DIX-SEÏ>TIÈME SIÈCLE

déoniétrle* méthodes AouTellefl.

L'idée de l'infini, qui semblait destinée à ne point sortir des limites de la métaphysique, gagna de plus en plus Tesprit des géomètres, sous la forme d'une question de méthodes, où l'on voit figurer les noms d'indivisibles, de tangentes, de maxima et minima, d'infinitésimales^ de fluxions^ de différentielles^ etc. Parfni les auteurs ou promoteurs de ces méthodes, qui Changèrent la face de la géométrie, nous devons placer au premier rang, Galilée^ Cavalieri^ Guldin, Descartes, Fermât, Pascal, Roberval, Wallis, etc. A ces noms-là il faudra plus tard ajouter ceux de Leibniz, Newton, Bérnoulli, etc.

Galilée.

Galilée, dont nous avons déjà parlé ailleurs*, considérait les mathématiques comme l'instrument le plus propre à identifier l'esprit humaip en quelque sorte avec la pensée créatrice en lui faisant pénétrer les secrets des phénomè-

1. Hiiimre de Vastrommie, p. 370-363 ; et Histoire de la physique^

nés de la nature. Armé de cet instrument, Galilée est parvenu à laisser un nom ineSaçable dans l'histoire de la physique, de la mécanique et de Fastronomie. Mais il a aussi sa place marquée dans l'histoire des mathématiques, ne fût-ce que pour avoir déterminé « la trajectoire » (parabole] décrite par un corps qui, en tombant, ne suit pas la verticale, et surtout pour avoir imaginé le calcul des indivisibles, c Bien que Galilée n'ait jamais publié ses recherches à ce sujet, il est certain, dit Libri, qu'elles avaient précédé celles de Cavalieri. Les persécutions dont Galilée fiit victime l'empêchèrent seules d'achever l'ouvrage que depuis longtemps il préparait sur les indivisibles, » Le même historien nous apprend que « Gralilée avait commencé à s'occuper du calcul des probabilités : en cherchant à résoudre un problème qui se rattache à la partition des nombres, il avait distingué fort à propos les arrangements des combinaisons ^ et Ton voit, par ses Lettres, qu'il s'était longtemps occupé d'une question délicate et non encore résolue, relative à la manière de compter les erreurs en raison géométrique ou en proportion arithmétique, question qui touche également au calcul des probabilités et à l'arithmétique politique*. »

CaTalieri.

Bonaventure Cavalieri (né à Milan en 1598, mort à Bologne en 1647) entra jeune dans Tordre des Hiéronymites, devint, à trente et un ans, professeur de mathématiques à l'université de Bologne et mourut dans la force de l'âge *. Cavalieri doit sa célébrité à la méthode des indivisibles^ qu'il a exposée dans sa Geometria indivisibilibiis

1. G. Libri^ Histoire des mathématiques en Italie, t. IV, p. 288.

2. Voy. G. PoUa, Elogio di B. Cavalieri, Milan, 1844; et une note de Ferd. Jacoli^ dans le Bullettino di Bibliografia et di Storia délie science m4ithematiche, etc., de M. B.Buoncompagni^ année 1869, juillet.

contirmorum nova quadam rationepromota (Bologne, 1635, in-4, réimprimée en 1653 et développée dans ses Exercitationes geœnetricx (ibid., 1647). — Les indivisibles de Gavalieri ne sont, au fond, que les petits solides ou les parallélogrammes inscrits ou circonscrits d'Archimède, multipliés à un tel point que leur différence avec la figure qu'ils environnent soit moindre que toute grandeur donnée. « Mais tandis qu*Archimède, à chaque fois qu'il entreprend de démontrer le rapport d'une figure curviligne avec une autre connue, emploie un grand nombre de paroles et un tour indirect de démonstration, Gavalieri, s'élançant en quelque sorte dans l'infini, va saisir par l'esprit le dernier terme de ces divisions et sous-divisions continuelles qui doivent anéantir enfin la différence entre les figures rectilignes, inscrites ou circonscrites, et la figure curviligne qu'elles limitent. C'est ainsi qu'on détermine la somme d'une progression géométriquement décroissante en supposant le dernier terme égal à zéro ; car, quoiqu'on ne puisse jamais atteindre ce terme, l'esprit voit cependant avec évidence qu'il est plus petit que toute grandeur assignable, quelque petite qu'elle soit : il n'y a que le rien qui soit réellement moindre que toute quantité possible*. »

