M. Chasles, Ayerçu hùtorique^ etc., p

2. On trouve des extraits de l'ouvrage de Ricci dans le Camm&rcium epistolicum de analysi pramota^ p. 274^280 (édit. de Biot et Lefort).

bientôt il se livra avec ardeur à l'étude des mathématiques, pour lesquelles il avait un goût décidé, et obtint, en 16^9, la chaire de géométrie à Oxford, fondée par le chevalier Savile. Il prit une part active aux querelles religieuses de son temps, et conserva jusqu'à quatre-vingt-sept ans la plénitude de ses facultés. Aussi versé en philologie, en philosophie, en théologie qu'en mathématiques, c'était un esprit universel et d'une curiosité instinctive. « Dès mon enfance, aimait-il à répéter, j'ai toujours voulu savoir les choses, non point par routine, ce qui les fait oublier bientôt, mais par raison et par principes. »

Les Œuvres de Wallis parurent sous le titre d'Opéra mathematica^ à Oxford, 1693-99, 3 vol. in-fol. A côté de ses ouvrages de mathématiques on remarque des travaux de grammaire fort estimés, et notamment YArtd'appre7idre à parler aux sourds-muets^ qui peut être considéré comme le premier essai de ce genre.

Wallis écrivit le premier un traité analytique des sections coniques (de Seclionibus coniciSy Oxford, 1665, in-4), d'après les doctrines de Descartes. Mais son ouvrage principal, où il applique l'analyse cartésienne à la méthode des indivisibles de Gavalieri, c'est son Arithmétique des infinis, intitulée : Arithmetica infinitorum^ sive nova methùdus inquirendi in curvilinearum quadraturam aliaque problemata^ qui parut pour la première fois en 1656, in-4. Il importe d'en signaler les points fondamentaux.

La Méthode des infinis de Wallis est le développement général des différentes méthodes d'analyse, essayées jusqu'alors. Wallis montre que l'induction peut souvent conduire à des découvertes inattendues. C'est par là qu'il découvrit que les dénominateurs des fractions sont de véritables puissances à exposants négatifs. Ainsi, par exemple, cette progression géométrique descendante, ir% a;^,ic*, a;\ si on veut la continuer, au-dessous de zéro, donnera a?~* , 0;-*, a;~*, etc., ce qui est la même chose que

— j, -j, — j, etc.*. Cette découverte mit Wallis en possessior

de la mesure de tous les espaces, soit plans, soit solides, dont les éléments sont réciproquement comme quelque puissance de Tabscisse. Ainsi, dans Phyperbole ordinaire, l'ordonnée est réciproquement comme l'abscisse, et dans celles des ordres supérieurs, l'ordonnée est réciproquement comme une puissance (supérieure à la première) de cette abscisse, c'est-à-dire que l'équation de toutes ces

courbes est y = aj-~, ou y == --^, Dans les courbes dont

l'équation est i/=aî"*, le rapport général de l'aire au parallélogramme de même base et de même hauteur est l:m+l ; cela est encore vrai, quelle que soit la grandeur de w, et que m soit positif ou négatif. Dans l'hyperbole, où les ordonnées sont réciproquement comme les racines

des abscisses, m est -, et conséquemment — m=— ^.

Si m = 1, ce qui est le cas de l'hyperbole ordinaire,* ce rapport est 1 : — 1 -}- 1, ou 1 : 0; ce qui montre que l'hyperbole ordinaire a son espace asymptotique infini.

