Reime des Deux-Mondes, 15 mai 1845^ p

3. La même remarque peut s'appliquer à Bacbet de Méziriac (né à Bourg-en-Bresse, mort en 1638). Poète, philosophe, théologien et mathématicien, Bachet débuta, en 1613, par un livre curieux, intitulé: Problèmes plaisants et délectables^ qui se font par les nombres, et donna, en 1621, une édition de Diophante, qui n'a pas fait oublier celle de Fermât. M. Labosne a publié récemment (en 1874) une nouvelle édition, revue et augmentée du livre de Bachet de Méziriac.

4. Lettre de Fermât à Roberval, en date du 16 décembre 1636, dans Fermât, Varia opéra, p. 148.

TEMPS MODERÏÎES. 431

les propositions merveilleuses (Jue nous entiTerons*.» — Nous ajouterons que cette démonstration est facile quand on connaît bien lé rôle que joue le nombre quatre dans la formation des carrés, tant pairs qu'impairs,

A la proposition susénoncée se rattache la proposition Suivante dé Fermât : Un nombre moindre de Vunité qu^îcH mnltïpiè du quaternaire n'est ni carré, ni composé de deux carrés^ ni en entiers^ ni en fractions. C*est, sous une autfe forme, la reproduction de VOlservallon de Fefrmat sur k 12® question du V" livre de Diophante, ainsi conçue : Numèrus 21 ( = 3X7) non'potest divldi in duos quadraloÉ in ffactis. Hoc autem facillime demonstrare possûnms^ et generaliier omhis numerus cujus triens non habet trienterri non potest dlvidi in duos quadratos, neque in integrls^ neque in fractis.

Dans sa lettre à Roberval, Fermât énonce encore plus nettement ara proposition. « Si, dit-il, un nombre donné est divisé par le plus grand carré qui le mesure, et' que le quotient se trouve mesuré par un nombre premier moindre de lunité qu'un multiple de quaternaire, le nombre

1. VpB9'a varta, p. 123. Dans I& lettre du 2 septembre 1636, Éermat avait précisé ainsi précisé le sens de sa proposition : « Quaiid notis parlons d'un Twmbre composé de trois carrés seulement, nous entendons un nombre qui n'est ni carré, ni composé de deux carrés ; et c'est ainsi que Diophante et tous ses interprètes Fentendent, lorsqu'ils diseiil qu'un nombre composé de trois carrés seulement de nombres entiers ne peut jamais être divisé en deux carrés, pas même en fractions. Autrement, et au sens que vous semblez donner à votre proposition, il n'y aurait que le nombre 3 qui fût composé de trois carrés seulement en nombres entiers. Car premièrement : tout nombre est composé d'autant de carrés entiers qu'il y a d'unités (l'unité : 1 x 1 = P est un carré); secondement, vos nombres 11 et 14 se trouvent composés chacun de 5 carrés: le premier de 4-f4-f-l + l + l» 1® second •de4+4-f-4+l-fl. Que si vous entendez que le nombre que vous demandez soit composé de trois carrés seulement, et non pas de quatre, alors la question tient moins du hasard que d'une conduite assurée, let si vous m'envoyez la construction, peut-être vous le feraije avouer} de sorte que j'avais satisfait à votre proposition, au sens de Diophante, qui semble être le seul admissible. »

donné n'est ni carré, ni composé de deux carrés, ni en entiers, ni en fractions. Exemple : soit donné ^4; le plus grand carré qui le mesure est 4; le quotient 21, lequel est mesuré par 3 ou bien par 7, moindres de l'unité qu'un multiple de 4. Autre exemple : soit donné 77 ; le plus grand carré qui le mesure est d'unité ; le quotient 77 qui est ici le même que le nombre donné, se trouve mesuré par 1 1 ou par 7, moindres de l'unité qu'un multiple de quaternaire; je dis que 77 n'est ni carré, ni composé de deux carrés, ni en entiers, ni en fractions. » Puis il ajoute : « Je vous avoue que je n'ai rien trouvé en nombres qui m'ait tant plu que la démonstration de cette proposition, et je serais bien aise que vous fissiez effort pour la trouver, quand ce ne serait que pour apprendre si j'estime mon invention plus qu'elle ne vaut*. »

