NOMS ET SIGNES DES NOU
c'est-à-dire un demi-mois). Cette dern ■
respond à un nombre de deux chiffres i
ce fait peut se présenter dans le corpi i
composé de pareille façon; l'énonciali» ,
ainsi plus vite que chez nous - à nrioi i
lions également nous contenter d'énon rément dans leur ordre — mais elle o inconvénient qu'un seul et même cli noms différents, comme ici 7 et 8. Ce px* à celui qu'on a fort employé pour retexii nombres, ou même des règles mattion 1 siste à les mettre en vers, procédé qui* nement le penchant des Hindous vers 1 plus, offrait quelques avantages pour la
Il est vrai que c'est dans Brahmago\3|^ l'exemple cité, c'est-à-dire longlempis ; | le système de position, et cependant., cette manière de nommer les noml^res elle suppose pour chacun d'eux d'anvic selon leur rapport avec certains objet,s- 1 de zéro : l'exemple lui-même peut donc
Pour ce qui est, à proprement jpsirl écrite, nous avons déjà remarque q\ae trouvent employés dans des inscriptions peut, au reste, pour composer aveo o^s plus grands, que l'on se soit servi d'\an celui qui s'était encore récemment, 001 cédé qui consiste, en partie à con:àplét^x Grecs, la série des 9 chiffres par des si^ 10, 20, 3o,, . . ./ 100, puis pour 1000, etc. 3 comme les Chinois, le nooibre de ce chiffre voulu devant le signe die 1 00 Ton ait tout à fait suivi la mélliode cUii
C'est, en effet, à peu près cette encore Aryabhatta : il se sert des conî les chiffres et, par l'addition d'une voyc décimales; ainsi
23o LES MATHÉMATIQUES INDIENNES.
Il obtient de la sorte, pour les nombres, une représentation consonante et susceptible d'être versifiée.
Les procédés de calcul des Indiens, avant que le système de position eût été complété par Tintroduction du chiffre o, purent fort bien ressembler à ceux qu'on employait après la mise en usage du système; car la numération écrite dont on se servait permettait de faire comprendre, en tout cas, combien on avait d'unités décimales de chaque espèce.
Une partie des méthodes employées par les écrivains qui nous sont parvenus peut dater immédiatement de temps plus reculés, à savoir ceux où la signification des 9 chiffres est précisée par la place qu'ils occupent dans un cadre préalablement divisé : ce cadre dispense en effet, absolument, d'eirployer le signe o. Tel est le cas, par exemple, dans la forme suivante de la multiplication de 1 2 par 786, forme que Ton employait aussi pour des nombres plus élevés :
Fig. 28.
Les produits des chiffres isolés sont ici décomposés en unités et en dizaines : après quoi il n'y a plus qu'à additionner dans le sens d'une diagonale des petits carrés.
Les règles de calcul avec le système de position étaient les mêmes, chez les Indiens, que celles employées encore aujourd'hui, du moins dans leurs parties essentielles : et les divergences tiennent, pour la plupart, à des causes purement extérieures. C'est ainsi qu'on avait des tables de calcul relativement petites, étant donnés les caractères assez grands qu'il fallait écrire pour la clarté : mais ces chiffres, on pouvait d'ailleurs facilement les effacer et les remplacer par d'autres; et, pour cette dernière raison, rien n'empêchait d'additionner
^MP-t.*:»»^ '*" cetera jvj^^^ Jcnté de gauche k dro
etdemultipl»^^^^ ^^ eoojoMrsforrig-erif
bien soin toti*^* ^ ^^-ictnvies qui peuvent en y ajouta*^* ^îîfTr-es soi^^ants.
plicatlon des f^-Z^ji^sitio" par un nombre
Dans la «*"''"*^„ ss^^ habile pour se ; quand on éta»«^ wn^m^ aétaii gi/e dans chiffres ave o I« ^enc««- •à multiplier p on pouvait *^*^'""„ ^multipliant par ]e cJ fort, puis, tout fv>r*^ additionner en m< diatement le f'"^^ £,vec ceVui déjà ofefen partiel ainsi ^^^'^T^js^ ^^ '^ sorte, etc. :
en la somme ^^^'.jjerwent déplacé de t plicande, conti"" ^^ ,„éme verticale qi fussent situées «"' ^t en dehors du m
duit partiel à ^'^'' ^^ 'ai«si, qu'un ijombr ne contenait ja'ï'f^,^ déjà /a/ts.
