PREMIER RÉVEIL I>KS MATHÉMATIQUES EN

iecalcul approximatif d'uno racine carrée, ci^' ( p. 261), paraît encore avoir suggéré Vapproxiïï^^ parLéonard,aumoyende la règle des deuxîaUS' pour -une racine cubique dont la partie entière nue : sis/a-i-r est la racine cubique cherchée, « sente Je plus grand nombre entier contenu dan& la valeur approximative est

L'exposition de Léonard, dans le Liber Aha accompagnée, partout, de démonstrations sous f^ trique : c'est également le cas p>onr sa JPracticc ' qui, entre autres, contient des extraits des Uvr€

triques d'Euclide, alors peu con.ràus d'ailleurs

strations y diffèrent souvent de celles d'Euclld cependant personnelles, car on les rencontre éga des écrits arabes plus anciens- Bans les Ouvrages que noias nnentionnons h sous une forme claire, qui dLGrxot.G une assimilati et un libre maniement des matiores, considère le les plus importants d'Arithmét îque, d'Algèbre etd élémentaire, connus avant lui, et les rend plus que ne l'eût fait une simplo traduction des livr: avait puisés : il éclaircit en particulier les questir métique au moyen de nonil3reux exemples. Mais j; propre, même pour surmonter des difficultés sei paraît principalement dans les solutions de qu* blêmes qui lui furent posés par le philosophe de Maître Johan de Palerme, en présence ^^^^"^^ déricll : dans Pun de ces exercices, ^^ .^^%'^^^\ un nombre carré qui, augmenté ou clinn ^^^^^ nouveaux carrés, c'est-à-dire cl^ resouui équations

/' ^ avaient d a étant égal à 5. Ces équations ^^, ^^^ticiens traitées antérieurement par des m^

avaient trouvé que x^-ha et œ^—a sont des nombres carrés à la condition que Ton ait

Au reste, cette condition se déduit aisément du traitement des équations doubles, familier à Diophante (p. 211; cf. aussi premier problème, p. 2i4), joint à la détermination de triangles rectangles rationnels par Euclide; Léonard parvient cependant au même résultat par une voie un peu différente, en utilisant le théorème suivant : Les nombres carrés sont les sommes des premiers nombres impairs.

Après quoi il s'agit de déterminer m et /i de façon que 4/wn (m* — /i*) ait une valeur donnée, 5 dans le cas présent, et Léonard démontre tout d'abord que les nombres de cette forme, si m et n désignent des nombres entiers, sont divisibles par 24; puis, pour obtenir, autant que possible, des équations solubles en nombres entiers, on devra multiplier les équations données par un carré tel que le nouvel a soit divisible par 24. Léonard multiplie par 12'; dans ces conditions

et, par suite, 4i'± 5.i2* sont des nombres carrés; on trouve alors les carrés cherchés en effectuant la division par 12* : ce sont

!;)■• (10' " (fO"

Dans la solution, qu'il établit très généralement, Léonard trouve encore le moyen d'indiquer une détermination de la somme des premiers nombres carrés impairs jusqu'à une limite donnée : voilà donc une addition notable au résultat cherché.

Dans un autre des problèmes posés on demande de déterminer Xy défini par Téquation

Léonard trouve d'abord que x est compris entre i et 2, par conséquent ne saurait être un nombre entier; puis il re-

PREMIER RÉVEIL DES MATHÉMATIQUES ïiis EVÎI\

marque que x ne peut être, ni une fraot,ion. r*^ une des quantités irrationnelles qu'ét,a.l3lît. E.\ic\ dixième Livre. Il comprit d'une façon. pa.r*faiiler\ contenu de ce Livre assez ardu et riu.**!! èt,\ji^ia pour y trouver, autant que possible, clos forme meraient exactement les racines de l'éq\asit,ion xs\ pendant, comme il le déclare, il remp>latoo T>ar t les grandeurs générales représentées géométrie Euclide.

