Pour Véq%ui%ion de Vellipse, on a l'expression algébrique

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y»= -, , ou p(2aa?-a;»),

où a désigne le demi grand axe ou la moitié de AB (fig. 30), h le demi petit axe ou la moitié de gg', x l'abscisse AF, et y l'ordonnée FD; en d'autres termes, Vordonnée de -Vellipse est égale au rapport du demi grand axe au demi petit axe, multiplié par le double produit du demi grand axe par Vahscisse, diminué du carré de Vàbscisse,

Pour Véquation de la parabole, on a l'expression algébrique y^ = px, où y désigne l'ordonnée FD, p le para~ mètre (ligne ou quantité constante), et X l'abscisse ou segment AF de l'axe (fig. 31); en d'autres termes, la propriété caractéristique de la parabole est d'avoir le carré

Mais à quoi pouvaient servir ces expressions algébriques? C'est ce que s'était certainement demandé Descartes. Grâce à son esprit métaphysique, uni à la sagacité du géomètre^ Descartes trouva dans ces expressions tout un résumé commode, un tableau raccourci des propriétés manifestes d'une courbe, en même temps que la clef de ses propriétés les plus abstraites.

Une courbe tracée n'est, pour le rappeler, au fond, autre chose que la solution géométrique d'un problème indéterminé, c'est-à-dire qui peut recevoir une infinité de solutions. C'est ce que les anciens appelaient lieu géométrique. Car, bien qu'ils n'eussent pas l'idée d'exprimer les courbes par des équations, ils avaient vu pourtant qu'une courbe géométrique n'était que le lieu^ c'est-à-dire la suite d'une infinité de points qui satisfaisaient à la même question; par exemple, que le cercle est le lieu de tous les points indiquant les sommets des angles droits qu'on peut former sur une même base donnée, laquelle base est le diamètre du cercle*.

d*une ordonnée quelconque à l'axe égal au produit rectangulaire du segment intercepté entre cette ordonnée et le sommet de la parabole par le paramètre. Les équations du cercle, de Tellipse et de la parabole sont les plus simples, parce qu'on y compte ordinairement Torigine des abscisses du sommet de la courbe. Mais il n'y a là rien d'absolu, l'axe et l'origine des abscisses pouvant être choisis à volonté. C'est pourquoi une même courbe peut être exprimée de beaucoup de manières différentes. Cependant c'est toujours la puissance (degré de l'équation) d'une ligne multipliée une fois, deux fois.... p| gj

n fois avec elle-même (équation du second, du troisième,... du n"" degré), augmentée ou diminuée de quelque quantité constante, qu'on substitue à une puissance semblable dans l'équation primitive. Il suit de là que, de quelque façon que soit posé l'axe, la plus haute puissance de l'équation d'une courbe donnée ne pourra jamais ni s'élever ni s'abaisser d'un degré, c^est>à»dire qu'elle est invariable.

1. Les puissances engagées dans les équations ont fourni un moyen

Descartes fit une distinction plus exacte des courbes géométriques et des courbes mécaniques, anciennement assez mal définies. Suivant ce philosophe géomètre, il faut appeler géométriques toutes les courbes dont on peut déterminer les points par la composition de deux mouvements, qui ont entre eux un rapport exactement connu. Ainsi, le conchoïde, la cissoïde, etc. , appartiennent à la classe des courbes géométriques ; tandis quQ la spirale, la quadratrice, la cycloïde, la logarithmique, etc., rentrent dans la classe des courbes mécaniques^ parce qu'on ne connaît pas encore les rapports des mouvements qui les engendrent. Mïiis cette division des courbes, donnée par Descartes, fut plus tard modifiée par Leibniz. En les faisant toutes rentrer dans la géométrie, il distinguait les courbes qu'il appelait algébriques des courbes qu'il nommait transcendantes. Les courbes algébriques sont celles dont le rapport des abscisses et des ordonnées s'exprime par une équation algébrique finie. Les courbes transcendantes sont celles dont l'équation renferme un nombre infini de termes, à moins qu'on ne remonte, par un heureux artifice, au rapport de leurs différentielles ou de leurs éléments infiniment petits.

