M. Chasles, Aperçu historique j etc., p. 70 et suivantes

412 HISTOIRE DES MATHÉHAUQUES.

Ntmbrti du quatrième ardre^ ceux qui se forment par Taddition des triangulaires ^ et qu'on appelait pyrand^ daux :

If 4, 10, 20, etc.;

Nombres du cinquième ordre^ ceux qui se forment par Taddition des précédents; ils n'avaient pas encore reçu de nom particulier : Pascal propose de les appeler trianguUhtriangulairei ■ :

1, 5, 15f 35, etc.;

Nombres du sixième ordre ^ ceux qui se forment par l'addition des précédents :

1, 6, 21, 56, etc.;

Et ainsi de suite à l'infini.

Il est facile de construire de cette façon une table de tous les ordres de nombres, où se trouvent indiqués les 'exposants des ordres et les racines, de la manière suivante :

Racinei.

12 3 4 etc.

Unités ordre 1"

Naturels ordre 2''

Triangulaires ordre 3*

Pyramidaux ordre 4*

Triangulo-triangulaires . ordre 5*

En disposant ces nombres sous forme de triangle, on a :

14 6 4 1 etc.

En séparant ces nombres par des lignes droites, dont

etc.

les unes sont verticales, les autres horizontales, on obtient des cases carrées, dont l'ensemble compose le triangle arithmétique. L'une des propriétés les plus remarquables de cette construction, et qui n'avait point échappé à Pascal, c'est que les rangées horizontales sont formées par tous les coefficients des puissances dont les exposants sont indiqués par la rangée verticale des nombres naturels *.

Nous passons sous silence beaucoup d'autres usages, plus curieux qu'utiles, que Pascal a indiqués dans son Traité du triangle arithmétique.

La cycloide.

Il est étonnant que les anciens n'aient pas connu cette courbe, car elle est facile à concevoir en observant lo tracé que décrit en l'air le clou d'une roue qui roule en ligne droite sur un plan uni. La courbe ainsi décrite serait une cycloïde ou trochoïde (du grec Tp(J;^oç, roue) parfaite, si la roue et la ligne à laquelle elle s'applique éta.ient un cercle et une ligne mathématiques. On cite le cardinal de Gusa comme ayant eu le premier l'idée de la cycloïde. Ce prélat, occupé de la quadrature du cercle, faisait, en effet, rouler un cercle sur une ligne droite jusqu'à ce que le point qui l'avait d'abord touché s'y appliquât de nouveau. Charles de Bouelles (en latin Bovitlus), dont le Livre de géométrie parut en 1511, in-4, employa le même procédé. Mais l'un et l'autre voyaient dans la courbe ainsi décrite un simple arc de cercle. Galilée paraît avoir eu le premier l'idée de la cycloïde : il en parle dans une lettre à Torricelli, écrite en 1639, et il l'avait jugée propre, par sa forme gracieuse, à servir de modèle aux arches d'un pont; mais il fit de vaines tentatives pour en mesurer l'aire.

1. Ce fait était déjà connu des algébristes du seizième siècle. Voy. p. 342.

414 fflSTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

Ce ne fut qu'entre 1628 et 1640 que divers géomètres commencèrent à s'occuper avec succès de la cycloïde. Boberval parvint, en 1634, après six ans de reclierches, à démontrer que Taire de la cycloïde ordinaire APB (fig. 33), c'est-à-dire dont la base ÂB est égale à la circonférence du cercle générateur P, est triple de ce

cercle. Partant de là , il trouva la mesure de l'aire des autres cycloïde s allongées ou raccourcies.

DescarteSy qui avait ap- Fig. 84. pris cette découverte par

le P. Mersenne, la traita avec quelque dédain, prétendant « qu'il n'était personne si médiocrement versé en géométrie, qui ne fût en état de trouver ce dont Roberval se faisait tant d'honneur. » Roberval lui fit dire qu'il était aisé de critiquer ce que d'autres ont trouvé. Piqué au jeu, Descartes voulut établir sa supériorité en cherchant les tangentes de la cycloïde, problème dont Roberval s'était occupé sans succès. Jl en envoya Jp. solution au P. Mersenne avec un défi pour Roberval de la trouver. Fermât était compris dans le même cartel. Fermât résolut le problème dans toute sa généralité; mais Roberval s'en tira avec beaucoup de peipe, à en juger parles lettres de Descartes.

Après les problèmes sur l'aire et les tangentes de la cycloïde se présentaient ceux des solides formés par la rotation de la cycloïde autour de sa base et autour de son axe. Ce fut Roberval qui eut cette fois le mérite de résoudre ces derniers problèmes. Le P. Mersenne manda, en 1644, à Torrieelli, le rapport du premier solide (engendré par la rotation de la cycloïde autour de sa base), trouvé par Roberval , savoir le rapport de 5 à 8 ; à quoi Torrîcelli répondit qu'il avait trouvé la même chose quelques mois auparavant. Quant au second solide (engendré par la rotation de la cycloïde autour de son axe), son rap-

port au cylindre circonscrit était, suivant Tomcelli ,

jr. comme 11 à 18. Le rapport de 11 à 17—-, donné par

Roberval, était plus exact.

