M. Chasies, Àperçu.historiqw, etc., p

tenir deux racines inégales, dont l'une est la distance d'une des ordonnées au sommet, et l'autre celle de Tautre. Mais si ces points d'intersection viennent à se confondre, alors les deux ordonnées se confondront, leur éloignement du sommet sera le même, et Téquation aura deux racines égales. 11 faudra donc, dans cette équation, faire les coefficients (indéterminés) de Tinconnue tels que cette inconnue ait deux valeurs égales. Descartes y parvient d'une manière fort ingénieuse, en comparant Téquation proposée avec une autre équation fictive du même degré, où il y a deux valeurs égales : ce qui lui donne la distance de l'ordonnée abaissée du point de contact au sommet. Gela une fois déterminé, la plus simple analyse met en possession de tout le reste *. »

Cette règle générale pour la détermination des tangentes des courbes est, suivant le propre aveu de Descartes, « de tous les problèmes celui dont il avait le plus désiré la solution. 5> Sa généralité et son utilité sont incontestables. C'est par son moyen qu'on trouve les asymptotes des courbes, si elles en ont ; la direction sous laquelle elles rencontrent leurs axes ; les endroits où elles s'en éloignent le plus, et ceux où elles changent de courbure, etc.

-Dès que la Géométrie de Descartes eut paru (Leyde, 1637), de Beaune fut le premier à en pénétrer l'esprit, et il en annota les passages les plus difficiles. Ces Notes étaient très-estimées de Descartes lui-même ^.

1. Montucla, Histoire des mathématiques, t. 11^ p. 130 et suivantes.

2. Florimond de Beaune, conseiller au présidiai de Blois (né à Blois en 1601, mort en 1652), était lié d'amitié avec Descartes. L'étude de la géométrie faisait ses délices. Il conçut le premier l'idée d'introduire dans la théorie des courbes les propriétés de leurs tangentes comme éléments de construction, et, par une question de ce genre proposée à Descartes, il donna naissance à la méthode inverse des tangentes. Il s'agissait de « construire une courbe telle que le rapport de la soiks-tangente (prise sur Taxe des abscisses) à l'ordonnée fût dans une raison constante avec la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et un axe fixe faisant un demi-angle droit avec l'axe des

Loi du sinus de réfraction. — Tonrbi lions.

Nous parierons, à l'article Fermât, des controverses de Descartes au sujet de la méthode des maximis et minimis; mais nous ne saurions nous dispenser de dire ici un mot de ses recherches sur la réfraction^ et de sa fameuse hypothèse des tourMUons.

. Kepler, dans ses expériences dioptriques, admettait que l'angle de réfraction est le tiers de celui d'incidence, tant que ce dernier ne dépasse pas 30*. Mais ce n'était là qu'une loi approximative. Les mathématiciens ne s'en contentèrent point. Reprenant le même ohjet, Snellius, dont nous avons parlé plus haut (p. 374), découvrit qu'en tirant une parallèle DE à Taxe de réfraction ACB , il y a toujours, pour un même milieu, le même rapport entre le rayon réfracté CE et le prolongement GF du rayon incident GG. Ainsi, par exemple, ce rapport est de 4 à 3 dans un rayon qui se réfracte en passant de l'air dans

abscisses, passant d'ailleurs par Torigine de la courbe. » {Lettres de Descartes, t. VI, p. 215, édit. de Cousin.) Ce problème difficile fut résolu par Descartes. Ramenant la question aux lieux géométriques, il considéra chaque point de la courbe comme Tintersection de deux tangentes infiniment voisines, et trouva ainsi qne la courbe avait une asymptote parallèle à l'axe fixe, et que la sous-t3ngente prise sur celte asymptote était constante. Ces propriétés conduisirent Descartes à la construction de toutes les tangentes de la courbe, et à celles de la courbe elle-même par l'intersection de deux règles qui se mouvaient avec des vitesses déterminées. L'incommensurabilité de ces deux mouvements lui fit voir que la courbe était mécanique. Il n'en donna pas l'équation, parce que son analyse (application de l'algèbre aux lieux géométriques) rie s'appliquait point aux courbes, dont l'équation, dans son système de coordonnées, était d'un degré fini, courbes qu'il appelait géométriques (nommées algébriques par Leibniz), pour les distinguer des courbes auxquelles son analyse ne s'appliquait point; celles-ci étaient les courbes mécaniques (nommées transceri' dan^e* par Leibniz), qui rentrent dans l'application du nouveau calcul (calcul différentiel et intégral). Enfin la question d'un nouveau genre, proposée par de Beaune, Descartes la regardait comme ïinverse tic sa règle des tangentes. {Lettres de Descartes, t. VI, p. 137.)

Pig. 33.

