ALGÈBRE ET THÉORIE DES NOMRRES; GÉOMÉTRIE

sion du calcul sur les quantités exprimées par un tellangage.

Ces ressources, améliorées de la sorte, devaient constituer un avantage pour les Indiens dans le traitement des équations déterminées à une ou plusieurs inconnues, et cependant, sur ce terrain, nous ne trouvons chez eux rien d'autre que ce que savaient faire les Grecs eux-mêmes, auxquels ils étaient certainement redevables de la solution des équations du second degré. En revanche, nous rencontrons une innovation notable dans le domaine des équations indéterminées : elle consiste en ce que les Indiens ne s'y contentaient point, comme Diophante, de solutions rationnelles, mais voulaient des solutions en nombres entiers.

Ils eurent ainsi déjà l'occasion de s'occuper d'équations indéterminées du premier degré : et, pour résoudre une telle équation en nombres entiers, ils employaient à peu près les mênaes calculs que ceux que Ton fait aujourd'hui pour la solution de cette question au moyen des fractions continues. Cependant, comme les règles sont données sans démonstration, nous ignorons comment elles furent découvertes et nous ne voulons, en conséquence, faire qu'une remarque à ce sujet : on peut facilement parvenir à ces règles sans introduire expressément la notion des fractions continues et de leurs convergentes.

D'abord, il est évident qu'on peut, en multipliant par c, déduire les solutions de l'équation

ax — by z=ic

de celles de l'équation

ax — by ^=^1;

si, dans cette dernière, a > ^, et si l'on obtienl, à la division de a par ^, le quotient ^ et le reste /*, on a

rx — I y = qx-\ r— ;

une détermination de x, telle que — r — =^z soit un

nombre entier, dépend alors d'une équation à coefficienls plus simples. A la réduction, on a exactement les mêmes

238 LES MATHÉMATIQUES INDIENITES.

nombres que quand on cherche la plus grande commune mesure, et il ne reste plus qu'à suivre la même marche jusqu'à ce que l'on arrive au coefficient i : après quoi, l'insertion concorde avec le calcul des convergentes d'une fraction continue.

Ils ne s'occupaient pas seulement d'une seule équation à deux inconnues, mais aussi de systèmes d'équations à un plus grand nombre d'inconnues. Ainsi, les problèmes seproposent souvent de trouver un nombre qui, divisé par différents nombres donnés, donne des restes donnés.

Il se peut que, originellement, ces problèmes viennent des Chinois chez qui l'on a trouvé une règle ancienne pour les résoudre : souvent, d'ailleurs, ils concernent la détermination des périodes astronomiques au bout desquelles certains phénomènes se reproduisent simultanément, par exemple pour les éclipses, etc.; mais les longueurs de ces périodes, connues

des astronomes grecs, ne donnent lieu, il est vrai n '^ h ,. , ▼lai, Qu a Qes

équations homogènes.

Si, d'une part, on demande quel est l'intervalle de temns qui comprend un nombre entier, et de jours œ gi d' on aura, puisque Saans égalent 10960 jours * ^^ ^

Si, au contraire, on demande quand se n ^ • contre des phénomènes en question, on oht* ^^^^ ^^ veu^ tions complètes indéterminées : par exem ,^^^ ^^s équam , . ^ ^ P^^> s'il manque

— jours pour arriver au terme du jour #*♦ P

être à la fin de l'année, et que l'instant ^> ^°"'

jour coïncidera avec l'année nouvelle h • ^'^ ^® nouveau

(.^=)j.„s = (,^«),„„é„. „„ j;;* ""-or après

ALGÈBRE ET THfiORlE BES WOMJ^**^^

Bhâskara Simplifie toutefois Ja qu^^^/^ dans les fractions, le dériominateur^ =-- f/ qui permet, du moins, d'obtenir unf ^^^f

ti ansforme en (^ -f- ^.) ( -^ ^.\) -c-^^^'^ que de décomposer o -h- «^, en un prod"^'^ ^

Mais les Indiens surmontèrent de p/«^ que celles-ci dans le traitement d'équation.' deuxième degré par rapport à chacune de/ seulement comme I>iophante, leur initial ces questions, ils cherchent pour ces équa rationnelles, mais aussi des solutions- ei perent particulièrement d'équations de V(

' j-^^ = aa;*-\- b,

forme à laquelle se i-éduisent encore d'aut terminées du second degré .