Il serait trop long de nous étendre ici sur les différents essais que Descartes fit de son analyse. On les trouve partiellement exposés dans la Géométrie qui formait la dernière des applications de sa rîiéf/iode*. On a reproché à Descartes d'avoir été obscur à dessein. Mais il en convient lui-même. « J'ai omis, dit-il, dans ma Géométrie^ beau-

de classer les courbes. Ainsi, on appelle courbes de premier ordre celles où la plus haute puissance est linéaire; courbes de second ofdre, celles où la plus haute puissance est carrée, et ainsi de suite. Celle classification est un peu différente de celle qui avait été proposé(î primitivement.

1. La première de ces applications ou essais de la méthode exposée dans son Discours de la Méthode comprend lu Ui'opirique, lii seconde left Uétéoresy et la troisième ou dernière la Géométrie.

coup de choses qui pouvorênt y être aputées peur la facilité de la pratique. Toutefois, je puis assurer que je n'ai rien omis qu'à dessein, excepté le caé de l'asymptote que j'ai oublié. Mais j'avois prévu q^e certaines gens. qui se vantent de sçavoir tout n'auroient pas manqué de dire que je n'avois rien écrit qu'ils n'eu&sent sçu auparavant, si je rhe fusse rendu assez intelligible pour eux. 5> — C'étaient là, il faut l'avouer, des préoccupations au moins étran'ges chez un homme de génie. Pascal et Leibniz n'avaient pas cet égoïsme de savant : ils semblaient, au contraire, heureux de rencontrer, sur leur chemin, des hommes capables de les comprendre et de s'approprier au besoin leurs idées.

Méthode des tangentes. — Nouveau mcMe d'analyse.

LéS^anciensgéom'ètres appelaient tangente à une courbe ce une droite q^ui, ayant un point commun avec la courbe, était telle qu'on ne pouvait mener par ce point aucune autre droite entre elle et la courbe. » Cette définition, crrg^e en principe, leur permit de déterminer les tangentes dans quelques-unes des courbes qu'ils connaissaient. Mais les géomètres modernes furent conduits à considél'ér les tangentes autrement. Leurs points de vue cejjendant diffèrent. Les uns, en tête desquels étaient Descaltes et Fermât, quoique leurs solutions fussent trèsdifférentes, regardaient les tangentes comme des sécantes dont les deux points d^ntersection sont infiniment rapprochés ou pour ainsi dire réunis; Les autres, tels .quÎB Roberval, concevaient les tangentes comme la directÂon du moavemmt composé par lequel la courbe peut être décrite. D'autres enfin les considéraient comme le prolongement des côtés infiniment petits de la cowrbe présentée comme un polygone d'une infinité de côtés. Cette* dernière manière de voir, aujourd'hui la plus usitée, fut introduite dans la seientepar BaïroW; Cependant la j>rômière définition fut depuis reprise par Maclaurin dans

son Traité des fluxions^ comme étant plus conforme à la rigueur géométrique ; Lagrange Tadopta aussi dans son Traité des fonctions analytiques *.

Mais revenons à Descartes. De toutes ses découvertes analytiques dont il parle dans sa Géométrie^ celle qui lui fit le plus de plaisir et qui est, en effet, d'une grande importance, c'est une règle générale pour la détermination des tangentes des courbes. Le principe de la méthode des tangentes de Descartes a été très-bien exposé par Montucla. «Concevons une courbe ÂB6 (fig. 3l),décrite8urunaxe, et que d'un point

de cet axe G, comme centre, soit décrit un cercle qui la coupe au moins en deux points B, ^, desquels soient tirées deux ordonnées, BD, bd, qui seront par conséquent communes à ce cercle et à la courbe.

Imaginons maintenant que le rayon de ce cercle décroît, son centre restant immobile. Il n'est personne qui ne voie que, les points dïntersection se rapprochant, ils coïncideront enfin, qu'alors le cercle touchera la courbe en un point E, et que le rayon tiré au point de contact sera perpendiculaire à cette courbe et à la ligne droite (tangente) qui la toucherait au même point. Ainsi, le problème de déterminer la tangente d'une courbe se réduit à trouver la position de la perpendiculaire qu'on lui tirerait d'un point quelconque pris sur Taxe. Pour cet effet, Descartes recherche d'une manière générale quels seraient les points d'intersection d'un cercle décrit d'un rayon déterminé, et d'un point de l'axe comme centre, avec la courbe. Il parvient ainsi à une équation qui, dans le cas de deux intersections, doit con-

Fig. 33.