Teau ; il est de 3 à 2 lorsc[ue le rayon passe de Tair dans le verre. Supposons maintenant jin autre rayon incident ^G, son rayon pralongé G/* et le rayon réfracté Ce : on aura toujours GE à GF comme Ce à G/"; c'est-à-dire que, pour la réfraction dans les mêmes ijailieux, les sécantes de complément de Tangle d'incidence et de Tangle de réfraction sont toujours en même raison.. G'est ce que Diescartes exprimait par le rapport constant du sinus de Vangle dHncid^nç^ qpec le sinus de Vangle de réfraction correspondant.

Lequel des deux, de Descartes ou de Snellius, trouva le premier cette loi ? D'après Les témoignages de Vossius et de Huygens, c'était Snellius. Mais Snellius n'çi j^piais rien publié qui puisse faire revendiquer pour lui jia priorité de cette découverte. Huygens affirme q^il a vu le volume de Snellius où la loi de réfraction se trouve décrite, et il ajoute que les papiers du même géomètr^ avaient été communiqués à Descartes. Partir de là, comm« on Ta fait, pour accuser Descartes de plagiat, c'était évidemment aller trop loin. Il importe cependant de faire remarquer que Descartes n'établit point sa loi de réfraction sur des expériences, et il semble avoir voulu donner à penser qu'elle était uniquement le résultat de ses recherches*.

Hypothèse des tourbillons. — Descartes se représentait notre système planétaire comme un vaste tourbillon au milieu duquel se trouve plongé le Soleil. QuellQ est la forme de ce tourbillon? Est-il aphérique, cylindrique, etc.? Descartes ne s'explique point là-dessus. Il ima-

1. Montucla^ Histoire des mathématiques y t« 11^ p. 244 et suivantes.

gine que les diverses parties ou couches de ce tourbillon se meuvent avec des vitesses inégales et entraînent les planètes qui y nagent dans des couches d une densité égale à la leur. Les planètes qui ont des satellites occupent à leur tour le centre d'un tourbillon plus petit qui nage dans le plus grand; les satellites se meuvent dans le petit tourbillon autour de leur planète, suivant les mêmes lois que les planètes autour du Soleil. Tel est, en abrégé, le système du monde de Descartes, qui eut des partisans zélés jusqu'au dix-huitième siècle.

L'observation est la pierre de touche d'une hypothèse. Or l'hypothèse de Descartes, il faut le reconnidtre, ne résiste pas à cette épreuve ; elle ne satisfait aucunement aux conditions des phénomènes qu'elle prétend expliquer. Voici les principales objections qu'on y a faites. Les mouvements des planètes sont elliptiques. Il faut donc que les couches des tourbillons le soient aussi. Quelle en sera la cause ? Descartes l'attribue à la compression des tourbillons voisins. Mais si cela était vrai, il faudrait que toutes les orbites planétaires fussent allongées du même côté ; bien plus, le Soleil devrait occuper le centre commun de toutes les orbites, de planètes et de comètes. Or cela n'est point. Si cet allongement des tourbillons était l'effet de la compression des tourbillons voisins, les planètes externes devraient avoir les orbites les plus excentriques, tandis que Mercure, comme étant le plus rapproché du centre du tourbillon, devrait avoir l'orbite la moins excentrique. Or tout cela est également contraire à l'observation. — Qu'est-ce qui entretient le mouvement du tourbillon? Descartes ne s'explique point nettement à cet égard. Selon toute apparence, il fait partir ce mouvement de la rotation de l'astre central. Mais alors toutes les planètes devraient se mouvoir dans le plan de l'équateur ou parallèlement à l'équateur du Soleil. Or, toutes les planètes ont leurs orbites plus ou moins inclinées sur l'équateur de l'astre central, et toutes les lois de Kepler

seraient en défaut. Enfin, Newton, Bouguer, D. BernouUi, d'Alembert, ont montré que les tourbillons de Descartes sont inconciliables avec toutes les lois de la mécanique.

Pascal.

Geometrœ nascuntur^ non fiunt; on naît géomètre, on ne le devient pas. Cette remarque des anciens est parfaitement justifiée par la vie de Biaise Pascal (né le 19 juin. 1623, à Clermont-Perrand, mort à Paris le 19 août 1662). Dès Tâge le plus tendre, « il donna, raconte sa sœur (Mme Périer), des marques d'un esprit extraordinaire par les petites reparties qu'il faisait fort à propos. » Cette précocité d'esprit, jointe à la qualité de fils unique, détermina le père à se vouer tout entier à l'éducation du jeune Biaise. A cet effet, il se démit de sa charge de président de la cour des aides de Glermont, et se retira, en 1631, avec tous ses enfants à Paris. Contrairement aux méthodes suivies, il s'appliqua à exercer Tintelligence plutôt que la mémoire. Bientôt le jeune élève voulut savoir la raison de toutes choses, — ce qui est d'ailleurs assez commun chez les enfants; — mais ce qui étonna le maître luimême, c'était une netteté d'esprit admirable pour discerner le faux. Dans tous ses raisonnements il ne pouvait se rendre qu'à l'évidence, de sorte que, raconte sa sœur, quand on ne lui disait pas de bonnes raisons,^ il en cherchait lui-même. Dès l'âge de douze ans il témoigna d'une aptitude singulière pour la géométrie. Mais le père, désirant réserver cette jeune sève pour l'étude des langues, avait caché soigneusement tous les livres de mathématiques. Tant de précautions ne firent qu'exciter la curiosité de l'élève. Un jour il demanda ce que c'était que la géométrie. Sur la réponse que c'était le moyen de faire des figures exactes, et de trouver les proportions qu'elles avaient entre elles, il se mit aussitôt à rêver sur cette simple ou-