Jusqu'en 1658 la théorie de la cycloïde ne s'accrut J;^ d'aucune vérité nouvelle. Elle fut alors reprise par Pascal d'une manière plus^ générale, et proposée aux géomètres sous forme de divers problèmes. En voici l'énoncé fait par Pascal :

a Par un point Z, pris sur une cycloïde quelconque, on trace parallèlement à la base AD une droite ZY, qui coupe l'axe CF au point Y. On propose de trouver : l'aire (du segment) CZY et son centre de gravité; les volumes des solides engendrés par la révo- piç 35^

lution de GZY autour

de ZY et autour de GY, ainsi que les centres de gravité de ces solides ; enfin les centres de gravité des quatre solides partiels obtenus en coupant chacun des deux précédents, savoir celui qui est de révolution autour de la base ZY, et celui qui est de révolution autour de l'axe GY, par un plan conduit suivant cet axe. »

Voilà çn quels termes fut mise au concours la question de la cycloïde , et annoncée au public, sous le pseudonyme de Dettonville^ dans une lettre adressée à M, de Carcavi^y en date de juin 1658. Le prix était de quarante pistoles ou doublons d'Espagne (environ mille francs de notre monnaie) pour l'auteur de la solution qui se trou-

1. Pierre de Careavif natif de Lyon, mort en 1684, fut au nombre des premiers membres de rAcadémie des sciences, lors de la création de cette savante compagnie. Il est souvent nommé dans les correspondances de Descartesy de Pascal, de Roberval et de Fermât*

verait la première en date ; il n'était que de 20 pistoles pour Tauteur de la solution qui serait venue après. Ces sommes étaient déposées « entre les tnains de M. Carcavi, conseiller du roi, demeurant à Paris chez M. le duc de Liancourt. » Les Mémoires des concurrents de • vaient être envoyés à la même adresse avant le l**" octobre 1658.

Pour mieux préciser les termes de la question proposée, Pascal (Dettonville) y fit Tajoulé suivant :

c La rédaction complète des solutions pouvant devenir fort longue, et par suite difficile à terminer dans le délai fixé, nous nous bornerons, pour ne point contrarier les géomètres dans leurs occupations ou dans leurs loisirs, à leur demander de faire voir, soit à la manière des anciens, soit par la méthode des indivisihleSj dont nous faisons nous-même usage, que les données suffisent pour déterminer toutes les choses demandées; en sorte qu'il soit facile, d'après leurs indications, de déduire Tune quelconque de ces choses de celles qui sont renfermées dans l'énoncé. L'exemple suivant fera savoir plus complètement notre pensée, et préviendra toute équivoque. Soit ABC une parabole, AB son axe, AG sa base, et BD une tangente perpendiculaire à l'axe AB ; on demande le centre de X I -\ gravité du triligne DCB. Nous regarderions ce

problème comme résolu par quiconque auraj t démontré que les données suffisent pour dé> terminer le centre de gravité de la parabole ABC, celui du rectangle GDBA, et le rapport entre l'aire de ce rectangle et Paire de la para-

Fig. 36. ^^^^ ^^"^^ ^®^ choses étant connues, il n'y au-

rait plus aucune difficulté à trouver la position du centre de gravité du triligne; pour en achever la détermination mécanique, il ne resterait, en effet, qu'à terminer les calculs, ce qui ne réclame ni une grande pénétration d'esprit, ni l'habileté d'un maître. N'ayant donc aucune raison pour exiger ces calculs, nous nous contenterons de toute solution établissant que les données suffisent pour déterminer toutes les choses demandées. Toutefois, il nous semble né.2essaire de réclamer, soit la démonstration complète, soit le calcul complet de deux propositions ou cas particuliers, à savoir : l" du cas où le point Z (voy. ci-dessus, fig. 35) se confondrait avec A ; 2" de celui où ce même point Z. se trouverait en B, sur la parallèle EB, menée à la base de la cycloïde par le centre E du cercle générateur. Si quelque erreur de calcul venait à se glisser dans les solutions de

ces deux cas particuliers, nous les pardonnerions de grand cœur, excusant volontiers chez les autres ce que nous désirerions qu'on excusât chez nous-même. »

Ce fut le 24 novembre 1658 qu'un comité de géomètres procéda à Texamen des deux pièces, les seules qui eussent été envoyées, La première, qui était du P. Laloubère*, fut mise hors de concours ; elle ne contenait ni démonstration, ni calcul exact. La seconde pièce, qui était de Wallis, fut également jugée indigne d'obtenir le prix ; les commissaires reprochaient au célèbre géomètre anglais diverses erreurs au sujet de la détermination du centre de gravité des solides formés autour de la base et autour de Taxe de la cycloïde. Les deux concurrents se récrièrent vivement, surtout le premier, contre le jugement du comité. L'un et l'autre publièrent depiris des traités sur les propriétés de la cycloïde. Enfin, dès le commencement de 1659, Pascal publia ses propres solutions dans les Lettres de A. Dettonville à M. de Carcavi. On y remarque une méthode pour les centres de gravité en général; les traités intitulés : des Trilignes rectangles et de leurs onglets (introduction générale à la mesure des solides^de circonvolution) ; des Sinus du quart de cercle et des arcs de cercle; des Solides circulaires; Problèmes tou4:hantla roulette y proposés publiquement et résolus par A. Dettonville^.