La méthode des indivisibles n'est donc que la méthode à.'exhaustion des anciens, simplifiée et généralisée. Sans doute on peut chicaner les géomètres sur le mot àUndivir sibleSy comme on peut chicaner les chimistes sur le mot ai atomes ; mais, loin de conduire à Terreur, cette méthode est éminemment propre à faire découvrir des vérités insaisissables par d'autres moyens.

La première et principale partie de la géométrie des indivisibles peut se ramener à cette proposition fondamentale : Toutes les figures dont les éléments croissent ou décroissent semblabkment de la base au sommet sont à la

figure uniforme de même base et de même hauteur en même rapport. Il est facile de déterminer par là les centres de gravité d'une multitude de figures. La seconde partie des indivisibles a pour objet de trouver le rapport de la somme avec r infinité des lignes ou des plans ^ croissants ou décroissants, avec la somme d'un pareil nombre d'éléments homogènes à ces lignes ou plans, mais tous égaux entre eux. Un cône, par exemple, se compose, suivant le langage de Gavalieri, d'une infinité de cercles décroissants de la base au sommet, comme, de son côté, le cylindre, de même base et de même hauteur, se compose d une infinité de cercles égaux. « On aura donc, ajoute Montuda, la raison du cône ou cylindre, si l'on trouve le rapport de la somme de tous ces cercles décroissants dans le cône et infinis en nombre, avec la somme de tous les cercles égaux du cylindre, dont le nombre est également infini. Dans le cône, ces cercles décroissent de la base au sommet, comme les carrés des termes d'une progression arithmétique. Dans d'autres corps, ils suivent une autre progression ; dans le conoïde parabolique, par exemple, c'est celle des termes d'une progression arithmétique. L'objet général de la méthode est d'assigner le rapport de cette somme de termes croissants oy, décroissants y avec celle des termes égaux dont est formée la figure uniforme et connue, de même base et de même hauteur, »

D'après ce qui vient d'être exposé, Yindivisible est ce qu'on a depuis nommé Vêlement différentiel. Si Gavalieri eût songé à appliquer sa métl^ode au calcul, il aurait fait ce que fit vingt ans plus tard Wallis, et peut-être aurait-il devancé Leibniz dans l'invention du calcul difiérentiel. Mais les idées fécondes se développent lentement. Les géomètres, contemporains de Gavalieri, habitués à la rigueur des démonstrations scolaires, trouvaient déjà bien étrange d'entendre dire que « le continu est composé d'un nombre infini de parties insécables, derniers termes de la décomposition qu'on puisse en faire en le subdivisant

continuellement en tranches parallèles entre elles, » Aussi le P. Guldin accusait -il Cavalieri de relâchement en géométrie. Le géomètre italien montra, en revanche, que ce reproche était mieux mérité par son adversaire. Cette polémique eut pour effet de forcer Cavalieri à s'expliquer plus clairement et à restreindre sa méthode.

Guldin.

Paul Guldin (né à Saint-Gall en 1577, mort à Graetz en 1643) a déjà été mentionné à propos d'un théorème de Pappus (p. 263). D'une famille juive qui s'était convertie au protestantisme, il exerça d'abord le métier d'orfèvre. Plus tard il abjura le protestantisme dans lequel il avait été élevé, et entra dans l'ordre des jésuites, en changeant son prénom à'Habacuc contre celui do Paul, A partir de 1609 on le voit enseigner les mathématiques dans différents collèges de la Société, à Rome et à Graetz. On doit considérer comme une des plus belles conceptions géométriques la liaison que Guldin établit entre les figures^ leurs centres de gravité et les solides ou surfaces qu'elles engendrent en tournant autour d\m axe. Pour bien comprendre cette méthode, il faut se rappeler qu'il y a dans toute figure un point, nommé centre de gravité, qui est tel que si Ton imagine cette figure traversée par un axe passant par ce point, toutes les parties resteront en équilibre autour de cet axe. Une autre propriété du centre de gravité est, que si l'on conçoit une ligne quelconque tirée hors de la figure, et que cette ligne soit comme l'axe autour duquel elle tend à tourner, le produit de la figure entière par la distance de son centre de gravité à cet axe est égal à la somme des produits de chacune de ses parties par la distance de son centre de gravité propre au même axe. Cela résulte clairemeut de la nature même du centre de gravité.

