L'Ârittamétiiae et rUgèbx-e des Arabes

essayé ici, en particulier par compar-aison avec les .^Kr-ml o- .défaire ressortir la valeur et l'*Stendue des trav^ -^^ "* ;matiques chez les Arabes afin qu'on n'aille point ti- »— ■^'"' eux, d'humiliantes conclusions, sous prétexte que J <?s

ats positifs qu'ils ont atteints, en dehors de ce que -* **/

, savaient déjà, sont relativement pauvres; d'un atJ»*^^^ cette dernière circonsiance, précisément, va m'obf* g^^-

ccuperdes Arabes beaucoup moins que les çtov^^và^!^ ^ P es de leur œuvre ne sembleraient pa,- aiV\euva V^i\»^V^ T doute, nous citerons leurs plus notables écrivains^^^ ématiques, mais surtout comme types, pour rnontr^^ ^ quels sens ils travaillaient en général, bien plulôï ««^-^ ^ ne individualités important à l*exposition cohérer* '^^ ^ îurs Mathématiques, et de 1 évolution même de ce^ *^ ice.

i temps n'est pourtant pas si loin derrière nous où f«,^«--«2»

iencomptendie les écrivains grecs conservés ol rt f^<^w

ment connaître les Malliémauqu es indienne's """"^^^ l à ces Arabes tout l'honneur, tant pour l-Aiiit," alt«-» ;rerit les Grecs, que pourrArilhmétiqu„ j,^^ ai,w H- *"-■ «^ e erreur est même consacrée par la dénomination rt°2 °^ » re, et par une autre expression "latliétnatique rl.ll ^. ~

illwe, longtemps usitée pour designer la num'é ,• '^ '*'— attache au sjstème de position, mais que non, II. ■ " * «-• i nurd'hui en l'appliquant k tout sjstème de design ,*?"''"'** ® conventions qui permetle de calculer mér, ■ "'^ "î'

„nt certaines règles. Ces deux appellations t^..""""''" n seul individu : à leur emploi se rattachait ... t^f """'""«Ol ait à cet auteur l'invention, et de l'Algèbre ftl,"^"," ° ration actuellement en usage. • <" "« JS Bu

nombre, enuerj ^,^ s< ï'f'^.J f ' ^i ''^pr^^,^

Jes opérations "l'ye ^V^Sr e*^, »* c» di ■

ser.é, y sont "P j ^-J ,iC=» c, o .„„■■

nombres «""» '"" l'e*^,^»» j,i<ï«^ «rf-*? ^ll»»" '

„,a„,ue cependant ^« ^ ^t, t.^^^ V J^l^^,,^

la sooslraeuon, <ia" ^ • .<J *îi «-^ tit" 2,eO"

r„tre e« plos tort «" ^ ,. 4*^^ . J'. «f-^^^fce 1

donionsouslra.. ^e^r^ ;2^.j;,r(^^ rfe ,

accessible au^ E«°P, *'S«-'' v^**^! * S-'' "j*""' 1-Arilbméu<l« "f^ »»^e *^«-*'iî,t.'^ ve" Al""

LE MOTEN AGE -

signifier quelque chose de préalablement .connu, puisjuge même superflu d'en donner uine explication. Au n nous pouvons être renseignés par lo sens pliilologique, et. quelques éclaircissements ullérieuirs z le premier mot sig m l'opération par laquelle, ayant des termes a enlever à Tu»^ membres d'une égalité, on les peut adjoindre à l'autr» façon que chacune des deux quantités égales ne compre^J que des termes positifs; l'autre mot signifie l'opération,. ^^^ vient ensuite, par laquelle, une fois cfiie chaque membre'// l'équation ne contient plus que des ter-nnes positifs, on réduit (par suppression dans un membre et p>ar diminution équiva^ lente dans l'autre) les termes qui sont de même nature' (c'est-à-dire de même degré en ^), en. sorte que, finalement l'équation ne contient plus, pour chsicjne degré, qu'un seu terme positif, situé dans l'un ou l*aixtï-e des deux membres Ainsi, par la première opération, l'equsitîon

