Lettres de DescarUs, t. III^ "p. 337 et suivantes

joueurs, jouant une partie en un certain nombre de points, en ont déjà chacun un nombre inégal et veulent rompre la partie sans Tachever; on demande comment, ils doivent partager la mise ou Tenjeu? »

Ce problème fut proposé ^ Pascal par le chevalier de Méré, plus bel esprit que géomètre. Pascal le communiqua à Fermât, dont la curiosité fut piquée vivement. Voici comment procéda Pascal pour le résoudre. « Lorsque deux joueurs, disait-il, ont déposé leurs mises, et qu'après quelques coups ils veulent se séparer sans attendre la fin du jeu, il est évident que, s'ils sont égaux en points, ils auront l'un et l'autre, avec la même chance de gagner, un droit égal à la somme déposée ; ils devront donc se la par- •tager également. Mais si avant le dernier coup qui les a mis but à but, ils eussent voulu se séparer, le joueur le plus avancé en points aurait pu dire : si je perds le coup prochain, nous serons but à but, et en cessant alors le jeu, j'emporterai la moitié de la mise totale ; voilà donc déjà ime moitié de cette somme qui m'appartient, quel que soit le résultat du coup qui va suivre : ce n'est donc que l'autre moitié de la somme qui va être mise à la décision du sort; ainsi, le coup que nous allons jouer pouvant m'être également favorable ou contraire, j'ai droit à la moitié de cette moitié, ce qui, joint à la moitié déjà acquise, fait trois quarts de la somme déposée. » — Tel était, en substance, le raisonnement, parfaitement juste, de Pascal. Mais si, avec le nombre des joueurs, l'inégalité des points augmente, le même raisonnement deviendra presque inextricable par sa prolixité.

Voici la solution donnée par Fermât. Dans le cas du premier problème proposé, il est évident, disait-il, que la partie sera nécessairement finie en deux coups. Voyons maintenant les chances de gain ou de perte qui peuvent arriver dans deux coups : le premier joueur peut d'abord les gagner tous deux, ou perdre le premier et gagner le second, ou gagner le premier et. perdre le se-

cond, ou les perdre tous deux. Toutes ces chances peuvent être exprimées par les différentes combinaisons des lettres a et 6, prises deux à deux, et qui sont aa^ ab, ba, bb. Or, de toutes ces combinaisons de gain et de perte successives, il y en a trois favorables au joueur le plus avancé, et leur nombre total n'est que de quatre. Ainsi, la probabilité qu'il a de gagner est de |, tandis que celle de son partenaire n'est que de J. Ds doivent donc partager la mise totale dans le rapport de 3 à 1 . Cette solution est, comme on voit, la même que celle de Pascal ; mais la méthode de Fermât est un peu différente ; elle se réduit à ce qu'il faut examiner en combien de coups au plus la partie commencée doit être finie ; prendre autant de lettres qu'il y a de joueurs, et les combiner et changer d'ordre deux à deux, comme dans l'exemple cité, ou trois à trois, savoir : aaa^ aab^ aba^ baa^ bba^ bab^ abbj bab^ ou quatre à quatre, etc.; le nombre des combinaisons favorables à chaque joueur, comparé au nombre total des combinaisons, sera la mesure de la probabilité qu'il aura de gagner, d'où il est fort aisé de déterminer quelle partie de la somme déposée doit lui revenir ; car elle doit être proportionnelle à cette probabilité*.

Le calcul des probabilités, dont Pascal et Fermât peuvent, à juste titre, passer pour les inventeurs, devint depuis lors un objet d'études pour les principaux mathématiciens du dix-septième et du dix-huitième siècle.

Théorie des nombres.

Depuis Pythagore, aucun mathématicien, à l'exception de Pascal, ne s'était occupé autant de la théorie des nombres que Fermât.

Fermât avait, sur les nombres, une manière de voir dont il ne nous a pas légué le secret. « Il fut, dit

M. Chasles, sans égal dans la théorie des nombres, ou il possédait, sans doute, une méthode simple qui nous est aussi inconnue, malgré les grands perfectionûements qu'a reçus l'analyse indéterminée*. Un autre historien' de la. science partage la même [opinion. « Fermât savait, dît Lîbri, des choses que nous ignorons ; pour l'àtteiiïdré, il faudrait des îèéthodes plus perfectionnées que celles qu'on à inventées depuis. En vain les plus beaux génies^ y sont exercés ; en vain Euler, Lagrange ont redoublé d'efforts ; Fermât seul jouit du privilège unique de s'être avancé plus loin que ^s successeurs *. ?>

L'étude approfondie que Fermât avait tsiie de la doctrine des nombres le porta à faire une édition de Diophante ^.

Voici les principales propositions de Fermât concernant là ihéonè des nombres^ et particulièrement « l'invention de la somme omnium potestatum in infinitum *. »

Un nombre composé de trois carres seulement en nombres entiers ne peut jamais être divisé en deux carrés^ pas même en fractions. « Cette proposition de Diophante, écrivit Fermât au P. Mersenne, personne ne Ta jamais encore démontrée ; et c'est à quoi je travaille, et crois que j'en viendrai à bout : cette connaissance est de grandissime usage, et il semble que nous n'avons pas assez de principes pour en venir à bout.... Si je puis étendre en cela les bornes de l'arithmétique, vous ne sauriez croire