Le P. Guldin a expliqué sa méthode dans ses Centrobarytica, seu de centra gravitatù trium specierum quantû tatis continuXy libri IV ; Vienne, 1635-1642, 2 vol. in-fol. On y trouve les moyens de déterminer Jes centres de gravité dans les arcs de cercle, les secteurs et les segments, tant circulaires qu'elliptiques, ainsi que l'application de cette règle fondamentale : Toute figure formée 'par la rotation d'une ligne ou d'aune surface autour d'un axe immobile est le produit de la quantité génératrice par le chemin de son centre de gravité. Prenons pour exemple le cône, qui peut être engendré par un triangle rectangle, tournant autour d'un des côtés (axe) qui comprennent l'angle droit. Or, la distance de cet axe au centre de gravité du triangle générateur est le tiers de la base ; le centre de gravité décrit conséquemment une circonférence qui est le tiers de celle que décrit l'extrémité de cette base. Le cane est donc, suivant la théorie de Guldin, le produit du triangle générateur par le tiers de la circonférence décrite par V extrémité de là base; d*où l'on déduit facilement qu'il est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur; de même que, par la position du centre de gravité du demi-cercle, on montre aisément que la sphère qu'il produit en tournant autour du diamètre, est les deux tiers du cylindre de même base et de même hauteur, comme aussi que sa surface est égale à la surface courbe du cylindre ; que le conoïde parabolique est la B(ioitié du cylindre de même base et de même hauteur, "etc. a Mais ce ne sont là, il faut en convenir, dit Montucla, que des inductions qui, quoique favorables, ne sont point suffisantes en géométrie, où l'on a droit d'exiger des preuves qui forcent le consentement. Guldin fait, à la vérité, quelques efforts pour démontrer directement sa règle ; mais il y réussit mal, et il eût peut-être mieux fait de s'en tenir à ses inductions que de former un raisonnement aussi peu digne d'un mathématicien que le suivant : Il disait, par exemple, que la

distance du centre de gravité à Taxe de rotation tenait un milieu entre toutes celles des différentes parties de la figure à cet axe; que ce point était unique et que, par conséquent, si quelqu'un devait jouir de la prérogative énoncée, ce devait être le centre de gravité*. » C'est ce raisonnement dont Gavalieri fit particulièrement ressortir la faiblesse dans sa polémique avec le P. Guldin.

Les principe^ de la géométrie nouvelle, retrempés aux sources de l'antiquité, étaient pour ainsi dire partout dans l'air. Pendant que Gavalieri publiait en Italie sa Méthode des in divisibles^ les géomètres français étaient en possession d'une méthode semblable. Ainsi il résulte d'une lettre que Roberval^ dont nous parlerons plus bas, adressa en 1644 à Torricelli, que « longtemps avant que Gavalieri mît au jour sa méthode-, il en avait une fort analogue qu'il s'était formée par la lecture approfondie des œuvres d'Archimède; mais, plus attentif que Gavalieri à ménageries oreilles des géomètres, il l'avait dépouillée de ce que celle de Gavalieri avait de choquant dans les termes et même dans les idées...; qu'il l'avait gardée in petto, dans la vue de se procurer une supériorité flatteuse sur ses rivaux par la difficulté des problèmes qu'elle le mettait en état de résoudre...; que, pendant qu'il se réjomssaÂi juvenilitery Gavalieri publia ses Indivisibles. » — Juste punition de cette vanité égoïste qui s'était, comme un mauvais génie, emparée de l'esprit de la plupart des géomètres du dix-septième siècle.