2X^ — 2X -h IO=:::Z*'

se change en

2j?--i- io = ^*-t- y

^jt^

et, par la seconde, en

Le nom de la première de ces oporsitions, p

commencer tout traitement d'équation «=^ à l'ensemble de la science des équsiti science et, plus tard, l'emploi systém

o»^s, a dor^^"^ \]^%

science ei, pius taii^, x ^....^^^^ -j— -^^^atisé de r«^^\ ' m/^S> symboles qui y servaient, puis enfin, on ^énét- ^C^^^e^^^^^ de toute opération sur les grandeurs ^ l'aide S^- ^^b^^ â^ prirent de la sorte un nom qui ï^'apps^^t^^^.^ ^^ ^^ ilié^%, qu'à une opération algébrique PartiotHière k ^v^ymbol^^, hors d'usage. En effet, nous n'attachons plus a ^ ^^^^^^^ijt tance aujourd'hui à ce que chaque xnembr^ ^^l^^^'^terJ^ posée ne renferme strictement que des termes t-^ ^^ ^ ^"^P^ n le faisaient les Grecs, les Arabes et leiars suce ^^*Mf ^^^^ e -diats en Europe; et, cependant, eoturne to^^^^^tr/' ^^^^ des mathématiciens grecs, cette opération ava ^ ^ ^^ o^ ^W^^" rationnel : c'est qu'on voulait s'assurer, p^^j, c^ ^'^ fi)I^^ Vieti^ que les deux membres d'une équation r^^ ^^^ (i/W^^me^i^

l'arithmétique et l'algèbre des arabes.

quelque valeur que dût prendre Tinconnue, puisque ^ reconnaissait que les quantités positives.

Dans l'Ouvrage en question, il s'agit en particiilVeY c tement d'équations du second degré et de l'applîcal ces équations, ainsi que de celles du premier degré. est exposé en mots : ainsi, tant que l'on traite \ine éq l'inconnue se nomme la racine, ou la chose {nés) ; son le carré tout simplement (*).

La solution des équations du deuxième degro est, ô trée par l'Algèbre géométrique, comme chez Ei\xolicie en partie avec d'autres figures que celles dont, se sox-t. \ mètre grec; par exemple, l'équation

x^-\- ax =: b

sera résolue par la figure suivante : sur les quisit^r^ oô carré inconnu a;*, sont élevés des rectangles cle -^ d^ Ina. si les angles rentrants de la figure ainsi formée son.t, oc

par des carrés de j de côté, alors le carré ci e -^x^ —V— ^ ^

qui en résulte aura la valeur connue, b -h -y- •

Cette forme de solution, qui revient encono c^lck^z. o. î auteurs arabes, et qui constitue au moins un^ a.ï>t>li^^ ^ l'Algèbre géométrique ne relevant pas d'Eu^^l^'^^ > V^^^ peut-être de travaux grecs qui nous sont restas xnc^on par exemple de l'écrit d'Hipparque, déjà \xx^T\t,^oT\i^^^9 équations quadratiques. Toutefois, il ne faxadr-î^xt, ï> gurer que l'Ouvrage de Mohammed représeïrxt.^ s

de tous points, un remaniement de quelqxx^ rrxocx ^ a.t

le voit dans l'application des équations à deïS ^^'^ j^

de la vie — comme au droit d'héritage part^iouli^^''^'^ TVToViar.

— et il est également digne de remarqUiO qci.^ j^ctai

ibn Mousâ, à l'instar des Indiens, attrib^i^ d^xx l'équation

cc^~{-a^^=z bœ.

( • ) Proprement le terme mal, traduit census \) gnifie pouvoir y fortune (T.).

On trouve chez lui la valeur grecque tu = ^^ et la valeur

7r = 3,i4i6, qui peut également l'être; mais il connaît aussi

la valeur indienne y^Tô, preuve qu'il n'a pas uniquement appris le calcul des Indiens.

En ce qui concerne la solution des équations du second degré, on voit donc que Mohammed ibn Mousâ n'apporte rien d'essentiel qui ne se trouve déjà dans les écrivains grecs; et, si des générations postérieures remarquèrent chez lui ce qu'elles n'ont pas toujours trouvé chez les Grecs, quand on les connut de nouveau, la cause en est peut-être qu'il joint des exemples numériques aux solutions générales qu'il présente sous forme géométrique, tandis qu'Euclide se contente de donner ces solutions elles-mêmes, que Héron, de son côté, n'en offre que quelques applications numériques, et, enfin, que Diophante ne démontre pas du tout la solution qu'il établit.

