M- Chasles, Aperçu historique, etc., p. 331, note

sommets, centre (Thomologie ^ et la droite sur laquelle se coupent deux à deux leurs trois côtés, axe d'homoïogie. »

Ce fut au sujet de ce traité que Descartes écrivit au P. Mersenne : « La façon dont Desargues commence son raisonnement en l'appliquant tout ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus belle qu'elle est plus générale et semble être prise de ce que j'ai coutume de nommer la métaphysique de la géométrie^ ce qui est une science dont je n'ai point remarqué qpi'aucu^n autre se soit jamais servi, sinon Archimëde. Pour moi, je m'en sers toujours pour juger, en général, des choses qui sont trouvables, et en quels lieux je dois les trouver. » {Lettres^ t. IV, p. 379.)

Le principal ouvrage de Desargues est un, traité des Coniques, ayant pour titre : Brouillon project (fune atteinte aux événements des rencontres d'un cône avec un plan. Paris, 1639 (réimprimé dans les Œuvres de Desargues, t. I, p. 103-230, d'après un manuscrit de Lahire, découvert en 1845 par M. Ghasles chez un libraire de Paris). On y remarque, dès le début, ces belles idées sur l'infini : « P Une droite peut être considérée comme prolongée à l'infini, et alors les deux extrémités opposées^ sont unies entre elles; 2" les droites parallèles sont des droites concourantes à l'infini et réciproquement ; 3** une droite et un cercle sont deux espèces d'un même genre, dont le tracé peut s'énoncer en mêmes paroles. »

Ces idées si grandes et si simples suffiraient, dit avec raison M. Poudra, à elles seules pour établir une différence tranchée entre la géométrie ancienne et la géométrie moderne. Dans le même ouvrage on trouve : 1° la théorie de l'involution , devenue depuis si féconde entre les mains de M. Chasles ; 2° la théorie des transversales et surtout cette belle proposition qu'une conique et les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit sont coupés en six points en invoiution ; 3^ la théorie des pôles et des polaires, attri-

buée à Lahire ; cette théorie lui donna Foccasîori d'imaginer nn grand nombre de mots nouveaux, parmi lesquels nous citerons celui à^ ordonnées relatives à la transversale; 4** la détermination de la nature et des propriétés des sections d'un cône- ayant pour base une conique quelconque, par un plan ayant aussi une direction arbitraire ; 6** la détermination, sur la base de ce cône, du point qui deviendra le centre, des points qui deviendront h/fs foyers, des droites qui deviendront les diamètres et les axes de la courbe résultant de l'intersection de ce cône pèff lin plan : proposition dont on n'a pas encore fait res- Sefrtir toute l'importance*.

A l'exeïnple de Pascal, Desargues, à qui ses contemporâinB reprochaient un style bizarre et obscur, faisait jotier aux principes de la perspective un rôfe fondamental dans la géométrie ^.

Roberval^^ que nous avons déjà eu l'occasion de citer, imagina le premier d'appliquer le mouvement à la résolution du problème des tangentes des courbes. Voici en quels termes il énonce son principe : « Règle générale. Par les propriétés spécifiques de la> ligne courbe (qui vous seront don-

1. (Èuvres dé Desœrguesj réunies et analysées par M. Poudra, t. I, p. 19", 245 et suivantes.

2. Les anciens connaissaient-ils Tusage de la perspective dans la géométrie rationnelle ? Rien ne nous autorise à le croire.

3. Son véritable nom était Personier {Gilles), Il naquit en 1602 â Roberval, près de Senlis. Il assista, comme Descartes, au siège de la Rochelle, et vint, en 1627, à Paris, où il se lia avec le P. Mersenne. Il occupa pendant près de quarante ans la chaire des mathématiques, fondée par Ramus, au Collège de France, devint, en 1665, un des membres fondateurs de TAcadémie royale des sciences, et mourut éû 1675. C'est à Roberval qu'on attribue ce mot, dont les détracteurs des sciences exactes se sont emparés pour les décrier comme desséchant le cœur. Qu'est-ce que cela prouve? aurait-il dit à ceux qui l'interrogeaient, en sortant d'un spectacle, sur l'effet d'une tragédie à laquelle il venait d'assiter. Ses démêlés avec Descartes sont connus. Les seuls écrits de Roberval qui aient été imprimés de son vi-

nées), examinez les divers mouvements qu'a le point qui la décrit à Tendroit où vous voulez mener la touchante : de tous ces mouvements composés en un seul, tirez la ligne de direction du motivèrent composé, vous aurez la touchante de la ligne courbe *. »

Torricelli eut une idée semblable ; mais Roberval a ici la priorité) à en juger par une de ses lettres, adressée (en 1640) à Fermât, de quatre ans antérieure à la publication des Œuvres de Torricelli. La méthode de Roberval repose sur la doctrine du parallélogramme des forces. On sait que, si un corps est poussé par deux forces qui agissent suivant les côtés d'un angle, ce corps prendra la direction de la diagonale du parallélogramme construit sur ces côtés. Imaginons un point se mouvoir sur l'ordonnée suivant une certaine loi, pendant que cette ordonnée se mouvra parallèlement à elle-même ou circulairement, ou

vant, sont : Traité de mécanique des poids soutenus par des puissances sur les plans inclinés à Vhorigon, à la suite de VBarmonie universelle du P. Mersenne ; et Aristarchi Samii de Mundi systemate, etc., Paris, 1636 (une fiction). Ses écrits les plus importants se trouvent dans le tome VI des Mémoires de ï Académie des sciences.