Autre proposition du même genre : « Si un nombre est composé de deux carrés premiers entre eux, je dis qu'il ne peiit être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de quaternaire. Comme, par ej^emple, ajoutez l'unité, si vous voulez, à un carré, soit le carré 100, lequel avec 1 fait 101 ; je dis que 101 ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de 4. Et ainsi, lorsque vous voudrez éprouver s'il est nombre premier, il ne faudra point le diviser ni par 3, ni par 7, ni par 1 1 , etc. »

Il résulte de ces citations que les propriétés du quaternaire avaient particulièrement fixé Inattention de Fermât ; et il était encouragé dans ces recherches par un de ses amis. « Frénicle", dit-il, m'a donné depuis quelque

1. On ignore la réponse de Roberval. Quant à la démonstration, que Format n'a pas donnée, elle se résume, selon nous, en ceci : Tous lescai*rés impairs étant des multiples du quaternaire -f- 1, = 4a' + 4o + 1 = (2a 4-1)', il est impossible que 4a' -f-4o—l, ou des multiples de cette quantité par 2' ou par tout autre carré, soient des nombres carrés.

2. Frénick de Bessy (né à Paris vers 1605, mort en 1670) avait un goût décidé pour les questions des nombres. « Son arithmétique doit, disait do lui Descartes, être excellente, puisqu'elle a conduit à une

temps l'envie de découvrir le mystère des nombres , en quoy, il me semble, il est extrêmement versé. » Et plus loin (p. 167 et 175 des Opéra varia), il dit :

« Pour M. Frénicle, ses inventions en arithmétique me ravissent; et je vqus déclare ingénument que j'admire le génie qui, sans Taide de Tîjgèbre, pousse si avant dans la connaissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve àç plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoy font foy les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger à me mettre dans quelques-unes de ces routes, je lui en aurois trèsgrande obligation, et ne ferois jamais difficulté de l'advouer; car les vayes ordinaires me lassent^ et lorsque j'entreprends quelques-unes de ces questions, il me semble que je voie devant moi

Magnum maris sequor arandum,

à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les^ombres premiers. »

chose où l'analyse a bien de la peine à parvenir. » Mais le secret de cette arithmétique, qui paraissait si précieux à Descartes et à Fermatj n'a pu être découvert dans les papiers de l'auteur. Frénicle a énoncé quelques propositions générales, qui diminuent beaucoup la longueur du tâtonnement, et dont les plus difficiles ont été démontrées par Euler et Lagrange. Il a trouvé aussi le moyen de déduire d'une solution donnée toutes les solutions possibles. C'est la méthode des exclusions y ainsi nommée parce qu'au lieu de chercher directement le nombre demandé parmi une infinité d'autres, on exclut tous ceux qui ne répondent pas aux conditions du problème. Les combinaisons numériques, connues sous le nom de carrés magiques, étaient un objet spécial des recherches du célèbre arithméticien. Ces combinaisons, dont le plus grand mérite est la difficulté vaincue, peuvent paraître fertiles ; mais on peut en dire autant des problèmes indéterminés sur les nombres. Comme l'a remarqué Condorcet, « plusieurs questions importantes dans l'analyse des équations dépendent de transformations que les problèmes sur les nombres peuvent seuls enseigner à trouver. » — : Les écrits de Frénicle ont été recueillis par Lahire et publiés dans le tome V des Mémoires de l'Académie des sciences. Ses traités des Nombres premiers et des Nombres polygones sont restés inédits.