Pour donner une idée de leur mode é allons reproduire ici leur solution de Vé rement importante

'SS ,^r0 •x^S

j^^ = ctac^ -\- I

qui, beaucoup plus tard, sous le nom d devait préoccuper les matliématlcieïis d''E.

sente quand il s'agît, 5a u mo^^ri. d.*u.ne frac

le plus exactement possible la racine cari non carré.

Commençons dono par un procédé, di Diophante, mais à l'aide duquiel ils sa nombre illimité de solutions rationnelles les équations

où^et^ se détermina"* ^'^ f-^'^'î'Sir^ ^-^^ et y,; résolvant oos ^^"^^l^'^^F^^^^^ produit de ces deux quantités ï>eut s ecri

24o LES MATHÉMATIQUES INDIENNES.

voici donc une troisième équation,

pour laquelle

En identifiant alors les deux équations (3), on a

et Ton possède bien ainsi une solution rationnelle de l'équation (2); si Ton veut alors poursuivre, en insérant des valeurs arbitraires pourri et/i, on peut souvent obtenir des nombres entiers comme valeurs de x et de y.

Il faut, en particulier, remarquer les cas où Ton parvient à trouver déjà que b=i±zi, ou ±2,

Si 6 = 1, on peut, en' suivant cette marche, d'une solution de (2) tirer une solution nouvelle et, ensuite, autant de solutions que Ton en désire; si ^ = —1, ou ±2, (5) donnera à son tour une solution de (2) en nombres entiers, car de y\ 1= ax\ it: 2 on déduira que aœ\ -f- jj = 2aœl ±: 2, ou bien est égal à un nombre pair. En même temps la connaissance d'une solution de (2), en vertu de (4), permet de tirer, d'une solution de (i), des solutions en nombre indéfini.

Cependant, pour une valeur donnée de a, si les essais successifs sont impuissants à établir une équation de la forme (1), pour laquelle b soit égal à ±1 ou ii= 2, alors on se servira de la méthode dite cyclique pour réduire la valeur de b : soit, par exemple,

ax\ -\-bi=yl

une équation dans laquelle b^ est déjà aussi petit qu'on le put obtenir par des essais qui peuvent consister à faire de ^ une valeur approximative de \/a; x^ et b^ n'ont alors aucun

^f'GÊBBB ET

facteur cn^ "^asome des jy.

^r**''- "ne équal ^' ^^''^^'^ "« ^^c/l' *=^^'

^ on pose alors

*» est „o „ ^* ~~ *='

carré V» '""^''e ent/er ^,

^'«"« ne 7e j^'^'^« à éta/,;i. et

'^"^ ^'«« peut .^''""•««t point ^^P«°d«^t. 1

'«nte pour !^'"''enle|,t Da^ i ^'*''*^' P^^-v

'^^'""«str ion *''■'• '*éori^t,e^ ""^"^^*^ '««th '"^'•««ver cl^f ^'' due à ii^^T "'^ ^^ ^^^■'^iet

pour le eaCt' " ^'^'^^ "««,,"« «^r/e'i:'*^^ ^ r">«oriedt ;^esquir^

•'«Muamités *^ '^^™« théorie, em

r^r:?' "<«ï«o'^.f °rrir«r"' « '-

^ ^^ I>remxex's nombres enti,

24 3 LÏS MATHÉMATIQUES INDIENNES.

Nous n'avons, d'autre part, aucune raison de nous arrêter à la Géométrie des Indiens : la plupart des théorèmes de leur connaissance étaient certainement dus aux Grecs, bien qu'ils aient souvent poussé plus loin que ceux-ci le calcul fondé sur ces théorèmes.