Si, maintenant, nous sautons aux environs de l'an looo, nous rencontrons à Bagdad deux méthodes fort diverses d'Arithmétique et de calcul. Dans un Ouvrage d'Alnasavî, nous voyons que, à ce moment, on a déjà réalisé de grands progrès dans l'emploi du calcul indien et, en même temps, dans l'exposition systématique et le traitement des quantités numériques; c'est ainsi qu'on a des désignations de fractions qui, avec nos chiffres (car les signes numériques ne sont pas^ les mêmes partout où l'on emploie le système de position), qui, avec nos chiffres, dis-je, auraient l'aspect des exemples suivants :

ID -^ :r^

Il ressort du Livre que nous lï^euii^^v^O^ ^<a;^s X^'à VûX^"^^méthode indienne de calcul avait p^ ^ ^b ^\x\ç^4«v« ce&e^ gences : il est donc fort surprenant h "ff ^vvcv^^ >^"ï>x^'' et au même lieu, le remarquable >^ ^^\i^ ^e. \x^^^^ ^^^"^ produire une Arithmétique dans laai ^^Vx^ ^^^^^^"^T^i iument rien du calcul numérique irxrj-^^^ A ^ ^K^"^"^ î>" contraire, exprimés par des irir>.* ^^% -^ i &

au

l'arithmétique et T^*J^T^4^^7^^^^ ^^^ < ^

assez étendus sont exécutés sairi«=a i*.,.^ , c^'^ ^^

semble dénoter une résistanoet de^ T^arti • à ^^

indienne, et Ton put émettre l'hyï>othe5se, ^^\^s^^ ^^ table, que cette résistance provietxit, pout-être d' tranchées entre sectes religiexas^s. ^^

Mais, à côté de ces explicsitior^s, on ne doit ^ /cï d'examiner si la différence en.t,f^ -A^lr^assivî et Alk^^"^ < rait pas simplement atlribizabl^ èi Isi dixr^rsité mêtï*^ qu'ils se proposent : le premier o-lxex-olie à donner '^^ pour la plus simple exécutioiHL prsttiqxxo des calculs ; ^^ au contraire, désirait écrire xxn Ou-^v^x-si^o scientifiqt^^ nombres, et leur usage; — il st dorx<3 3veo raison r^^ son point de départ chez les Citr^c^s, ^t, non chez les X S'il emprunte à ceux-ci leu-X* r^g^l^ d^ t^rois, c'est dcJ en lui donnant une base solides dsins la tliéorie des tions d'Euclide; et s'il onciet de? fsiife connaître tels mécaniques qui, en réalité, p^e^xj-ve^r^t:- servir à traiter ai les calculs numériques, cet,t,e oncuissîon n'égale pas cef celle d'Euclide lui-même, qui non seulement pas/ silence les ressources mécaniques qu'on devait avoir temps, mais ne donne même auoun exemple numériq

Cependant, si Alkarcliî trouve l'occasion d'expliqi quantité de méthodes grecques de calcul, méihode% c bien inférieures à celles des Indiens z cela s'expliqu doute, par son admiration pour- les Grecs, et cette ado lui inspira naturellement r>our l'ensembie de ces pr au point de vue théorique , un intérêt que n eveiiiai

encore les méthodes ind.icnnes- i ,.,

T^ i p „^ «i^ nu^isse expliquer la dii

De quelque façon qu.e se i^ixj.»^ ^ . , , ,,

entre les deu. écrivains, toujours est-ii qu eiie rnc temps qu'il fallut pour amalgamer les «Pf^J^/X^^^f ^« ' en ce qui concerne les Mathématidues et ie caicu/ et

^^-^^-»t riu même coup, cjue i part, ces deux Livres prouvent, ciu i ^^, ' ^e

. ,, , , ♦ ^^ l'une et i autre source.

posait des lors ^^'ëem^J^t. <i^^i ^ ^^^^ ^^^^^^ ^^

En tous cas. Alkarchî sut ^J^\^^^^^ /^^^^^^ ^^j,^„ et même utiliser dans leur tra^^^ ^^ ^ ^^^^ ^^ ^^^

niques que ceux de son -TJÎcuIs étendus qui se rem témoins, d'une part, les ^»^ ^t, son important <

dans ce Livre même, et, o- «»" ^

d'Algèbre, Alfachri (ainsi nommé, vraisemblablement, du nom d'un personnage). Dans ce dernier écrit il se révèle comme un éminent élève de Diophsint.e : élève qui ne se contente pas de reprendre un très grand nombre des recherches et des exemples du maître, mais qni réalise en même temps, lui-même, des progrès considérables. Sous ce rapport il faut mentionner qu'il élargit le langage s:>.mbolique de Diophante et que, à certains endroits, il se sert même de symboles pour