Ainsi donc, la racine n'étant point, uràe avianli connue, Léonard doit se contenter d'essayer urn prochée : il exprime cette valeur erà fratct^ions se sous la forme

i°22'7''42''^3a*v^v^^Arâ^

résultat dont l'excédent n'est que d' i \^^ environ.

Léonard ne dit pas comment il st t^roiavé cette mais, probablement, il ne dut suivre sixictine met minée, prescrite avant lui : comme fersiit encore \ un calculateur exercé, il essaya su.ccessivement, p leurs obtenues déjà, les correction. s qui, vn. toutes tionsde ce cas, devaient paraître les x>l^^s convenabl trouver ces valeurs d'essai, il avait èi sa disposition 1 deux fausses positions (^yx'W'èdi^^x^K, vitiliser en tant qu tion, comme cela ressort de ses csiIculIs. <le racines Du reste, en bon calculateur, il sxit. également ai dénominateurs dans les correctiorks ciiji'il détermi procédé, de sorte que sa métliocle x-essemble assez Viète, ou, comme on l'appelle vulgairement, à U newtonienne pour le calcul aï>I>^o:xLin:^a^if des raci équation algébrique : celle- ci n'est., a.' ailleurs, q tension du processus ordinaire t>ovLr la détermiri chiffres successifs dans une racino ^^*"'^^^. ^^^^^^ thode employée par les astrononaes, a.epu\s ^^\^^ la détermination des fractions sexagésimales co mations successives d'une racinet oarre^e. ^^^

On a constaté, récemment, que. ^''^'^^f^^^^.LvA

choisie de telle sorte que, on ^«^?'^"**";' ^^^. oA^eV

fractions sexagésimales, et

g LE MOYEN ACÏK.

Lé les corrections successives, on obliont relativement ^r-cs

te la vraie valeur, à un petit écart près .

Suivant cette dernière remarque, Léonard partage p^^^^t-

re l'honneur de cette grande approTtimation avec celui cjiJi

posé le problème : il est même pos5iih>le encore que ce s

îonard lui-même qui, à Toccasion cle la séance solennelle

ésence de l'empereur, ait inspiré IMaître Johan; mais celci/ TT ^— ^\

ipendant, Sicilien, et qui accompag-naiit cet empereur éprk

î science arabe, peut également avoir emprunté le problèm

IX mathématiciens arabes eux— nnêmes. Personnellemem

îonard était évidemment un discip>le des Arabes; on vo:

me bien que ceux-ci avaient dû. poxisser la science math^ ^

atique assez loin pour permettre à xjltx calculateur éminer> ^

aborder une valeur approximative aussi délicate : Texempl^

une pareille approximation, chez un écrivain arabe (p- 263 J>,

a de quelques siècles plus récenl.

Léonard de Pise avait clairement, exposé ce qu'il y avait c^e

ius accessible et de plus important dans les Mathématiques

^abes et byzantines d'alors. Mais, de ce fait, ces Malhéma-

ques n'étaient pas devenues le h>ieri commun de tous ceu?^

ni s'occupaient de cette science en Europe; VvTO^^^^^'*'^

existait pas et, entre les savants, îi ^y ' ,

îtif commerce qui, jadis, unissait l^s Grecs A^V^N^

>in. La caste savante du temps, le clergé ^^^^^^ ^^^\^

lonastiques particulièrement, puis l^^s Uni^^^^^^i ^^X\!