des produits P^'*"^îri«el exig-e, enrevanc
Cete/«p«!^^ «^^'^^^ntit parla tout mo rance, vu qu'on ^'^ „£»« voir compter e erreurs; il faut *^^^ ^^ non seulement h mémoire qui ^^^^^^^.^Jiis encore les tabl tanément en J«"' j'Tride, on apprend p- Aujourd'hui, da'^^ K^^^^xd^es, etilnefaiti tables qui sont fort ^ jté : ainsi, actueli< m autant dans i'^'^**^^ ,„ultipiication d< par cœur des tat>le® ^^ ^ à lo, tandis q' est un des non:il"~^^ ^^ même — outre jusqu'à 3o, jusqti'^ ' plus, de vastes ta , i, 2i, 3i - et, '^'^i.jt exercée, il n'e une mémoire à c^ I' état d'employer U les Indiens fussent ^^ ^^^r, qui consiste multiplication de ^^ \,f^&.tti9 y l^s produi' à additionner sur-I^' ^^g le produit fi' des facteurs avants
^^^™^^- is du calcul nun
^- ^ quels problèmes
Voyons raainten^^^ '^ aptitude au cal< en outre appliquer ï^^
23a LES MATHÉHATIQUES II^OJSPTMES.
tude dont la création du système de position est Je plus sûr témoignage et qui, par la suite, trouva dans ce système son meilleur instrument : nous avons à cet ég-ard des éclaircissements particuliers dans les nombreuses règ-Jes de calcui et dans la riche collection de problèmes contenus dans le Ulâçati de Bh'dskardi ; ailleurs encore. Ainsi, par exemple Âryabhatta donne déjà, pour Texlraction des racines carrée et cubique, les règles mêmes que nous tirons actuellement des formules {a-\-by et (a 4- 6)*.
En ce qui concerne notre Arithmétique usuelle les J diens connaissaient la règle de trois, simple et comnos ' 1 calcul d'intérêt, même celui de l'intérêt composé le / î de société, la règle des mélanges, des règles pour me^ur^r les capacités, etc. Ils résolvent également, suivant de de calcul déterminées, divers autres problèmes ^ ^^
traitons aujourd'hui par une équation i entre autr 'i ^^^^ cette règle de la fausse position {r^egr^lct fcilsi\ * ^ ^^^ avons trouvée chez les Égyptiens (p. 8), mais -i nous
tiennent pas à cette simple règle. ^^ ^ ^^
Nous savons, par des sources arabes plus rér employaient la règle dite des deux fausses j?osît' ^^* Qu'ils duorum falsorum) : elle servait, à l'aîcie de H ^^ (^^.f^^« d'essai, pour résoudre un problème qui, traduit ^^ "valeurs eût dépendu d'une équation du premier d^io.,.^ ^ *} équation,
., . ^, , ^^^ de la forme
Si x=i(x. et xzzz^ donnent, par insertion rimembre, les valeurs /(a) et /( (3) différentes d'^^ ^^ premier duildesdifférences A— /(a) et Â:— /((3)^ ^^ \/^\^ se dé-
et (3 suivant une règle exprimée par la formxil ^^^
s avec a
Comme on le voit, cette règle répond exact lUS nommons maintenant une interpoldtic^ • ^^X. à ce que qu'elle n*est pas seulement utilisable r^ '^/^^e, et nous
rigoureux, comme chez les Indiens, si y(^^\ ^^^'"n calcul une fonction entière du premier degré, mais ^^^ ^^^^^^ïïient approximation plus grande, si a et (3 sont 1 5\^^^^ P^uruue
^Jà des vale
urs
ElffiPI.01S I>tr G^^^^^ X^CJM^RXQCF.