deux inconnues; il donne des règles t^i«,^ i * ^^„.- ^pq

,,,,,.' . , o*^^ ï>lu.s complètes pour des

calculs algébriques dans lesquels iràt*^.-^,- • ^.,û pi

, ., ^. \ , ,. .. * **^^*" vient une mconnue,ei

traite nombre d exemples distincts ^-1-=.. v ♦,,^iivp

u T^- u * 11 * . »^ , "^ ceux que Ion trouve

chez Diophante — allant jusqu a de«% ^o..*, ^,> . j^» «^în^s

, ^ "^ ^ '^^s Problèmes indéterminés

de genres nouveaux.

On peut en citer, comme exemr>i ^^ i

^ ^^^>les équations

si Ton pose ^^^ -^ bx^;

on a, par suite, ~~ -^^07,

où m* et 71- sont des nombres carr*s ^t\t»

dont la différence soit égale à a ^> ^^^^ arbitrairei^

Toutefois nous attacherons une irri ^^-i^s^

aux progrès que nous allons abordc-S^**^^^^^ V^'^^Xi^W^Çi^^^^^jr' rapportent plutôt à la simplification ^^^^'^^^ï^SitxX ^^ // A^ '

et, afin de les apprécier complètent ^^^ ^^^ions ^(///VV^^^^ qu'Alkarchî ne s'était pas unique n-i ^^*» îl ^aut ».^*^^o.O^Aboeies

qu AïKarcni ne s etaii pas uniquem — ^aut y\ ^^f^^'^^^

pratiques de Diophante, mais qu*ii ^^ ^^^iïïlVVA ^^^ ^/T^^^^^^^. que comporte une démonstration -3 ^"^^^vait ^^r ^y Gv€CS' il nous l'avait déjà montré dans so *^ Pe^^^.^V)^^

Néanmoins il ne donne de ci^i>^ ^^^hroéf^^^ c}^ ^étri^"^^

que pour les solutions d'équations r^^^^^^'^^îori ^^^^ ^^^orHOU^ savons que c'estla seule forme de cl ^ ^ ^^^otxa ^ ^^0/^ Jérales^ suivant les Grecs : et cependant l^^^^^"l-Vat* ^^^ -^ eut 8^^^^ une plus grande aisance que les*Oi^ ^^^«^Xic^ ^^^"^ ^^ ^m nflrfà cas, il représente œ^ et ax par ^ ^^^ -• ^a ' *^ ^ écrivain grec, dans une démonstra.* ^^ ^^^rn ^* ^^hV jé^^^^ ^^^^ rectement en changeant x^ et et ^^^» ^^*^^^^^i ^^râffïÈ^^' côté. Au reste il se contente d'écl • ^*^ ^^ ^Ut^,^ j *

par un exemple unique ayant n--^ ^^''^ir 1^ ^tij^i^^ ^^ ^^'""

^ Poc»^ .b^,/^ ï^l%|,t-t des règles

^ '*îo«r»-trer qu'elles

l'arithmétique jet l'algèbre d£s a

ressortent des calculs eux-mêmes; il remarq d'autre part, qu'on doit se préparer à l'inlel algébriques par les règles générales d'Arii données dans son Ouvrage antérieur — p donner plus amplement de telles règles briques dans un Ouvrage, que nous ne pc reusement point.

En elles-mêmes, ces considérations n'o de très original, car le calcul réel avec des nels doit avoir également servi de type leur méthode de calcul géométrique, méth laquelle ils en vinrent à traiter les quantité l'aide des mêmes opérations; mais ce qui dant, c'est que ces considérations fussent ex en relief: on voit la même chose pour Alkan avec laquelle il manie des radicaux irratior ces quantités ne sont pas représentées p mais par des mots qui correspondent at de puissances avec le même exposant; toi chez les Indiens, l'auteur montre nettem peut calculer avec ces quantités, comment peuvent être multipliées ou divisées, quelle de la puissance, et comment, d'autre part, 1 et cubiques peuvent s'additionner et se soi puissances sont des nombres semblables, pi La démonstration de ces dernières proposit par l'introduction de facteurs rationnels e\ radical, mais bien par l'application dire< (a-^by et {a-hby.