Descartes*

René Descartes (né le 31 mars 1596, à la Haye, petit bourg entre Tours et Poitiers, mort à Stockholm, le 11 février 1650) fait époque dans l'histoire des mathé-

matiques aussi bien que dans celle de la philosophie. Nous ne rapporterons ici que les particularités les plus remarquables de sa vie^ Élevé au collège des jésuites de la Flèche, il s'engagea au service de la Hollande, et, à la fin d'avril 1617, il vint, en qualité de volontaire, rejoindre les troupes du prince Maurice de Nassau, alors à Breda. Ce coup de tête, il l'attribuait à « l'effet d'une chaleur du foie » ; car il n'avait personnellement aucun goût pour le métier des armes ^. C'est dans la ville de Breda que Descartes résolut, en moins d'une heure, un problème de mathématiques, publiquement affiché par un inconnu. Après que la guerre de Trente Ans eut éclaté en Allemagne entre les protestants et les catholiques. Descartes quitta le service de la Hollande et s'engagea dans les troupes du duc de Bavière, général de la ligue des catholiques. Pendant son séjour à Ulm, en 1619, il gagna l'amitié du mathématicien Jean Faulhaber, par la solution inattendue des problèmes que ce dernier lui avait proposés. On voit que les mathématiques étaient pour lui un délassement. Ce fut vers la même époque qu'il inventa, par le moyen d'une parabole, « Fart de construire d'une manière générale toutes sortes de problèmes solides, réduits à une équation de trois ou quatre dimensions, » méthode qu'il exposa plus tard dans le HP livre de sa Géométrie, — Vers la fin de septembre 1619, il quitta Ulm pour se rendre en Bohême, et il arriva à Prague peu de temps avant la fameuse bataille qui y fut livrée le 7 novembre 16â0. Descartes ne paraît pas y avoir pris

1. Voy., pour plus de détails, notre article Descartes j dans la Biographie générale.

2. «Pour moi, dit-il dahs une de ses Lettres, qui considère le métier de la guerre en philosophe, je ne l'estime qu'autant qu'il vaut, et même j'ai bien de la peine à lui donner place entre les professions honorables, voyant que Voisiveté et le libeftinagc sont les deux principaux motifs qui y portent aujourd'hui les hommes. » (Lettre cxyiii du tome II de la collection de 1656.)

une part active ; ce qui Tintéressait plus que toute autre chose, c'était de voir à Prague les instruments astronomiques que Tycho avait fait transporter du Danemark au palais de Tempereur Rodolphe. Après avoir quitté, dans la même année, le service militaire, il parcourut la Moravie, la Silésie, une partie de la Pologne, la Marche de Brandebourg, visita les côtes de la mer Baltique, celles de la mer du Nord, et rentra en France par les Pays- Bas au commencement de 1622. Mis en possession des biens de sa mère, il reprit sa vie vagabonde; en passant par Paris, il revit ses amis, au nombre desquels se trouvait le P. Mersenne, se dirigea à travers la Suisse et le Tyrol, sur lltalie, et arriva à Rome vers la fin de 1 624. Au printemps de Tannée suivante, il fut de retour en France. Les années 1626 et 1627 de son séjour à Paris, il les employa en grande partie à des recherches sur Toptique. A la fin de mars 1629, il se mit en route pour la Hollande, afin de vaquer plus com,modément et en paix à ses divertissements d'études. Il résida le plus souvent dans un petit château, situé aux portes de Franeker, et surtout à Egmont, beau village dans les environs d'Alkmaer. Son séjour en Hollande fut de vingt ans (de 1629 à 1649) ; dans cet intervalle il composa ou revit presque tous ses travaux. Le l*"" septembre 1649, il quitta Egmont pour se rendre à Stockholm, sur l'invitation pressante de la reine Christine. Il y mourut quelques mois après, dans sa cinquante-quatrième année.

Application de l'algèbre à la géométrie.