1. ilntotne DE Laloubèhe (né en 1600, mort à Toulouse en 1664) entra, à vingt ans, dans l'ordre des jésuites, et se fit connaître par Qucidratura circuli et hyperbolae segvnentorumj etc. (Toulouse, 1651, in-8) et Veterum geometria promota in septem de Cycloïde lihris (ihid., 1660, in-4). Il étudia la courbe à double courbure, décrite par un seul trait de compas sur la surface d'un cylindre droit circulaire. Cette courbure, signalée par Roberval, reçut de Laloubère le nom de cyclo-cylindrique.

2. Huygens fit, plus tard, de la cycloïde l'objet de ses recherches; il montra que la développée est elle-même une cycloïde égale et seulement posée en sens contraire. Il trouva aussi qu'un corps qui roulo le long d'une cycloïde renversée, arrive toujours dans le même espace de temps au bout de sa course, de quelque point qu'il com-

Considération de l'infini. Nouvelle méthode d'analyse.

Pascal avait, comme nous venons de voir, fait usage de la méthode des indivisibles de Gavalieri pour la solution des problèmes concernant la cycloïde. Il s'était pénétré, peut-sêtre plus profondément qu'aucun des géomètres de son temps, de Tesprit de cette nouvelle analyse, qui devait être couronnée par l'invention du calcul infinitésimal. Sur tout ce qu'il y avait en apparence de paradoxal^ il ne manquait pas d'en avertir ceux qui ne voulaient admettre que la méthode des anciens. « Tout ce qui, dit-il dans sa lettre à Carcavi, est démontré par les véritables règles des indivisi* blés, se démontrera aussi, à la rigueur, à la manière des anciens : Tune de ces méthodes ne diffère de Tautre qu'en là manière de parler, ce qui ne peut blesser les personnes raisonnables quand on les a une fois averties de ce qu'on entend par là. Et c'est pourquoi je ne ferai aucune difficulté d'user de ce langage des indivisibles, la somme des lignes ou la sofnme des plans; et ainsi quand je considérerai, par exemple, le demi-diamètre d'un cercle, CP (fig. 37), divisé en un nombre indéfini de parties égales, aux points Z, d'où soient menées les ordonnées ZM, je ne ferai aucune difficulté d'user de cette expression, la somme des ordonnées^ qui semble ne pas être géométrique à ceux qui n'entendent pas la doctrine des indivisibles et qui s'imaginent que c'est pécher contre la géométrie que d'exprimer un plan par un nombre indéfini de lignes^ ^^' ' ce qui ne vient que de leur manque d'intelligence, puisqu'on n'entend autre chose par là sinon la somme d'un nombre indefi/ni de rectangles faits de chaque

mence à tomber; d'où il suit qu'un pendule, qui décrirait une cycloïde, ferait des oscillations parfaitement égales ou isochrones, quelle que fût leur amplitude.

TEMPS MODËKNES. 419

ofdonnêe avec chacune de's petites portions égales dudîametrej dont la somme est certainement un plan qui ne diffère de l'espace du demi-cercle que d'une gwanZfie moindre qu'aU" cune quantité donnée^. » — Cette dernière phrase revient très-souvent dans le langage de la méthode nouvelle des infiniment petits : elle équivaut presque à une démonstration.

t^armi les papiers de Pascal qui furent communiqués par Perler à Leibniz, se trouvaient plusieurs pièces coûc'ernant la nouvelle méthode analytique. Ces pièces géométriques formaient, aux yeux du grand analyste, « un corps d'ouvrage assez net et achevé, » et îl l'iestîmaît en état d'être imprimé. « Je crois même, ajoutait-il, qu'il est bon de ne pas tarder davantage, parce que je vois paraître des traités qui y ont quelque rapport : il est bon de le donner aU plus tôt, avant qu'il perde la grâce de la nouveauté. » Cette lettre de Leibniz est datée de Paris, le 30 août 1676. A cette époque, Leibniz n'avait pas encore mis au jour sa méthode infinitésimale.

Nous ne saurions quitter Pascal sans dire un ïnot d'un petit traité intitulé : de VEsprît géométrique qui se trouve en tète de ses écrits mathématiques. Ce petit traité est un chef-d'œuvre de pensée et de style : il mérite d'être mis au moins sur le même ^ang que le Discours sur îd Méthode de Descartes. On y trouve, entre autres, ce passage remarquable : « Rien n'est plus Commun que les bonnes choses : il n'est question que de les discerner ; et il est certain qu'elles sont toutes naturelles et à notre portée, mais on ne sait pas les distinguer. Ceci est universel. Ce n'est pas dans les choses extraordinaires et bizarres que se trouve Fexcellence de quelque genre que ce soit. On s'élève pour y arriver, et on s'en éloigne ; il faut le plus souvent s'abaisser. Les meilleurs livres sont ceux