Ainsi nous voyons qu'Alkarchî calcule a irrationnels ou, en d'autres termes, qu'il le! ment comme des nombres : c'est ce qu'il fa tement lorsque plusieurs de ses équations des racines irrationnelles; alors, dans ces é boles qui correspondent à notre a?"» repré sances de nombres irrationnels, — tandis admet toujours que a^ doit être un nombre

Maintenant nous avons vu, il est vrai, que laient sans aucun scrupule avec des nombi

.6o ^ ^^^«^^ ^^*- . rnn^ent imités. A

mais ce n'est pas eux qu'Mkarcbî a scie ^^ ^^^^ ^|,^,

contraire, il reste significatif de voir ^^^V^„j^^isé, grâce au:

qu'eux par un homme entièrement lai ^^ ,^ j^ ^^^^^

écrivains grecs, avec Vidée de ^i^rationne ^^^^^^.-^yes et

dont il distingue entre les démonstrations 5^^^^ ^^,.^ ^,^^^

les explications arithmétiques, donne ^ ei dernières

convaincu de l'impossibilité de trouver dans ce

aucun fondement universellement valable. mouvaient

En tant que disciples des Grecs, les Crabes ne po donc s'en tenir aux raisonnements arithmétiques, ei no pouvons voir, en particulier, à l'Algèbre ^«^.^^^^Wr^n le remarquable mathématicien et poète philosophique au xi« siècle, Omar Alkhaijâmi : il met ses explications de ia signification des radicaux irrationnels en rapport direct avec les strictes conceptions des Grecs ; il distingue entre les résolutions d'équations, par rArithmétique et par la Géométrie — pour les premières, il ne veut pas qu'elles soient seulement rationnelles, comme le voulait Diophante et ce qui suffirait logiquement, mais encore entières. Puisqu'on peut calculer avec ces quantités, une démonstration arithmétique de la justesse de telles résolutions est suffisante; au contraire les solutions du deuxième genre peuvent être irrationnelles, et c'est précisément pour cette raison qu'il est besoin de la Géométrie en vue de les énoncer et de les démontrer.

En conséquence, les racines carrées et cubiques sont représentées à l'aide des constructions, connues depuis les Grecs, d'une et de deux moyennes proportionnelles; pour les radicaux d'ordre plus élevé, Tespace n'ayant que trois dimensions, il ne saurait être de représentation géométrique possible — et Alkhaijâmi n'en connaît point d'autre généralement applicable — tandis que pour la formation des puissances d'ordre supérieur, au contraire, il indique, d'accord avec la théorie euclidienne des proportions, la formation des rapports composés. -^ Grâce à ces rapports composés on obtient indirectement une explication de ce que signifient les radicaux irrationnels d'ordre supérieur, rencontrés dans Alkarchî.

Ainsi la conception d'Alkhaijâmi est donc parfaitement grecque : Alkarchî, lui-même, en aurait probablement reconnu Timportance théorique.

l'arithmétique et t'ALGÈBRE f'^^./fP^'

l'e^rT'''!;'''''"^^^*^"* ^«« radicaux, ^/ ^^^^ 1 extraction des racines carrées et cubi^^^^î '^ '1 ajoute que, de son côté, mais alors d^^ pO^ connu, Il a donné des règ-les d'extracti^"^;^, * l

a exposants arbitraires. I>ar»s ces conditJ^'^ çO ment connaître les coefficients Jbinomiatf'^ .èî exposants entiers et, par suite, posséderiez ^i lion de ces coefficients. Il dit enfln n'avoir** ^j de ces racines que par l'Aritli m étique ; alors, V ■ tion n'est valable que dan s les cas où elle afeotl* ^ rationnelle, faute de quoi il n 'avait pas mèflve ®' manière précise, la signification de cette oçéV»^ '

ilestclair, cependant, qu'aussi bien Vexlracùo i

racines que celle des racines carrées et cuViQ iisable pour un calcul approché de racines i au reste, comme exemple d'extraclion approxi»

cine, nous pouvons citer Al karctàî : pour y/^^' '

nombre entier immédiatement inférieur, il donc

valeur plus approchée ce -+- — , valeur qu(

en appliquant la règle des ^^^^^ rctvtsses posh

a^orum falsorum) (c/. p. 2^ S) ou bien encc

lation entreaeta4-,.