«lise présente ici, ajoute Montucla, une difficulté dont Wallis, malgré sa sagacité, n'aperçut pas le dénoûment. Lorsque l'exposant négatif m est un nombre entier, par exemple 3, qui surpasse l'unité, le rapport ci-dessus est l : — 2, c'est-à-dire celui de l'unité à un nombre négatif. Or on sait et il est facile de montrer que l : 0 exprime un rapport infini. Que désignera donc cette autre expression? peut-on demander. Wallis imagina qu'elle désignait un espace plus qu'infini; paradoxe singulier, dont on doit la solution à M. Varignon. Ce que Wallis a pris pour un espace plus qu'infini n'est qu'un espace fini pris régulièrement en un sens contraire. Il

1. Cette découverte est si naturelle, qu'elle pourrait se présenter comme d'elle-même atout esprit méditatif. Voy« plus haut, p. 25.

arrive dans ce cas. ce dont l'analyse fournit des exemples fréquents. On trouve la longueur, non de l'espace hyperbolique qu'on demandait, mais celle du reste de l'espace hyperbolique qu'on ne demandait pas*. ?>

WalHs appliqua sa méthode à des cas plus complexes, et il en tira une manière fort ingénieuse d'envisager la quadrature du cercle. Il remarqua qu'on avait la quadrature absolue de toutes les figures dont les ©«rdonnées serraient exprimées par (l — x^y,(l — a;*)*, (1 — a?*)', ( I — 35')*, etc. Or la première est, suivant les principes de l'arithmétique des infinis, l'équation d'une figure égale à Tunité ou au parallélogramme circonscrit; la seconde en

est les -, la troisième les -—-, la quatrième les ■---, lors- 3' 15 ^ 105'

quear=l.Voilàdoncunesuitede termes 1,|, A, ^.,

etc., dont chacun exprime le rapport qu'a le parallélo-

framme de même base et de même hauteur, la figure ont l'expression tient un rang correspondant dans la suite des grandeurs (I — x% (1 — a;»)*, etc. Mais les exposants des termes de cette suite sont en progression arithmétique deO, 1, 2, etc. Si donc on voulait introduire un nouveau terme entre chacun de ceux-là, ce nouveau terme, qui tomberait entre (I — x^)\ (I — x^)\ serait (1 — x^)^^ qtri est l'expression de l'ordonnée du cercle. On aurait par conséquent la quadrature du cercle, si dan»

la suite 1, -, --, -— , etc., il était également facile de trouver le terme moyen entre 1 et-, etc. C'est cette ma-

nière de procéder qui a reçu en géométrie le nom d'inf^rpolation^.

On a reproché à Wallis d'avoir été trop partial envers

1. Montucla, Histoire des mathématiques, t. ÎI, p. 350. 2 I6td., t.II,p. 351-

SGS compatriotes, et pas assez juste envers leS mathématiciens étrangers, dah^ son traité de l'Algèbre (On Âlgebra^ Lond., 1686, in-foL), oÙ l'histoire de la science se trouve mêlée à Texposé de^ doctrittea.

L'arithmétique de^ infinis de Wâllls èietça Féëptit de bien dès géomètres, parmi lesquels ùous ne dtètcitis que Brounker.

Brouncker on BrôUnker (Giiillaume^ vicomte)^ loi*d irlandais (tié etl IGSO, mort en 1684), très-àttaché â la cause royaliste, et Fuii des fondateurs delà Société Royftle de Londres^, se fit remarquer par Ses cdntidëssltiÈeiii tnaihêmatiques et par ses relations personnelles avec les principaux ftavants de son époque. Il est souteiîi qtief^tioB de mylord Brouncker dans les Lettres de Fermât.

Ftaction continue, — Désappointé de n'avoir trouvé, par sa méthode d'interpolation, qu'une suite infinie de termes de plus en plus convergents vers la vraie valeur, au lieu du terme qui devait lui donner l'axe du cercle qu'il cherchait, Wallis s'était adressé à Brouncker en le priant de l'aider dans ses recherches. Sur cette invitation, Brouncker se mit à l'œuvre, trouva, non pas précisément ce qu'il cherchait, mais cette espèce de suite qui, sous la forme d'une fraction, a pour dénominateur un nombre entier plus une fraction, et qui, allant ainsi à l'infini, a reçu le nom de fraction continue. D'après Brouncker, le carré (inscrit dans le cercle) étant I , le cercle est égal à l'expression que voici :

■ T T illll I < i *"