approximatives : ce d^x^rix^i «z=:i^-«#^ >à i, ^^
que sensiblement plus t^ar-d, che^ ^^ it'I^^^ ^'
Une autre règle d^ c^lc^uJ- d un ^^^^i Z^ ^^
celle dV/^ç^er5^oA^. Elle? 43onsiste ^^ ^ ^ ^.r,^ ^^ ^
nombre qui, après avozr- &^^ ^^nnu. n. ^
de calculs, conduit a «» " r>mi>jre à ^oas le^^ W^ en soumettant ce dGr-rxx^^'^ ^"^ f::^^
dans Tordre renverse. ^*^i>iisse«t di/Fére/3t^ "^
Les Indiens, du rest^, ^ous Vaudrait reco^^ Hères pour lesquelles xl tx ^^ ^i^uxième cfe^^^^ ^ d'équations du premier- «^^ ^ ^xempl^ ^^ ^^
wVirnétiques et ê^^oi^^^^:^^ sur les progressions ^^^^ , ^^^^l^s dans i^sq^^^:^^^ sant, non les relations ^^ -,-1 <3onnxxes l'une ^^ choix considérer c(ymTX%^ »^n3i3lî^'J^'^^ ^"^ ^^
diverses quantités, maxs wjiMrt^ ciGiS gr^ande^^ ^'
pour calculer isolément ^3xx ^^les sont donn^^ *
les autres sont connues - c^^ ^^'^st encore ie ca^ ^ stration, dans le Ltld^^^^^^^ x*g^^^^^^^^ P^^^^tcïa
assez variées que nous ooï^^I^ ^nt sîg^^^^^^^^^^s < Chapitre, et qui sont "^*'*'^/^^^ Indiens dans ]/ cerne les connaissances nombres. c>ns ^l3andonner I
Enrevanche, nous ne P^"^„eîla^^^ spécimei des Indiens sans présentex- ^^^ o^xiployés pou dont ils revêtent les ex^^^^^t* rentes règles de calcul- . rxous trouvons ur
Dans la question que ^«YL^'^^^tl^oae ô:in.ersi
purement utraaérique d^
j * ♦«= ril s'agit de
venons de citer : . ^ ^\SLTxt,s <^ ** . ^
Belle fille aux yeux ^"i!«5.e cl'i»^'^''!^;, Tr qui counais la vraie xr^^^^^^ a«g«*«"^f ^^'^ nombre qui. multiplié .^Pf^^é <*« ^'^""^^/ex iS produit, divisé par 7, «A^i^^^ 5^, «J*;"^,^, soit a. par lui-même, diminix» ^ ^orx par
carrée, addition de 8 e* «^^^^^so^t P^^ ** "'"P'
Le problème suivan* » ^^ p^^^
fausse position : «.«^airt* a.*»»®**
Le cinquième d'u» ®®*=*
t234 LES MATHÉMATIQUES IN1>lKli^i^KS •
de kadamba, un tiers sur une fleur de silindha le triple la différence entre ces deux nombres s'est, envolé sut ^ ^^ fleur de kulaja, et une abeille, seule, voltige dans Va\r,alV\t^^ ^ par le parfum d'un jasnïin et '^'-— -- - ' .^o.
fille, le nombre des abeilles!
par le parfum d'un jasmin et d'un pandanixs. Dis-moi, i^^^ ^ fille, le nombre des abeilles! ' S^
Une équation quadratique est présentée sous la forma (l ^ ^
VOICI : \v
Au milieu du combat, le fils furieviie de Prît'ha saisit ^ certain nombre de flèches pour tuer Carna • il en einp7o7%^>, moitié à sa propre défense, et le quadruple de la racine c^v^J^ contre les chevaux; 6 flèches pereèrent le cocher SaK ^^
3 autres déchirèrent le parasol de Cax^r^-^ v. • - ^ x# ^^
, ^ , :^ , ^^ina, brisèrent son éte»^
dard et son arc, une lui traversa la tAt^ c- v . j /t- »
•. A • //^i ^ o u^u NO ^*^^^. Combien de flecfc^^^
avait Arjuna (le fils de Prit ha) ? ^^
Ici, ce sera un exemple de la règl^^ ^ .
Si une esclave de 16 ans coûte H-n^ - ^ , ' .^ , „ ^^ mskhas, combien en-^
coûte une de 20 ans? '
L'auteur regarde évidemment Ta o-^ ^^ , . „ ,
^^rv^rv.^ ir..r^..L«.^«* ^.^r.c.^^\^^ ^^^ ot Ic dôx d'uue esclav^î comme inversement proportionnels , j.
, , ^ A» • ♦ > ^*s, mais il se borne à dire que la valeur des êtres vivants s estin-|
Les exemples suivants de règle d*^ ♦ ^ ^^\^^ leur âge. peu plus sobres : ^ ^'^^^s composée sont ur^
3o madriers de 12 et 16 pouces d*ér\ de i4 pieds de long coûtent 100 nislSf '^^^^'' ^^ ^^ ^^''^T' . driers de 8 et 12 pouces d'épaisse^^^' que coûtent i4 ma 10 pieds de long? Si le transport h ^* ^^ largeur, et de coûte 8 drachmes par mille, cornai premiers madriers
des derniers sur un espace de 8 milf ^ Coûtera le transport
Et encore, dans une telle quesiio ^ pratiquement de proportionnalité en ' ^^ ^e saurait y avou du madrier, ou la quantité de bois q ^T-^ ^^ prix et la grandeur peut donc bien dire, d'une façon Ré - ^^ ^^"ut transporter ; o sont inventés à plaisir, et comme x> ^^^^^> que ces problèmes
Ces quelques exemples suffi ^^ ^"f exercices de calcul, variées auxquelles sont puisées les r, ^ 'Montrer les sources tantôt un nombre de fleurs, tantôt j ^^^^^ns ; ailleurs, ce sera une grandeur géométrique que 1» ^^Ux d'un intérêt, tantôt même des formes dont on les re vét ^'^^^"che et la richesse que Ton éprouvait à poser età résou^^^*^*^ ^^ satisfaction pure