e.H'AS"^.'^'""^''^"^^*!»® soient les points de v) iaAiRhaijami,quantati traitement des radicau pation de ces extractions dut néanmoins contribu onez les Arabes un problème rejeté dans l'ombr celle grec, à savoir la sol uti o n cl et l'équation cul 1 racines carrées et cubiques- Si les Cirées, ce qui se sont occupés de ce problème dans l'antiquité, i . perdre de son intérêt à leurs yeux pax- cela mêm vait résoudre les équations cutoiciues à l'aide c géométriques, - les mêmes, précisément, qui une représentation universellement valable de l : ique, -- c'est-à-dire par l'intersection de seclioi on devait aussi, comme nous l'avons vu, cesse resserà la réduction de p»roblèmes en éciuatior telle que la pratiquait Àrchimétle, en voyant qu

sible, en dehors de celle réducUon, de^ r-ésoudre ces questions par les mêmes procédés.

Bien que ce ne furent pas les A^rabos qui devaient trouver la solution de Téqualion cubiqize, leurs nombreux travaux manifestent suffisamment rintérê t. cfui'iJs portaient à ce sujet: le principal point de départ de oos recherches fut le problème d'Archimède sur la division do la sphère, et la vieille solution de cette question par des sect,î ons coniques (cf. p, 162 179) dont on rapporte Torigine à -A.rcl:iimède — ou, du moins! à son époque. Comme celte solution, ainsi que nous Tavons vu, embrasse, ou du moins peut êtx-e racilement amenée à

embrasser toutes les équations de la forn^e ^^-x-a ^-^h

que, en outre, la condition d'égalité de deux raci net s'y tr^vê expressément, et qu'il est aisé, soit de réduire à cette forme

1 équation générale du troisième dee-t**!^ c,^:* ^ 1

^, ^ , . . ., ,^*^» soit de la traiter en

substance de la même manière, il n*\r ^^^^z*

A^ A'fr w ' 4P *• ,. ^^^*^ pas, sur ce terrain,

de difficultés scientifiques particulièT»*^»^»-»^-^^* ^

4 ^ f ^^ ^rrxGnt grandes à sur-

monter. ^

Les Arabes, en tout cas, poussèrent l'*s* ^ cubiquesjiisqu^à établir des distinctions et ^^s équations en partie d'après les signes des coefQcient^ ^^^ équations, leurs valeurs qui donnent un plus on n^o" ^^ ^^^^^^ d'après de racines : le classement de ce genre le ni ^^^^^nd nombre

dans l'Algèbre d'Omar Alkhaijâmi. Alors ^^ détaillé se trouve particulière, on montre comment le prol/l ^ chaque classe

les sections coniques, et combien il oon^ ^^^^ ^^^ soluble par tant que racines positives — puisque j^ Porte de racines, en dèrent point d'autres. Cependant, le clas^ ^l'abes n'en consiprésente quelques défauts : ils provienn ^'^^'^^ d'Alkhaijâmi dique pas précisément le diorisme qiaj o - ^ ^^ qu'il n'in-

avanlage de la solution grecque par 1^ ^titue le principal

d'autres écrivains arabes réussissent n:i| ^^<^tions coniques; sèment (Alkouhî en particulier) en s^ ^''^ <ians un tel clasnuscrit transmis par Eutocius. ^^formant au ma-

De ce fait que les équations du tr» • élucidées avec plus de détail que dans i- ^^^ïïie degré furent telle qu'on l'avait alors et qu'on la r>o T^^^^'^étrie grecque, nanl, elles servirent aussi plus direct ^^^ ^*^core mainte-

^«lent à la solution

l'abithmëtique et l'algèbre des arabes.

d'autres questions, tant d'origine grecque que nouv les premières, la trisection de Tangle gagne une f( lutions : c'est ainsi que nous devons aux Arabes 1 même que l'on est en droit, peut-être, vu sa conn * les lemmes d'Archimède, d'attribuer à cet écrivain i ^^Ikouhî trouve également la solution du problème q à déterminer un segment de sphère d'après son vo : surface courbe — il y joignit une méthode pour i diorisme correspondant, diorisme que donne Archi i fin de son deuxième Livre sur la sphère et le cyl i p. i53 et i8i).