434 HISTOIRE DKS JElO^THÉliATIQUES.

Nous renvoyons, pour plus de détail^, surtout en ce qui concerne les nombres premiers, à notre axticle Fertmt dans la Biographie générale. Qu'il nous suESse d'ajouter ici ce que Fermât entend par nombres parfaits^ bien différents de ceux des anciens.

ce Les nombres moindres de Tunité que ceux qui ppocèdent de la progression double, comme :

3, etc.

255, etc.

je les appellerai, dit Fermât, nombres parfoits^ p$u*Qe q\&e toutes les fois qu'ils sont premiers, ils les produige^^t. Mettez au-dessus de ces nombres autant en progression naturelle, 1, 2, 3, etc., qui soient appelés leurs exposants. Gela supposé, je dis que :

« 1° Lorsque l'exposant d'un nombre radical est composé, son radical est aussi composé ; comme, parce que B, exposant de 63, est composé, je dis que 63 est aussi composé;

« 2° Lorsque l'exposant est nombre premier, je di« que son radical moins l'unité est mesuré par le double de l'exposant; comme, parce que 7, exposant de 127, est nombre premier, je dis que 126 est multiple de 14;

<c 3^ Lorsque l'exposant est nombre premier, je dis que son radical ne peut être mesuré par aucun nombre premier que par ceux qui sont plus grands de l'unité qu'un multiple du double de l'exposant ou que le dOMble i» l'exposant; comme, parce que 11, exposant de 2047, est nombre premier, je dis qu'il ne peut être mesuré que par un nombre plus grand de l'unité que 22, comme 23, ou bien par un nombre plus grand de l'unité qu'un multiple de 22. En effet, 2047 n'est mesuré que par 23 et par ^9, duquel, si vous ôtez l'unité, reste 88, multiple de 22. »

Fermât faisait grand cas de ces trois propositions : il les appelait les fondements de Vinvention des nombres par-

faits. C'est à cette occasion qu'il s'écria : Mi par di veder ungran lume^.

Suivant la coutume traditionnelle, Fermât envoya, sous forme de défi, divers problèmes à tous les mathématiciens de son temps. Nous ne mentionnerons que les trois suivants :

« 1<» Dans l'infinité des nombres entiers, il n'y a qu'un seul carré qui, joint à 2, fasse un cube, et il n'y en a que deux qui, ajoutés à 4, fassent un cube*.

ce 2° L'aire d'un triangle rectangle en nombres entiers ne peut jamais être un carré. — C'est le seul théorème dont Fermât ait laissé la démonstration'.

« 3° La somme ou la différence de deux cubes n'est jamais un cube, la somme ou la différence .d'un carré-carré (4" puissance) n'est jamais un carré, et, en général, au dessus du carré aucune puissance à l'infini n'est décomposable en deux puissances de même nom. »

Cette proposition, généralement exprimée par

OJ'* -j- |/« = ^♦',

c'est-à-dire que z n'est jamais de la même puissance n, si n est plus grand que 2, est le dernier et le plus îm^ portant de tous les théorèmes de Fermât. Souvent mis au

* 1. Opéra varia, ip, 177.

2. Le carré 25 satisfait au premier cas : en ajoutant 2 à 25 on a 27, qui est le cube de 3. Les carrés 4 et 121 (carrés de 2 et de 11) satisfont au second cas. En effet, 4 -|- 4 = 8, qui est le cube de 2; et 121+4 =125,' qui est le cube de 5. C'est ce que Fermât nous apprend lui-même. Mais pourquoi n'y a-t-il que ces cas particuliers? Voilà ce qu'il s'est gardé de dire.

Fermât avait proposé ces questions aux mathématiciens anglais et à Frénicle. « Je ne sais, dit-il dans sa lettre au chevalier Digby, ce que disent vos Anglais de ces propositions négatives, et s'ils les trouveront t^op hardies. J'attends leur solution, et celle de M. Frénicle. » {Opéra varia, p. 192; Diophante, p. 320, édit, de F^rn^at.)