres carrés.'

Or c'est seulement en voyant Diophante traiter une série de problèmes particuliers que l'on peut saisir sa méthode générale; aussi convient-il ici de donner un spécimen de ses problèmes et du traitement qu'il leur applique : le sixième problème du sixième Livre, par exemple, a pour but de trouver un triangle rectangle tel que la somme de la surface et d'un côté, exprimés en nombres rationnels, soit égale à un nombre donné. Et, dans la reproduction de ce problème, afin de mieux faire saisir les points où l'auteur emploie ses symboles, ceux où il les omet, nous nous servirons des symboles x et œ^ à la place des signes originaux de Diophante, tout en gardant les autres lettres pour exprimer les nombres qu'il rend en langage ordinaire : alors le problème a donc pour objet de trouver des valeurs rationnelles de A, B et C qui satisfassent aux équations

^AB+A = a,

dans laquelle a figure un nombre donné.

Diophante donne tout de suite à ce nombre a la valeur 7 : il suffit ensuite de prendre comme valeurs d'essai A = 80?, B — 4^, G = ^x, pour satisfaire à la première des équations. La seconde équation donne, maintenant,

et, pour que cette équation ait des racines rationnelles il faut que T-i-6.7 soit carré : il est vrai que ce n'est point le cas mais, cependant, en calculant avec des nombres déterminés, Diophante a découvert la manière dont la quantité qui doit être un carré se compose avec des quantités proportionnelles aux côtés du triangle.

ARITHMÉTIQUE GKECQUE PLUS RÉGEN1

Il arrive donc au résultat que nous att

en posant

A = «cT, B = |3^, C =:

à savoir que la condition pour que les s

11 * ^^ «P nelles est que -7- -1 --i soit un carre.

Comme cette condition ne dépend au des côtés, on peut admettre ici a = i ; visoirement (3 pour inconnue x^ et le d'essai fournit

D'après la première équation donnée, 01

et ces équations simultanées sont de 1; Diophante en déduit Téquation

d'où il conclut que D est la demi-différen<

à-dire égal à 7 : d'après quoi xz=i —^

en décomposant en facteurs le second n équation, et en posant E-t-D = ^, E — I ainsi trouvée pour x représente le rapp< triangle rectangle cherché.

Donnant ensuite à ^ la même signil Diophante insère A=7a? et B = 24'3? dai tion donnée : il en résulte