Ne parvenant pas, cependant, à imaginer une solut raie des équations du troisième degré par radicaux, 1 ; devaient alors s'en tenir à ces équations elles-mê i les problèmes de calcul pratique qui en dépendent; aujourd'hui encore, ce procédé offre plus de facilil ; calcul que l'application de la solution générale. 11 m conservé un exemple fort joli du calcul numériqi racine d'équation cubique; on s'est servi de ce c XV® siècle, pour élaborer les Tables trigonométrique^i Beg, mais il peut fort bien dater d'une époque plus an 5m 3° étant connu, on se propose de trouver 5m i°. pend alors d'une équation de la forme

X étant assez petit, on peut, avec une certaine approx

l'égaler à -p; on calcule, pour cette quantité, une vî

proximative a telle que le reste de la division R soit même ordre que a^.

On a alors, en posant .2: =r a -i-y.

d'où

Comme le reste R, qui est du même ordre que a% e par rapport à a^y, on peut, dans un calcul a]

négliger les termes qui contiennent y au numérateur, et Ton obtient alors, avec une nouvelle approximation,

puis on insère dans Téquation rigoureuse j = 6 -h s, où z à son tour, se détermine de la même manière par approximation, etc., — les fractions étant d'ailleurs représentées comme sexagésimales.

L'objet dii calcul que nous venons d'indiquer ici appartient à la Trigonométrie : nous nous occuperons bientôt de cette branche mais, avant d'abandonner l'Arithmétique, l'Algèbre et la théorie des nombres chez les Arabes, dont nous avons examiné jusqu'à présent les diverses conceptions générales nous allons donner quelques types des résultats obtenus dans ces domaines, particulièrement dans la théorie des nombres

Au ix« siècle, Thâbit ibn Korra joignit à la détermination euclidienne des nombres parfaits (p. i3o) certaines rèeles pour déterminer les nombres que les Pythagoriciens aDoelaient nombres amiables^ c'est-à-dire des nombres tels aue Tun d'eux égale la somme des diviseurs de l'autre (voir d 28 V la règle est la suivante : si jd = 3.2'»^ — . i « = 3 on-i r = 9.2^-i-i sont tous trois des noncib'res premiers absolus, 2«./?.^ et 2'^^ sont alors des nombres amiables.

A partir du ix« siècle (M, les Arabes cit^ o^ * -* ^^o

, ,. . , , ^^ sont occupes des

carres dits magiques : les nombres nnî 1^ * „^«f

,. ^ . j . „ i. ^ ^^s composent sont

disposés en carres de telle façon que les sommes des lignes, des colonnes, et des diagonales, y soient égales. Le plus ancien exemple d un pareil carre magiç,^. ^^^ ..^uve dans une Table chinoise, vieille peut-être de /; - • c'est le

suivant

(') Cette date, plus reculée que celle admise ^^ le titre d'un Ouvrage de Thâbit sur ce sujet ( çj '^^*èL -^ ♦.. ®'^aù

^stronomen jdrabeTij hei^zigj Teuhner, 1900, »v -J^^^> ..y^ • g/tt^

^-fjS^CfM^^^^S

Les Ax-atoes, ^*^^ j^s<lt^'^ x S, 33 et Sq'"' c/^^ avec les noiml^^^^ f^t-m^f ^^ ^^^^^*A/é/V^j qu'on en r>*^"'*^'^'-e , - etCÊ reste, ^^s mathémati'^

jusqu'à /49, ^4 ^* , ^^f^t éëraJement du même c:'^

byzantins s'occ^P^ pfoP^^'*-'^" ^^ ^^ théorie' Mais voioi ««es jK ^^^ ^,^^ mille par AlUt^f

trouvée aux ^"^^"^ f^i^rneat un intérêt m^tU'^ présente incon*^^^*^^^.^ . ^ savoir gue l'équaH-c coup plus consarfj^^^^^^^f sommât,

estmsolubie ^^*^'^"„s j^lkar-ehJ, /^^an-S'-H-

On rencontre, f'^S^-t * ^^ ^ "^re il iî^

grecque pour J^-^ ^ ^^siblir la fj' ^e, il dom il ne parvient /'«^,2//^^«r- la «ff^^^te nous méthode d'Arc/ïii»^^^'^ cit^e ^*^^^^ ^iiéorènn* stration que nous av ^issai^^^ dans la s«

comment les Grecs coH ^^i proë\ ^ ^u ^^- ^^

Au contraire, i/ ^ ^ ""^ oc»"'' -"^ ^^

faitAlkâschf(auxv^sièci^>' ^

il donne pour somme __^__ z-) M'''~+-

5 "^ ^ .^ a.os Arabes.