1. On nous saura gré de reproduire ici une remarque fort importante de M. Chasles. « Les anciens avaient connu, dit cet illustre géomètre, la composition des mouvements, ainsi que nous le voyons dans les questions mécaniques d'Aristote ; de plus, ils l'avaient appliquée à la géométrie pour concevoir la génération de certaines courbes. La manière dont Archimède décrivait sa spirale, par la composition du mouvement circulaire et du mouvement rectiligne, et la description de la spirale sphérique de Pappus, en sont les preuves. Mais ces géomètres n'appliquèrent ces considérations de mouvement qu'à quelques courbes particulières, et n'eurent point l'idée d'en faire, comme Roberval, un principe de génération de toutes les courbes, et surtout n'en firent point usage pour découvrir leurs propriétés. Cette circonstance, que la méthode de Roberval comportait la plus grande généralité, mérite d'être remarquée à une époque où la géométrie se réduisait encore à l'étude particulière de quelques courbes, considérées individuellement. C'est un des premiers exemples du passage des idées concrètes aux idées abstraites dans la science de l'étendue. » {Aperçu historiquCj etc., p. 59-60.)

même d'un mouvement composé du circulaire et du parallèle, ce point décrira une courbe dont la nature dépendra du rapport de ces mouvements. La courbe décrite sera la parabole ordinaire, si, pendant que l'ordonnée se meut parallèlement à elle-même et d'un mouvement uniforme, le point décrivant s'éloigne de Taxe, de manière que les carrés de sa distance croissent uniformément en temps égaux. On peut aussi concevoir le point décrivant s'éloigner, suivant une certaine loi, de deux ou plusieurs points à la fois, ou d'un point et d'une ligne droite. C'est ainsi que se décrivent, à l'égard de leurs foyers, l'ellipse, l'hyperbole et la parabole : dans l'ellipse, le point décrivant s'éloigne de l'un des foyers autant qu'il s'approche de l'autre ; dans l'hyperbole, il s'approche ou s'éloigne également de l'un et de l'autre; dans la parabole, il s'éloigne à la fois de son foyer unique et, d'une égale quantité, d'une certaine ligne droite, nommée la, 'directrice. Suivant Roberval, la tangente à une courbe n'est autre chose que la direction du mobile qui décrit cette courbe à chacun de ses points. Ce principe, presque évident, découle de cette vérité mécanique qu'un corps soumis à un mouvement curviligne, s'il était abandonné à lui-même, s'échapperait par la tangente à ce point.

Pour résoudre les problèmes que Fermât avait proposés sur la quadrature de la parabole et de l'hyperbole, Roberval eut recours à la méthode des indivisibles, « Pour tirer des conclusions par le moyen des indivisibles, il faut, dit-il [Traité des indivisibles)^ supposer que toute ligne, soit droite ou courbe, se peut diviser en une infinité de parties ou petites lignes, toutes égales entre elles, ou qui suivent entre elles telle progression que l'on voudra, comme de carré à carré, de cube à cube, de carrécarré à carré-carré, ou selon quelque autre puissance. Or, d'autant que toute ligne se termine par des points, et puis, au lieu de dire que toutes les petites lignes sont à telle chose en certaine raison, on dira que tous ces points sont

a telfë chose en ladite raison.... Par tout ce discours on peut comprendre que la multitude infinie de points âe prend pour une infinité de pe^tites lignes: et compose l'a ligne entière ; Tinfinité de petites lignes représentef Vm^liité de petites superficies qui composent la superfitîitî' totale; l'infinité de superficies représente l'infinité de* petits solides qui composent ensemble le solide total. »

Les écrits de Roberval ont été en grande partie publiés dans le tome VI des Mémoires de l'ancienne Académie des sciences.

Èydôrge (né à Paris en f 585, mort en 1647), conseiller au Cïiâteliet, employa sa fortune et ses loisirs à cultiver les mathématiques. Ami de Descartes, il l'aida dans ses recherches sur la lumière, en lui faisant tailler des verres par les plus habiles ouvriers. Il prit parti pour Descartes contre Fermât, et fut un des médiateurs de la paix qui se fit, en 1638, entre ces deux géomètres. Outre son Exameh du livre des Récréations mathématiques (du P. Leurechon), Paris, 1630, in-8, on a de Mydorge un traité en deux livres des Sections coniques (1631), le premier qui eût paru en France. Ce traité reparut plus tard (en 1641) en quatre livres; il devait être suivi de quatre autres, qui sont restés manuscrits*. Mydorge ne s'était pas, comme Descartes et Pascal, proposé de faire dériver les propriétés des coniques de celles du cercle par la perspective ou par la considération constante du cône où elles prennent naissance; son but était plus modeste : il voulait simplifier les démonstrations des anciens.