Un théorème de Brahmagoupta doit cependant attirer l'attention, considéré comme une extension aux quadrilatères de la formule de Héron pour les triangles : tel quel ce théorème énonce que la surface d'un quadrilatère quelconque est représentée par \J{s — a)(s — d){s — c){s ~d) , où a, 6, c, d sont les côtés et s leur demi-somme; Bhâskara déV^ l'entendait ainsi, et c'est donc avec raison qu'il s'arrêt ^ cette hypothèse erronée qui consiste à dire qu'un quadrilatère est déterminé par ses côtés. En réalité, Brahmagoupta ne traite que deux classes déterminées de quadrilatères inscrits pour lesquels le théorème est exact, mais il se peut f r h* ' qu'il n'ait tenu aucun compte de cette distinction ^^'-1 n'exprime pas dans ses énoncés; les quadrilatères dont'^'l s'occupe sont : pour une part les trapèzes isoscèles d' part les quadrilatères inscrits à diagonales recta i' • ^^ Encore que cela ne ressorte pas nettemf>nt ;i ? aires. T> u . 1 T j- *"^"'^> Il est vrai dan<î

Brahmagoupta, les Indiens peuvent avoir e - ^**"=>

comme raison de s'occuper de ces derniers ni 'h ^^^'^'^^^^'^^» fait que dans leur Trigonométrie ils se servai ^^^^^l^res, ce Ptolémée de Tahles de cordes, mais de Tabl^^*^' ^^^ comme effet, le diamètre du cercle éta^t égal à i, et d^ ^^ sinus. En rencontrent étant respectivement égaux à 2 ^^ ^T^s qui se que les côtés du quadrilatère sont sin a?, sin ^ ^ ^^' ^^ ^^^^ que les diagonales se divisent suivant les n ' ^^^^ ^^ ^^sy, et et sin/cos^, et en sinarsinj et coso? cos ^^^^ sin^cosy

ainsi, vraisemblablement, celle même que r figure est

la détermination de sin(a7 + j). ^ ^'^Ploya pour

Les Tables de sinus et de sinus verses le Sourya Siddhânta^ ne descendent ^^ ^^^uvent dans

dessous d'intervalles de 3« |, tandis q^^^ 1 P^^dant pas aud'arc de Ptolémée correspondent à des x^k ^^ cordes

auraient un intervalle de o°i5'. Si ees T^f ^^ sinus qui

d'autres parties de ce Livre, sont d'or' . ^^> comme tant doivent donc provenir d'Ouvrages pi^g ^^^^ grecque elle

^'^^iens que c^u^ de

ALGÈBRE ET THÉORIE DBS :P70lli::B:Et:ES • GÊl

Ptolémée; peut-être alors faudrait,— il on fair* i gine aux astronomes alexandrins cjuii ont d'Hipparque et de son école, encàploy^i- des Cependant, le mérite d'avoir renriplaoé les 1 d'arc par des Tables de sinus peuit- fox^t, bien Indiens; leur sens du calcul pra.r,icixx^ dtat vi «ouvrir les avantages de ces d^mi^res, qu immédiatement aux angles des t^riaingles recii

En tous cas, c'est à une origirx^^ iridienne i blement faire remonter une loi erripiï'iqxie p successive des 5m W5, déduite de l*^x.am.orà de premières et secondes; au contraire, poxir e: des sinus, ils se servaient, dans l^uirs osilcul des règles contenues dans r^4AiC3t/^^^xzy^<^ de F*

Il n'est point impossible, par aîlleiars, que 1

ft . ^ 3i4i6 . ^ ,

mative de tt, — -^~> qui se t,rouvo dans

»D lOOOO

i d'origine grecque, car nous sa^voris, en eiï

'' déterminait tt plus exactemerit, qu-'Arehi

^^ revanche, rapproximation. tt = v^io rencont:

"' goupta, est certainement trop arbitraire p<

^' Grecs.

