Œuvres complètes de Pascal, t. II, p. 353 (édit. Lahure

nés règles qui font trouver une grandeur ou le point qui, variant d'après une loi connue, devient le plus grand ou le plus petit possible. Toute grandeur, variable suivant une certaine loi, peut s'exprimer par l'ordonnée d'une courbe 'd'une espèce particulière. La détermination du point où cette grandeur atteint son maximum d'accroissement ou son minimum de diminution n'est, pour le géomètre, que la détermination de la plus grande ou de la plus petite ordonnée d'une courbe d'équation donnée. C'est par là que la méthode des tangentes de Descartes touchait à la méthode de maximis et minimis. Mais celle-ci ne se trouve point décrite dans la Géométrie de Descartes, imprimée pour la première fois (en français) à Leyde, en 1637. Et à cette époque Fermât était déjà en possession de ses plus belles découvertes, comme cela résulte de sa correspondance avec le P, Mersenne, Roberval et le père de Pascal,

Fermât n'a donné, dans aucun de ses écrits, la définition ni la démonstration générale de sa méthode. Il s'est contenté d'en faire connaître des applications particulières aux questions de maximis et minimis>^ aux tangentes des courbes, soit algébriques, soit transcendantes, et aux centres de gravité des conoïdes. Il faut donc comparer entre elles ces diverses applications, pour arriver à en dégager l'idée générale. S'agit-il, par exemple, de partager en deux une ligne de manière que le produit de ses deux parties soit le plus grand possible^ il considérera d'abord dans la ligne les deux portions infiniment peu différentes l'une de l'autre, puis il cherchera la limite du rapport des rectangles résultant de ces deux portions, c'est-à-dire le point où la différence des deux rectangles devient nulle, en sorte qu'ils puissent former les deux membr-es d'une équation. Pour mieux nous faire comprendre, donnons à la ligne à diviser en deux parties une valeur numérique, par exemple 6. Ce nombre peut se partager de telle façon qu'on ait, d'un côté, une progression ascendante, et de

422 histoire; D^ ^CATHÉSfATIQUES.

l'autre, une prpgreseiûn deaceadante, doiit les te»nve3 *ddîtiomiéa reproduisent toujours la même somme :

Maintenant, au lieu 4'^d.d^tionner c^s termes, multiplions-les. JjQ produit le plus grand (cas de nmkximum) est celui où les deux nombres (facteurs) sont égaux : 3X3=9. Le produit minimum est celui où Tun des fecteurs est zéro : 0X6 = 0. Pour gé;néral^er, apjpelons a une ligne droite donnée, et ^ une partie de cette ligne; J'autre partie sera a — x. Pour que le rectangle, produit des deux parties, soit un maximum, il faut que ic soit

égal à a — a?, ou a?= 5. Si Ton désigne par e un accrois-

sèment in£nim^| petit de 9, de manière que a;+,e =?^+0, on atgra

x(a — x) = (a?+6)(a — a? — c); d'où

e(a — 2a?) — 6^=0, ou {a — 2a?) — e=:0,

et, en dernière analyse : a — 2a? = 0, ou a?=-. On voit

d'ici Futilité de e : cette quantité négligeable sert au développemenjt d'une équation algébrique. Là est tout le secret.

Fermât fait usage d'une méthode analogue pour trouver les tangentes aux courbes. Ainsi, pour trouver la longueur de la sous-tangente de la parabole, il suppose deux' ordonnées infiniment proches du point de contingence, et il chercha la limite du rapport des carrés des distances de ces deux ordonnées à un même point de Taxe prolongé,

c'est-à-dire le point où ce rapport peut former une équation avec celui des abscisses correspondante^^. Il emploie le même procédé pour Tellipse, la cissoïde, la conchoîde, la cyclqïde et la quadratrice de Dinostrate. Il Tapplique encore à la détermination du centre de gravité du paraLoloïde de révolution.

C'est doAC principalement dans le choix du rapport dont la limite doit fournir la solution du problème que consiste tout l'artifice de la méthode de maximis et minimis* Lorsqu'on est parvenu à exprimer la question proposée par une équation de cette nature^ il ne s'agit plus que de supprimer les termes communs, de diviser autant de fois qu'il sera possible par la grandeur infiniment petite, et de négliger, après cette division répétée, tous les termes qui seront affectés de cette même grandeur. — Kepler avait dit dans sa Doliometna^ que l'accroissement d'une variable est nul à une distance infiniment proche du maximum et du minimum. Mais ce principe, ainsi jeté sur le passage des générations inattentives, demeura stérile jusqu'à Fermat, qui doit être regardé comme le* véritable précurseur de la découverte du calcul différentiel et intégral.

C'était là Topinion d'un juge compétent, de Lagrange. Nous la reproduirons à l'article Leibniz. L'opinion de Lagrange était partagée par Laplace et Fourier. Mais, déjà antérieurement, d'Alembert et Buffon avaient revendiqué pour Fermât et pour Descartes — ils auraient dû nommer aussi Pascal — une large part pour l'invention des nouveaux calculs^.

La méthode de m>aximis et minimis devint l'occasion d'une vive querelle entre Fermât et Descartes. Nous allons en reproduire les détails les plus instructifs.