M. Chasles, Aperçu historique, etc., p

tangulaire de ces segments; enfin ils n'ignoraient pas que la perpendiculaire (moyenne proportionnelle) et les segments du diamètre (hypoténuse) sont dans un râp|;ort constant, en un mot que ces lignes sont coordonnées. Rien de plus naturel que de donner à ces lignes, qui fixaient ainsi l'attention, des noms particuliers, d'appeler ordonnée la perpendiculaire, axe le diamètre, et abscisses les segments de l'axe ou du diamètre. La réunion de ces données devait conduire à une manière toute particulière de considérer le cerde. D'après cette conception, plus élevée ou plus complexe, « le cercle est une courte dans laquelle , ayant tiré un diamètre quelconque, si d'un point quelconque, pris à la circonférence, on mène une perpendiculaire (ordonnée) à ce diamètre (axe), le rectangle des abscisses sera égal au carré de cette perpendiculaire, ou bien ce carré sera égal au carré du rayon moins celui du segment intercepté entre elle et le centre. » C'est là, dans la théorie des courbes, telle que la connaissaient les anciens, la propriété caractéristique du cercle, c'est

V équation de cette courbe. Elle a pour expression : AFxFB = FD% c'^tà-dire que le rectangle des abscisses (segments du diamètre) est égal |n au carré de lordonnée (fig. 28).

Si l'on veut traduire cette formule en langage algébrique, il faudra d'abord mettre d'un côté les quantités qui, dans la même courbe, peuvent varier, et mettre de l'autre les quantités constantes. Les premières sont les abscisses et les ordonnées ; les secondes, le diamètre ou le rayon. Les abscisses sont désignées par x et les ordonnées par y. Le choix des dernières lettres de l'alphabet pour désigner des quantités variables est une heureuse innovation, mais antérieure à Descartes. Si Ton désigne par a le diamètre AB (axe des abscisses), a représentera la

Fig. 28.

quaptité constante. D'après cette notation, on aura, pour les segments du diamètre (abscisses), AF=a?, FB=a — ar, dont le produit rectangulaire x{a — x) est égal au carré de Tordonnée |/*, c'est-à-dire xa — a?' = y*. L'équation sera la même si on la rapporte au centre G. Dans ce cas, la constante étant le demi-diamètre ou rayon R, les segments de Taxe ou abscisses seront R — x et R-f-a?, dont le produit rectangulaire (R-f-rr) et (R — x) est encore égal au carré de l'ordonnée j/^, c'est-à-dire R^ — x'^=y^^ ce qui, pour le répéter, signifie que le carré de l'ordonnée est égal au carré du rayon, moins le carré du segment intercepté entre l'ordonnée et le centre. Dans ce cas, c'est le rayon R qui est l'hypoténuse (quantité constante), représentée paj* Om, Om', Om,'\ ordonnées (fig. 29) des triangles rectangles, dont mp, m'p', m"p".,, et les abscisses Op, Op', Op"..., sont les catbètes. Ces perpendiculaires (ordonnées et abscisses), dont les unes diminuent pendant que les autres augmentent dans un rapport constant, méritaient donc d'être désignées par des symboles, tels que X et 1/, affectés aux quantités changeantes. L'expression R2=flj*-|-i/2 (carré de l'hypoténuse) donne tous les

points de la circonférence; de là on tire y = ±^B} — a?'. Si a; = 0, on aura y = dz R, ce qui donne les points BD (-|-Rpour B, — RpourD); 8ia?=zhR, on aura î/==fcO, ce qui donne tous les points G et A (-|- R pour G, — R pour A). Que y décroisse d'une manière continue depuis dzR jusqu'à 0, pendant que x croît à proportion depuis 0 jusqu'à dbR, et on aura tous les points intermédiaires*.

1. M. Bordas-Demoulin {le Cartésianisme, p. 382, édit. de 1874) rappelle ici avec raison que Fermât s'était occupé, .à peu prè^ en

Quelle que soit la forme qu'on donne à Yéquation du cercle^ que nous venons d'exposer, elle est toujours du second degré entre deux variables. Il en est de même des équations de Tellipse, de la parabole et de l'hyperbole*.

même temps que De.' cartes, du moyen de représenter algébriquement les lieux géométriques ou de Tapplication de l'algèbre à la géo' métrie. Voici, en effet, ce qu'on lit dans l'Introduction de Fermât aux lieux géométriques (il diocos pianos etsoUdos Isagoge, p. 2) : « Soit f^ZJA une droite donnée de position, et un point donné sur cette droite. Posons NZ égal à la quantité variable A, et, suivant l'angle donné NZI, menons la droite ZI, égale à une autre quantité variable

B D E. Si l'on fait -7=*?) ^^ point! se trouvera sur une droite déterminée

par la relation DA=BË. En effet, on aura B : D :: A:£. Donc le rap-

port— se trouve déterminé, et d'ailleurs l'angle NZI est donné.

Donc le triangle NIZ est déterminé en grandeur, et par conséquent aussi l'angle INZ. Mais la droite NZ et le point N sont donnés de p6^ sition ; donc la droite NI sera également donnée de position, et il sera facile de la construire. » — Les quantités inconnues, ignotœ, ou variables étant ici représentées par A et E, l'équation DA = BE s'écrirait aujourd'hui : I)x=zBy, ou y==5«. C'est bien Véquation de la ligne droite passant par Vorigine des coordonnées , qui est ici le point N.