^ Nous ne rencontrons pas davantage de typ<

'^ à une formule approximative qui permet

t corde A: d'un arc donné, formule qui se trou

F et que voici :

^/ est le diamètre, p la circonférence et

l'arc.

^E MOYEJV AGE.

^' ^on^PJ^t r^f «'ta.t/er;,'^^'*é, les f "' «maintenir sT' ""« '«"e s^ff ^^^s d-', sévères exijl ^'*" »•«% de « ?^'"eté d^

'^^ê'é, sans ? ^"ssent rJ^^^ ^taT»^^**^«

>' C eT"'^ ^-'u f^^^^^i %r-

^^ Grecs ».,„• ^"^^^-loris **s. => cjue

'^Z^''^''''- ^r.fr^i'^^ '^SiSr^^' Enfin tr^^es «eie;?^fVV**-^»^t^Y^ ^^^ 1 9"es se dévc^i *^^« l>t ^^'^^^

a46 LE MOTKM^

croissants de l'Astronomie, et nous avons rencontré chez Diophante des échantillons d'une pénétrante invélstigation à propos des conditions numériques de rationalité.

Par ailleurs, l'antique habileté des Indiens dans le maniement des nombres s'était épanouie en une véritable Arithmétique. Ils employaient le systèm e de position, comme nous le faisons aujourd'hui, el le contact des Mathématiques grecques suscita, chez eux, des progrès originaux : le fait le plus important à leur actif fut de traiter d'une façon satisfaisante les questions qui concernent les nombres entiers. Néanmoins, quelques-uns de ces progrès se rattachent peut-être bien à une époque où la rénovation des travaux mathématiques avait déjà commencé chez les Arabes

Pour estimer à sa juste valem- \€^ ^v^^^u^ ^ ,

, 1 /. 4 1 T ^ mente des peuples aux-

quels, après les Grecs et les Indien c «^ • . i jT ,

/^ nyr 4U' 4- 1 "^*^ns, revient le développement des Mathématiques, il faot oor.c.îHA u- .,

étaient loin encore d'être comr^--..-^ v^:

^""ïiodement accessibles

considérer combien eJles

aux

peuples nouveaux. Elles étaient mA.^ oi*jica

Grecs d'une époque plus récente • et ?^^ ^^"^ accessibles aux servées de l'époque antérieure, ils avaien'"'''' œuvres concas, ou du moins reprendre, cie te m ^^ garder en tout

intelligence des détails, ces œuvres n ^i^ ^^ temps, Texacle du moins, la vue d'ensemble sans la ^ ^^"^ fournirent point, de pousser plus avant. D'ailleurs, ell^^ *^ ^^^ impossible

espèce de renseignements sur *les^^ '^^ donnaient aucune fécondes en résultats importants, et t *^^^*^^^^^ autrefois si égard était depuis longtemps perdue ^^^^ tradition utile à cet soi-même ces méthodes, ou d'antre ^^ ^^^^^t donc retrouver question de s'approprier enlièrenie ' ^"^^^t qu'il ne pût être œuvres — bien plus, maint l'ésnlt teneur des susdites

comme ayant appartenu aux Grecs a ^^ ^^^ ^^^^ i^econnu sous une autre forme. * ^ïit d'avoir été retrouvé

Néanmoins, durant toute celte rés tiques, l'apport des Grecs ou bien en ^ '"^^tion des Mathémal'on apprenait à comprendre dans i '"^ ^^ que, petit à petit, entendu, excellemment servir à g^l^^ ^^ tï'avaux, allait, bien

Dans ces conditions, et grâce ^ ^^ ^ initier les esprits»

facile, l'Arithmétique indienne oflv* -'^ ^sage pratique très pénétrer dans les endroits où l'on a ^^- P^^s de chances de

^^t occasion d'en faire

ïT^-r^'^^ ., faut aussi a^^^' ^^v les princx

OeF. t>«^^^--^ »o"^-™^""' „eSt*t*»- ^ ^'V^ ^** «t>^«** «Ve à son man