406 fflSTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

verture dans ses heures de récréation; il poussa ses recherches si avant qu'il en vint, sans aucun secours étranger, jusqu'à la trente -deuxième proposition du premier livre d'Euclide. (C'est la proposition suivant laquelle la somme des trois angles de tout triangle rectiligne est égale à deux angles droits.) « Gomme il était là-dessus, ajoute sa sœur, mon père entra dans le lieu où il était, sans que mon frère T entendît; il lé trouva si fort appliqué qu'il fut longtemps sans s'apercevoir de sa Venue : on ne peut dire lequel fut le plus surpris, ou le fils de Voir son père, à cause de la défense expresse qu'il lui avait faite, ou le père de voir le fils au milieu de toutes Ces choses. *> Le père fut en quelque sorte épouvanté de cette précocité du génie ; sans lui dire un mot, il le quitta pour aller raconter, l'es larmes aux ^eux, sa découverte à un savant de ses amis, M. Le Pailleur. « Voici, s*écria-t-il en lui montrant des démonstrations géométriques, voici ce qu'a fait mon fils ; il invente les mathématiques, malgré ma défense de s'en occuper. » Le père n'hési-ta plus dès lors à lui confier les Éléments d'Euclide. Le jeune Biaise n'eut besoin d'aucune explication pour le§ comprendre, et ses progrès étaient si rapides qu'il fut admis dans l'intimité du P. Mersenne, de ftoberval, de Mydorge, de Garcavi, et qu'il assista avec ces géomètres célèbres aux conférences hebdomadaires de cette société, qui devint, en 1666, ïe noyau de l'Académie royale des sciences.

A seize ans, Pascal publia un Essai pour les coniques^. A dix huit ans, il inventa la machine arithmétique^ destinée à faciliter les calculs de son père, qui venait d'être

. 1. Il ne faut pas confondre, comme on l'a fait, Tassai avec le projet d*un traité complet des coniques, qui n'a jamais été mis au jour. D'après l'admiration qu'en aurait manifestée Descaites, — fait nullement justifié^ — on a voulu attribuer cet Essai à Desargues. Mais cette assertion est d'avance réfutée par. le témoignage même de Desargues. Ces divers points historiques ont été parfaitement éclaircis par M. Cliasles dans la note xiir, p. 330 de son Aperçu historique, etc.

nommé intendant de Rouen. Remplacer par des mouve^ ments et des combinaisons de roues les supputations numériques^ tel était le problème que Pascal s'était proposé. Dans son entreprise audacieuse il se heurta d'abord contre une de ces difficultés matérielles que rencontrent la plupart des inventeurs, et qu'il explique lui-même dans sa dédicace au chancelier Pierre Seguier. « N'ayant pas, dit-il, l'industrie de manier le métal et le marteau comme la plume et le compas, et les artisans ayant plus de connaissance de la pratique de leur art que des sciences sur lesquelles il est fondé, je me vis réduit à quitter toute mon entreprise, dont il ne me revenait que beaucoup de fatigues, sans aucun bon succès. » Enfin, après des essais réitérés, il parvint à construire la machine arithmétique pour laquelle il demanda et obtint, en 1649, un privilège, et dont il envoya un modèle à la reine Christine de Suède.

Tant d'ardeur au travail devait miner une constitution déjà très-faible. « Cette fatigue et la délicatesse où se trouvait sa santé le jetèrent, dit Mme Périer, dans des incommodités qui ne l'ont plus quitté; de sorte qu'il nous disait que depuis l'âge d^ dix-huit ans il n'avait pas passé un jour sans douleur. Ces incommodités néanmoins n'étaient pas toujours d'une égale violence : dès qu'il avait un peu de relâche, son esprit se portait incontinent à chercher quelque chose de nouveau. » A ce moment il n'avait pas encore abandonné le domaine de la science pour se réfugier dans celui de la religion. Sa correspoùdance avec Fermât le montre occupé des questions les plus élevées de l'analyse géométrique et des effets de la pesanteur. Les expériences de Torricelli, que le P. Mersenne'fit connaître en France en 1644, lui suggèrent l'idée de ses mémorables expériences sur la pesanteur de l'air, qui appartiennent à l'histoire de la physique ^