L'idée de ramener les courbes à çles droites est tout à fait naturelle à l'esprit humain, conséquemmeul fort ancienne. Le point difficile était de trouver, entre les droites et les courbes, des rapports qui permissent de conclure de la connaissance des premières à la formation des secondes. Euclide avait montré que « quand quatre

droites sont issues du même point, elles forment sur une transversale, menée arbitrairement dans leur plan, quatre segments qui ont entre eux un certain rapport constant, quelle que soit la transversale. » Soient, par exemple, o, 6, Cj d, les points où les quatre droites sont rencontrées par une transversale quelconque, et ac, ad, bc, bd^

, , dc bc

les quatre segments; U rapport — : t^ stra constant ^

quelle que soit la transversale. M. Ghasles [Aperçu historique, p. 33) a très-bien fait ressortir l'importance de cette proposition pour montrer en quelque sorte le passage de. la géométrie ancienne à la géométrie moderne.

A la théorie des transversales se rattache le fameux problème ad très aut plv/res lineaSj rapporté par Pappus comme Técueil des anciens. Il s'agissait, « étant données plusieurs droites, de trouver le lieu géométrique d'un point tel que les perpendiculaires^ ou^ plus généralement^ les obliques abaissées de ce point sur ces droites^ sous des angles donnés^ satisfissent à la condition, que le produit de certaines d^entre elles fût dans un rapport constant avec le produit de toutes les autres» Cette question, qui avait exercé la sagacité d'Euclide et d'Apollonius, fut reprise par Descartes en lui donnant le nom de Problème de Pappus, qui lui est resté*. Euclide et Pappus ne l'avaient

l.Ge fut probablement à cette occasion que Descartes, contrairement à son dédain habituel pour le passé, écrivit ces lignes d'une saisissante justesse : « Je me persuade que certains germes primitifs des vérités que la nature a déposés dans Tintelligence humaine , et que nous étouffons en nous à force de lire et d'entendre tant d'erreurs diverses, avaient, dans cette simple et naïve antiquité, tant de vigueur bt de force, que les hommes éclairés de cette lumière de raison qui leur faisait préférer la vertu aux plaisirs, Tbonnôte à l'utile, encore qu'ils ne sussent pas la raison de cette préférence, s'étaient fait des idées vraies de la philosophie et des mathématiques, quoiqu'ils ne pussent pas encore pousser ces sciences jusqu'à la perfection. Or, je crois rencontrer quelques traces de ces mathématiques véritables dans Pappus et Diophante. » (Descartes, Régies pour la di" rection de Vesprit, iv« règle.)

résolu que pour trois ou quatre droites, auquel cas le lieu géométrique est une section conique ; d'où cette propriété générale des sections coniques : « Quand un quadrilatère quelconque est inscrit dans une conique, le produit des distances de chaque point de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du même point aux deux autres côtés dans un rapport constant; » — beau théorème dont Newton a donné une démonstration par la géométrie pure. Descartes fit du problème de Pappus la première application de sa géométrie ^ , Il importe de faire ici bien comprendre la pensée directrice. Gomme tout esprit prompt à saisir le rapport des choses, Descartes ne tut pas sans doute longtemps sans trouver que deux lignes droites, dont Tune augmente suivant que Tautre diminue dans un rapport constant, tel que la première devient un maximum^ pendant que la seconde devient un minimum ou égale à zéro, et réciproquement, peuvent servir à tracer des courbes, et que leur formation peut s'exprimer algébriquement et même numériquement. Prenons pour exemple le cercle, né d'une section parallèle à la base d un cône. On peut le considérer de deux manières difTérentes. D'après la conception la plus simple, « le cercle est une courbe dont tous les points sont également éloignés d'un autre qui est le centre. » Cette conception, depuis longtemps connue, pouvait déjà conduire les anciens à la théorie des lieux géométriques. Mais ils savaient aussi que tous les triangles inscrits dans un cercle, qui ont pour base le diamètre et dont l'angle opposé touche à la circonférence, sont des triangles rectangles, et que la perpendiculaire abaissée de Fangle droit (qui touche à la circonférence) sur le diamètre (hypoténuse du triangle rectangle inscrit) est moyenne proportionnelle entre les segments de celui-ci, c'est-à-dire que le carré de la perpendiculaire est égal au produit rec-