Philippe de Lahîre (né à Paris en 1640, mort en 1718), fils du peintre Laurent de Lahire, Tun des fondateurs.de l'Académie des beaux-arts, fut distingué par Desargues,

1. Le ï*. Mersenne en a donné les titrés dans son recueil Universse geotnetriêe mixtœque mathemctticœ synopsis, p. 329.

qni le chargea déterminer la seconde partie ie son Trente de la coupe des pierres, travailla avec JPicard à la carte de France, et prolongea la méridienne commencée par ce dernier. Quoique familiarisé avec l'analyse de Descartesf, iî écrivit plusieurs ouvrages de géométrie dans le style des anciens; tels sont : un grand traité des sections eoniqpies, intitulé : Sèctiones conicas iri novertt Hbros dislributis (Paris, 1685, in-fol.); Mémoire sur les épicycloïdes (1694), exposant leurs dimensions, leurs développées et leur usage pour la construction des roues dentées*; Traité des rou^ leîtes. où Ton démontre la manière universelle de trouver leurs tangentes, leurs points d'inflexion et de rebroussement, leurs superficies et leurs longueurs par la géométrie ordinaire (imprimé en 1702 dans les Mémoires' de V Académie des sciences) ; Mémoire sixr les conchotdes (dans les Mémoires de r Académie^ année 1708); Traité âé gnômonique, où Tauteur résout toutes les questions graphiquement, sans trigonométrie même rectiligne, et en n'employant que le compas, la règle et le fil-à-plomb.

Le Traité des sections coniques est Fouvrage principal de Lahire. La méthode de Fauteur, quoique synthétique comme celle des anciens, en différait pourtant essentrellement. Les anciens engendraient les coniques en cou>pant le cône par un plan perpendiculaire au triangle par Taxe, et ils avaient ainsi besoin de trois cÔnes différents pour obtenir Tellips^, la parabole et Fhyperbole : ik ne

1. C'est à tort qu'on a accusé Lahire de s'être attribue rinventibn de Vépieyctoïde, courbe qui s*engendre lorsqu'on fait* rouler un dbrcle sur une autre circonférence circulaire ; car en le faisant rouler sur une ligne droite, on engendre la'cycloïde. C'est à tort aussi que Leibniz revendique l'honneur de cette invention en faveur de Roômer. Car Latiire nous apprend lui-même dans la Préface de son Traité des épiqfcloides, qu'il avait fait au château de Beaulieu, près de Paris, une roue à dents épicycloïdaîes « à la place d*une autre semblable, qui y avait été construite par Desargues ». C'est donc à ï)êsarga'es, dont Lahire était le digne continuateur, que l'on doit Ist connaissance de l'épicycloïde et de ses usages mécaniques.

considéraient les sections coniques que pour en expliquer la génération et démontrer quelques propiiétés principales dont la plus importante était le rapport constant du carré de l'ordonnée au produit des segments faits sur Taxe. De Lahire suivit une marche plus courte et plus rationnelle ; il commença par établir les propriétés du cercle qui devaient se représenter dans les coniques : il en fit ensuite usage pour découvrir et démontrer, dans les sections du cône, les propriétés analogues. Cette méthode eut cela de remarquable qu'elle ne faisait point usage du triangle par Taxe, et qu'elle s'appliquait indistinctement à toutes les sections coniques*.

Grégoire de Saint-Vincent (né à Bruges en 1584, mort à Gand en 1667). Entré dans l'ordre des jésuites, il se fit bientôt remarquer par une aptitude rare pour les mathématiques, et perdit, en 1631, une partie de ses papiers à la prise et au sac de Prague, où il se trouvait comme attaché à la cour de l'empereur Ferdinand 11^. Ce géomètre, dont le mérite n'a pas été assez apprécié, doit, au jugement de M. Ghasles, être placé comme inventeur sur la même ligne que Gavalieri, Pascal, Fermât, Roberval. Sa méthode, qui s'appelait Ductus plani in planum, et qui a été exposée pat l'auteur dans ses Theoremata mathematica scientiœ staticx de Ductu ponderum per planitiem^ proposita (Louvain, 1624, in-4), était un perfectionnement de la méthode d'exhaustion. La disposition différente des polygones, inscrits et circonscrits aux courbes, eut un avantage marqué sur la méthode d'Archimède. Le petit triangle différentiel, qui apparaît dans les figures du géomètre belge, entre la courbe et deux côtés consécutifs de l'un des deux polygones à échelles (inscrit ou