"^"^^ <^es problèmes. C'est,
A.i:.G;^:fe:oïK.^ :et -k-hiêoric: des iyc>
au reste, dsiins le^ xxxônri^ osprit qt»»
termine sorx I^î-v^ir^ I>sir c^s mots : « <î ri éclat les él^oîl^s, st±Txsl l'iiomme <s
des autres l::i-orx:iixi^ s ^i::^ sachant propc>^^^/ %* peuple, des i>x-ol>lei:xi^s silg-ofcriques — g€ ^(^^^^s/
Nous arri A^oriâ S jrxisiiritejnarit à considén^ry^y ^ kra, en partiou-lîex-, traiter dans son Vi/'a^anff, racines : orx pecit dir^ simplement que c'est ur pagné de ses dérxi ojrâst:r-ations. Ces démonstrati nesontpas ooriduit^^^s a^v^^c la rigueur grecque : < essentiellement a x-sin^^n or les problèmes à une la solution pi'ouve la Justesse des calculs mène àrésoudre ces i> i-otolèxMes, mais, du moins, on partie, coirim en t rur-ent trouvées les règles de
par le Lild^ct^^- ,
L'Algèbre indien"^ oo«corde avec celle de ceciqu'elle s'est rféto^rx-assée de Jarepresentatio
les nofnt>res en tant que r et ne traite ^" -^ jyiopliante, il fallait que
pour le Grec cju était a#^ jh' nombres r^// : , . .,1 ^ïissent cies nombres ra^io/i;
issues du caloul xu^^»*^ «^,-r*« Qnhfilp n'x i^o T ^- ^ lr>^icTtie moins suDtiie, n eprc
les Indiens, ^ J^^^^^^r^ ^v.^ nombres irraiio, scrupule pour ^^J" J^^ rationnels : et cette cir decalculdes "^"^f^^^^^^^f, jyi^s d'ampieuràJe cisément,permxt^^ ^^^^.^^^ ^^^,, les irrati,
Au heu des ^^^'^fj^^rme géométrique, ^^, dans Euclide s<y^^ j^ul dii^^^t sur lesnonij^,. chez les Indiens ^^ ^^^^^ z'èg-Ies pour procura ils avaient d'aili^^''^ ^ ^^^j^ri^ls et, ce qu'Eucï des dénominatews ''-^ ^ ^supprimer une douj^ forme géomé tri ^Jti^^ f^^ ils savaient même <ytie ^ — ^ Trc^-— ^
exemple que Von sl ^rr^^^
calcul mvQT%e.
Sous d'autres rapports encore, les Indiens dépassaient les bornes qu'un Grec prudent devait s'imposer : ainsi, n'ayanl pas introduit la notion des quantités négatives, les Gfecs devaient prendre garde que les deux membres d'une équation fussent toujours positifs pour la valeur de l'inconnue qui doit y satisfaire; et si un problème une fois posé aboutissait de lui-même à un résultat négatif, le Grec, qui savait s'expliquer la raison d'un tel fait, devait s'en servir pour changer la forme de l'énoncé, de manière qu'il ne fût plus question que de trouver la quantité correspondante et positive. Les calculateurs indiens, eux, s'en tenaient davantage aux calculs, et à leurs résultats tels quels : ils ne s'inquiétaient nullement de savoir jusqu'à quel point les membres de l'équation exprimée étaient véritablement positifs ou négatifs, et, quand la quantité cherchée se présentait négative, souvent, sans doute, ils rejetaient une racine de cette nature, mais, souvent aussi, ils savaient se débrouiller avec elle, en la désignant simplement comme une dette. Ils établirent également des
règles pour calculer des quantités précédées de signes, mais ils ne les appliquèrent tout d'abord qu'à traiter les termes séparés dans des calculs sur des polynômes : partant de là, on connaissait l'existence du double signe d'une racme carrée et, en conséquence, on attribuait deux racines à une équation du second degré — cependant, lorsque l'une d'elles était négative, on la rejetait le plus souvent. Une autre preuve d'heureuse interprétation, c'est la juste
explication qu'on trouve chez eux du symbole néanmoms
il faut dire que l'on rencontre aussi des emplois tout à fait inexacts de grandeurs ainsi formées.
En ce qui concerne les moyens d'analyse, les Indiens employaient, comme Diophante, des symboles qui étaient en réalité des abréviations de mots, pour représenter les quantités cherchées et leurs puissances; mais ils allaient plus loin que Diophante, puisqu'ils pouvaient désigner, en vam^ temps, plusieurs inconnues différentes. C'est ce qu'ils parvenaient à faire en donnant à chacune d'elles une couleur distincte, dont ils abrégeaient aussi le nom, et cette extension du langage symbolique occasionna, à son tour, une exten-