n bien des contrées; mais, pendant fort 1 aste ne parait pas avoir subi Tinfliaence -^ -

eu à peu de ces cercles, étendaient seins cio^*te\^^'^^^S^ ^^Ï^\

ans la sphère commerciale italienne, dont 1^ ^^^ ^*^f* ^^^*^^ empereur hérétique, Frédéric, n'éte^i^j^^ f ^^^Ppo/^^o^.^*^

ecommandation. ^ ^''^ U/j f^^ ^Ve^*

Quand nous parlons ici, toutefois, ^^ ^*^e ^J^

'Universités, il ne faudrait pas se Og-nrer ^^^^/^^ ^^v^/, 'éducation où l'on enseignait, toujours, ouel^^^blitr^ ^^ ^^

lathématiques; sans doute, dans les Uni^"^^tl\ ine Faculté des Arts où l'on préparait ^ d'^^^vl^Mft vancées,mais cette préparation se Hn^îts^îi^^^^V riçium (d'où le mot trivial), qui cortip^,^ ^^%^ ^ a Rhétorique et la Dialectique, pour ixe^j. ^^^^^S^ ^^^

umui

Éléments d'Euclide devint, par la sizit^, la source pri^^^^P^.^ où Ton puisa la connaissance de cet Oixvra^e capital ^^' ^ même, avait ajouté quelques études noxivelles, coVà^^ ^^

de la somme des angles du pentagone étoile- L'i'^P^'^*^''

mathématicien anglais Bradwardin Ciîaoo-x349) devait aViet encore plus loin dans cette voie : il ét.ail>lit des propositions générales sur la somme des angles de i>olygones étoiles.

A côté de ces recherches plus origir^g^l^^^ on continua àe traduire les Arabes et, plus tard, les Grecs aussi. L^^ éc.t\Vs de Léonard eurent bien toujours qtxelqiie influence dans le nord de l'Italie où, 3oo ans plus lax^cl, une ieune scVetice mathématique féconde devait se faire jour* de même pour d'autres lieux où, durant ces 3oo aràrx^es, les' nroecrès aUaîenl se manifester lentement. — Mais nou s rxe* voulons pas insister ici sur ces développements, et il r^ous suffira d'indiquer quelques exemples des progrès ^ff^otivement réalisés.

Il faut mentionner, notamment, ciexxx: Ouvraees du tnaibématicien français Nicole Oresme (envi^^^ ,3 3 1382) *

Le premier est intitulé rrac^a^^^^ ^^ l^^^.lainibus/orma^ rum : les mots longitude et Icttii^^^^ ^^ g^^ p\at\,

désignent ici la même chose ^^'^Pplici^x'^s^FV'^^Vièrcc'e^/-^dire des coordonnées rectangulaires ; ^^ j, luprend sur-

tout le sens de ces dénominatiorxs e^n ^^ ^^ ^^ i^s

coordonnées sont figurées à l'mtér^i^^^ H^^^''Tclaag\e, Aowl la plus grande dimension se trouve clsin^ 1 ^^ ^ ^ des abscisses (c'est-à-dire de la longitude). Dai^s ^^^ J%f ^"^tnvéseuUliotv, les diverses intensités d'un Pl^ériorï^Jr.^"^^ ^tirM ^^^^^^^'' comme la chaleur, sont figurées par- 1^^ ^^ '^^ 'es (U^i^^^^^' avec les temps correspondants pour sife^ ^'^^^'^^^oneUude),^!, par cette méthode, on obtient un ^rsir^h.^^^^s ^ i variations de la chaleur en fonction du temps, ^xx rti ^^ ^^ courbe. -

Oresme fait déjà cette observation tr^^ i^'^^'^ ^" ""^^rauec'estaw voisinage des maxima et mininia qvi^ /^Porta. ^^ \^\.\^P^ faible. - On voit que rapplicatioti ^^s '^^'^^^ '^^^ées aveclu^;

est d'une tout autre nature que ch^z: j ^^^^^<ior^ * Grecs, bien qu'il paraisse y renvoyer : ^tcepen^^^^ ancien ^ faut très probablement admettre que, m directe r^ *^ ixoi:».^ lavoieinfr recte des Arabes, il ne put avoir ^ J^J> ni ^> ^^^i^^ance de rapplicationgéometrico-algebriq^^ e^ ^^^ ^^^^ rnrdonuées'a